2023-2024学年北京市丰台区高三上学期数学期末练习试题

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第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，与复数对应的点位于
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知等差数列的前项和为．若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A.
B.
C
D.
5. 已知是两个不同的平面，直线，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知抛物线焦点为，点在上． 若是坐标原点，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）
A.
B.
C.
D. 95
8. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）． 人在正常说话时，声强级大约在40~60 dB之间，声强级超过60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害．给出下列四个声强，其声强级在40~60 dB之间的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①④B. ②③C. ②④D. ②③④
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 在的展开式中，的系数为______用数字作答
12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则______．
13. 已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则______．
14. 设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为______．
15. 已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（1）求；
（2）求面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求直线到平面的距离．
18. 为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验． 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：
（1）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
（2）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况， 现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；
（3）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈． 设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系．
19. 已知函数且．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
20. 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，． 求证：为定值．
21. 若有穷数列且满足，则称为M数列．
（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
（2）已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
（3）已知M数列是且个连续正整数一个排列．若，求的所有取值．传统艺术活动
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
书画
古琴
汉服
戏曲
面塑
高一体验人数
80
45
55
20
45
高二体验人数
40
60
60
80
40
高三体验人数
15
50
40
75
30