2023-2024学年北京市房山区高三上学期期末考试数学试题

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本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. ，，且，则实数取值的集合是（ ）
A. B.
C D.
2. 复数的实部是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 3i
3. 的展开式中，的系数是（ ）
A. 10B. -10C. 5D. -5
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
5. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
6. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1
7. “”是“直线与圆相交”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.下列说法中正确的是（ ）
A. 第5个月时，浮萍面积就会超过
B. 浮萍面积每月的增长率不相等
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，则
10. 某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面是四位同学提出的结论：
甲：曲线关于原点对称；
乙：曲线都关于直线对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积.
四位同学的结论中错误的是（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线的顶点到其准线的距离为_______
12. 在△中，，则________，△的面积____．
13. 如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则_______；的最大值为_______
14. 无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．
15. 设函数 给出下列四个结论：
①函数的值域是；
②对，方程都有3个实数根；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是____.
三、解答题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值.
条件①：的最大值为；
条件②：一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
17. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．
18. 某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．
（1）估计实验园的“大果”率；
（2）现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，求的分布列和数学期望的；
（3）以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出的值（只需写出结论）.
19. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下顶点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线斜率之和为，判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
20. 已知函数，函数，其中．
（1）如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程；
（2）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．
21. 若数列 满足，则称为数列．记 ．
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若，证明数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.