冲刺2024年高考数学：三角函数与解三角形小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：三角函数与解三角形小专题特训，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．为了得到函数的图象，只要把图象上的所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则 的值为 （ ）
A．B．C．1D．
6．在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知三棱锥中，，则，，与平面所成角的正弦值的平方和（ ）
A．与，，的长度有关
B．为定值1
C．为定值
D．为定值2
8．在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各式恒等于的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．在单调递增
B．在上的最大值为0
C．点是的一个对称中心
D．是的一条对称轴
11．已知函数的最大值为2，且，．若，且，则（ ）
A．B．的周期是
C．的单调递增区间是D．的零点是
三、填空题
12．将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是 ．
13．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
14．如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据三角函数图象之间的变换，结合题意，即可容易判断.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点向右平移个单位长度.
故选：B
2．C
【分析】利用和角公式及同角三角函数关系进行求解.
【详解】.
故选：C
3．C
【分析】根据同角三角关系运算求解，注意象限角的三角函数值符号.
【详解】因为，为第二象限角，则，
所以.
故选：C.
4．D
【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果.
【详解】因为，，，
则，
可知，，则，
又因为，
可得，
所以.
故选：D.
5．C
【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
，
故.
故选：C
6．B
【分析】由正弦定理和辅助角公式得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，故，
因为，所以，
故，解得，
由余弦定理得，即，
因为，，所以，解得，
.
故选：B
7．B
【分析】把三棱锥置于长方体中,先计算的面积（已知三边求面积），然后在用体积转化法求出到平面的距离，最后计算三个线面角的正弦值.
【详解】如图，将三棱锥置于长方体中，过作平面于．

设，，，则有，，，
，
，
所以，
由可得，则，
，，与平面所成角的正弦值的平方和为
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题综合考查立体几何中点面距，线面角的计算和解三角的综合问题.解题的关键是计算出的面积，计算量较大，已知三边计算三角形面积的步骤：
1：用余弦定理算出一个角的余弦值；
2：再求出这个这个角的正弦值；
3：最后代入这个角所对应的面积公式.
计算出面积以后在利用体积转化法的思想求出线面角的正弦值.
8．D
【分析】令且，求得外接圆半径为，若，结合已知得点在圆被分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数.
【详解】令且，即，则外接圆半径为，
若，的外接圆方程为，
所以，令圆心为，
即点在圆被分割的优弧上运动，如下图，
要使的最大，只需与圆相切，由上易知，
则，而，由圆的性质有，
中，，显然，
由，则，
所以，可得（负值舍），
故，而，
所以，
整理得，则.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令且，得到点在圆被分割的优弧上运动为关键.
9．BD
【分析】根据诱导公式判断AB，根据同角三角函数的基本关系判断C，由二倍角的余弦公式判断D.
【详解】由诱导公式可知，，，故A错B对；
由同角三角函数的基本关系知，不恒成立，故C错误；
由二倍角的余弦公式可得，，故D正确.
故选：BD
10．BD
【分析】应用三角恒等变换及正弦型函数的最小周期可得，根据正弦函数性质，应用整体法、代入法判断各项正误.
【详解】由题设，又，
所以，
，则，显然在上不单调，A错；
，则，显然在上的最大值为0，B对；
，故点不是的一个对称中心，C错；
，故是的一条对称轴，D对.
故选：BD
11．AC
【分析】先根据条件求出的解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知，
由得或，又，
所以，
又由得，即，
当时，，
此时，得，则；
所以，A正确；
周期，B错误；
令，
解得，
即的单调递增区间是，C正确；
令,
解得，D错误.
故选：AC.
12．（答案不唯一，如）
【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，
再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得的图象，
所以函数的解析式是.
故答案为：
13．3
【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
14．
【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点，，设，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，设，由余弦定理可得，，从而求解.
【详解】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点，由圆的切线性质知，
，设，
，，
在中，
，
以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，
以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，
则，
在中，设，，，，
由余弦定理可知：
从而得到，.
由，
，．
【点睛】思路点睛：
（1）充分利用所给图形，有利于分析数量关系；
（2）借助“换元”，有利于从“数”的角度求解最值问题.