2023-2024学年北京市通州区高三上学期期末数学试题

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义即可.
【详解】∵集合，，
∴.
故选：D.
2. 复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】因为复数，
所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限
故选：B
3. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的方程求解.
【详解】因为双曲线方程为，
所以a=4，b=3，
所以其渐近线方程是，
故选：A
4. 已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ）
A. 31B. 63C. 127D. 255
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可.
【详解】由题意，设数列的公比为，则，
所以.
故选：C
5. “直线与直线没有公共点”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线没有公共点时，可能平行，也可能是异面直线，结合充分、必要条件的概念进行判定.
【详解】直线与直线没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，故“直线与直线没有公共点”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数的单调性判断A选项；由指数函数的单调性判断B选项；由对数函数的单调性判断C选项；由基本不等式判断D选项.
【详解】解：因为，所以
对于A，因为在单调递减，所以，故A选项不正确；
对于B，因为在R单调递减，所以，故B选项不正确；
对于C，因为在单调递增，又，所以，故C选项不正确；
对于D，，所以，故D选项正确，
故选：D.
7. 函数是（ ）
A. 奇函数，且最大值为2B. 奇函数，且最大值为1
C. 偶函数，且最大值为2D. 偶函数，且最大值为1
【答案】D
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可判断奇偶性；利用二倍角公式结合三角函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，
，所以该函数为偶函数，
又，
所以当即时，取最大值1.
故选：D.
8. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】先将剩下的3名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.
【详解】先将剩下的3名志愿者分为两组有种，再把小明和小李分别放在两组中有2种，
最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2种，则共有种.
故选：C.
9. 经过点的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为（ ）
A B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弦长公式，三角形面积公式，二次函数的性质以及圆的几何性质即可求出．
【详解】设点到直线距离为，所以，而面积，而，即，所以当时，．
故选：C．
10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
①，②．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ）
（参考数据：，）
A. 6minB. 6.5minC. 7minD. 7.5min
【答案】B
【解析】
【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得的值，即可做出判断.
【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94,
呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①为更符合实际的模型.
由时，，代入，得,解得.
∴.
由时,可得，解得,
∴,
由,得,∴,
,
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min,
故选:B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 抛物线的焦点坐标是______．
【答案】
【解析】
【详解】抛物线焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.
12. 最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可）
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦型三角函数的周期公式即可找出
【详解】根据正弦型三角函数的周期公式，最小正周期为2的函数的解析式可以是．
故答案为：．
13. 如图，圆锥的体积为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的高为，底面半径为，分别计算圆锥和圆柱的体积即可求解.
【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则，
因为为的中点，所以圆柱的底面半径为，高为，则，
所以.
故答案为：
14. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接利用向量数量积的定义求解的值，由已知条件可得，配方后可求得其最小值
【详解】因为平面向量，的夹角为120°，且，，
所以，
，
所以当时，的最小值为，
故答案为： ，
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有一个零点； ②若，则有三个零点；
③，在R上是增函数； ④，使得在R上是增函数．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，当时，则，分段讨论得出函数在R上单调递增，再由，可判断；
对于②，当时，则，分段讨论函数的单调性，再由当时，可判断；
对于③，当，即时，则，分段讨论得出函数在R上单调递增，由此可判断；
对于④，当，即时，则，分段讨论函数的单调性，由此可判断.
【详解】解：因为函数，所以函数，
对于①，当时，则，
当时，单调递增，
当时，，所以单调递增，所以函数在R上单调递增，且，，所以函数有一个零点，故①正确；
对于②，当时，则，
当时，单调递增，且，，所以在，函数有且只有一个零点，
当时，令，解得，
所以当时，所以，单调递减；当时，所以，单调递增，
所以当时，，所以在，函数有且只有一个零点，
所以当，函数只有两个零点，故②不正确；
对于③，当，即时，则，
当时，单调递增，
当时，，所以单调递增，所以函数在R上单调递增，
综上得，，在R上是增函数，故③正确；
对于④，当，即时，则，
当时，单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，所以，单调递减；
当时，所以，单调递增，
所以当时，函数在和上单调递增，在 上单调递减，所以不存在，使得在R上是增函数，故④正确；
综上得，正确结论的序号是①③，
故答案：①③.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的零点个数，关键在于利用导函数分段讨论函数的单调性，极值，最值.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】（1）选②或③，；
（2）的面积为.
【解析】
【分析】（1）选①，利用三边关系可判断不存在；
选②：利用余弦定理可求得角的值；
选③：利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．
【小问1详解】
解：因为，，则.
选①：因为，则，则不存在；
选②：因为，则，
由余弦定理可得，，则；
选③：，则，
、，则，，故，从而.
【小问2详解】
解：因为，，，由余弦定理可得，
即，解得，因此，.
17. 如图，在长方体中，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判断定理可得答案；
（2）建立空间直角坐标系，平面的法向量、平面ABCD的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案；
（3）直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案.
小问1详解】
因为，平面，平面，
故平面.
【小问2详解】
如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，
故，，，，，,
设平面的法向量为，则，
取得到，，即，
易知平面ABCD的一个法向量为，
则，
根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面ABCD所成角的余弦值为.
【小问3详解】
由（2），，
故B到平面的距离为.
18. 人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视（600度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“√”表示是，“×”表示否．
（1）分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；
（2）为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为，求的分布列及数学期望；
（3）假设该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系，并说明理由．
（注：）
【答案】（1）男生红绿色盲的发病率为，女生红绿色盲的发病率
（2）的分布列见解析，数学期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据计算即可，
（2）由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，然后求出各自对应的概率，从而可得分布和数学期望，
（3）根据表中的数据结合所给公式计算，然后进行比较
【小问1详解】
设该校男生红绿色盲为事件，女生红绿色盲为事件，
则
【小问2详解】
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，则
,
,
所以的分布列为
所以
【小问3详解】
由题意得，
，
所以
19. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间与极值．
【答案】（1）
（2）当时，的增区间是，减区间是，，
极大值为，极小值为；当时，的增区间是，，减区间是，极大值为，极小值为．
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出；
（2）根据分类讨论思想以及函数单调区间与极值的求法即可解出．
【小问1详解】
函数定义域为.若,则，
，所以切线方程为.
【小问2详解】
，
令，有两根，或.
(1)当时,与的情况如下：
由表可知,的增区间是，减区间是，，
极大值为，极小值为．
(2)当时,与的情况如下：
由表可知,的增区间是，，减区间是，
极大值为，极小值为．
20. 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程.
（2）分析可得四边形为梯形的充分必要条件是，设,可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论.
【小问1详解】
解：由已知得,解得,
∴椭圆的方程.
【小问2详解】
证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点,
设,则,.
，.
∵直线与椭圆交于、两点，
∴
由于直线与直线不平行，
∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，
即,即,
∵,∴上式又等价于，
即（*）.
由,得,
∴,

，
∴（*）成立，
∴四边形为梯形.
21. 已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
（1）若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
（2）求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
（3）若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
【答案】（1），其和为55（答案不唯一）
（2）证明过程见解析 （3）505
【解析】
【分析】（1）列举出一个即可；（2）根据数列的总和为5050进行证明；（3）反证法进行证明，结合第二问结论进行求解.
【小问1详解】
，各项和为（答案不唯一）；
【小问2详解】
令，取，则，即，所以对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
【小问3详解】
假设，即对于任意的，存在，使得，考察数列：，其中各项满足，，，于是有：，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
即存在，，使得，这与假设矛盾，所以，结合第二问结论可知：的最大值为505.
【点睛】针对于定义新数列的题目，要结合题干中信息，选择合适的方法进行求解，常用到列举法，反证法等方法.
放置时间/min
0
1
2
3
4
5
茶水温度/℃
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
人数
男生
高度近视
红绿色盲
3
√
×
√
2
√
√
×
1
√
√
√
1
×
×
√
2
×
√
×
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