07，广西壮族自治区贵港市桂平市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份07，广西壮族自治区贵港市桂平市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，满分120分）
注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确）
1. 2的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：2的绝对值是是2，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C.
D.
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【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，根据相关运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．先移项，合并同类项，再不等式的两边同时除以2，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选B
5. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上．
【详解】解：A、，所以，点不函数图象上，故选项A不符合题意；
B、，所以，点在函数图象上，故选项B符合题意；
C、，所以，点不在函数图象上，故选项C不符合题意；
D、，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，掌握反比例函数的基本性质是解题关键．
6. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据题意算出根的判别式即可得；掌握根的判别式即可得．
【详解】解：，
，
则一元二次方程有两个不相等实数根，
故选：A．
7. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，，BC = 12 cm，则DE的长为（ ）
A. 12cmB. 6 cmC. 4cmD. 3 cm
【答案】C
【解析】
【分析】由DE∥BC可知△ADE∽△ABC，则可得.
【详解】解：由DE∥BC可知△ADE∽△ABC，可得，则，解得DE=4.
故选择C.
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质.
8. 在菱形中，已知对角线，的长度分别为，，则菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出边长，然后即可求出周长．
【详解】解：∵如图，菱形对角线，相交于点，且，，
∴，，，
故，
故菱形的边长为，
故选：．
9. 如图，正比例函数y = ax的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，则不等式ax<的解集为（ ）

A. x < - 2或x > 2B. x < - 2或0 < x < 2
C -2 < x < 0或0 < x < 2D. -2 < x < 0或 x > -2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点横坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点坐标关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴B点的横坐标为-2，
∵，
∴在第一和第三象限，正比例函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴或，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．
10. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A. 统计思想B. 分类思想C. 数形结合思想D. 函数思想
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想是解题关键．
【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
11. 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树的处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高，那么这棵水杉树高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，以及解直角三角形，根据矩形的性质求得，，根据，求得，最后根据，即可解题．
【详解】解：由题易知，四边形为矩形，
，，
，，
，
即，解得（），
（），
故选：A．
12. 如图，路灯距地面，身高的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（ ）

A. 变长B. 变长C. 变短D. 变短
【答案】C
【解析】
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，在B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x＝，y＝-3.5，
∴x−y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件建立不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得x﹣2≠0．解得x≠2，
故答案为：x≠2.
14. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
15. 要表示一个家庭一年用于“教育”， “服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是_______.
【答案】扇形统计图
【解析】
【分析】根据条形统计图适用于看出数量的多少，折线统计图适用于看出数量的增减变化，扇形统计图适用于看出各部分数量占总量的百分比进行解答即可.
【详解】要表示一个家庭一年用于“教育”，服装，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图，
故答案为扇形统计图.
【点睛】本题考查了统计图的选择，熟练掌握各统计图的作用是解题的关键.(1)条形统计图作用：从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.(2)拆线统计图作用：折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况.(3)扇形统计图作用：通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系.
16. 如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质得出四边形是正方形，再根据点的坐标可得，然后根据正方形面积等于图中阴影部分的面积可求出，从而可得点的坐标，最后利用待定系数法即可得．
【详解】解：如图，由题意得：四边形是正方形，
，
，
由正方形和反比例函数的对称可知，正方形面积等于图中阴影部分的面积，即为4，
则，即，
利用平方根解方程得：或（不符题意，舍去），
，
将点代入反比例函数得：，
则这个反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
17. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，）

【答案】21
【解析】
【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴共需钢材约；
故答案为21．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
18. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点从点C开始沿以的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是____．
【答案】
【解析】
【分析】设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，根据题意得： ， ，从而得到，再由 ，可得到关于 的方程，即可求解．
【详解】解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，
根据题意得： ， ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵△PCQ的面积等于450m2，
∴ ，
解得： ，
∵点从点C开始沿以的速度移动，
∴ ，
∴ ，
即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于 的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方和括号里面的，再计算乘除法，最后计算加法即可．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别是
（1）将向上平移4个单位长度得到，请画出；
（2）请画出与关于轴对称的；
（3）请写出的坐标．
【答案】（1）如图所示：，即为所求；见解析；（2）如图所示：，即为所求；见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标.
【详解】（1）如图所示：，即为所求；
（2）如图所示：，即为所求；
（3）．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.
22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆645人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率．
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不能；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【详解】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
，
化简得：25x2+75x-54=0，
∴，（舍，
答：进馆人次的月平均增长率为；
（2）∵进馆人次的月平均增长率为，
∴第四个月的进馆人次为：．
答：校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

（1）求点的坐标；
（2）用的代数式表示；
（3）当的面积为9时，求一次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点代入，从而可得答案；
（2）把点代入，从而可得答案；
（3）利用三角形的面积先求解，可得的坐标，可得，代入再解决的值即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵点在一次函数的图象上，
∴，
即．
【小问3详解】
如图，连接．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．
24. 如图，，点是线段上的一点，且．已知．

（1）证明：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
【解析】
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
【小问2详解】
解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
26. 综合与实践
问题情境：
（1）如图1，在和中，，．如图2，将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，，求证：．
深入研究：
（2）①如图3，在正方形和正方形中，己知点，，在同一直线上，连接，交于点，求的值；
②如图4，若将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，的值变化吗？请说明理由，
拓展应用：
（3）如图5，若把正方形和正方形分别换成矩形和矩形，且，请直接写出此时的值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）利用旋转的性质，证明，即可解答；
（2）①连接，根据正方形的性质得到对应边成比例，对应角相等，证明，即可得到的值；
②同①中原理证明，即可求出的值，即可解答；
（3）连接，根据矩形的性质得到对应边成比例，对应角相等，证明，即可解答，
深入理解题意，作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：由旋转得到：，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2）①如图，连接，
，
四边形，是正方形，
，
，
，
，
；
②成立，证明如下：如图，连接，
四边形，是正方形，
，，
，
即，
同①中原理，可得，
，
不变；
（3）解：如图，连接，
，
四边形，是矩形，且，
，，
，
即，
同（2）中原理，可得，
．