12，四川省眉山市东坡区永寿镇初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份12，四川省眉山市东坡区永寿镇初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题4分）
1. 使式子有意义的实数x的取值范围是（ ）
A. x≤3B. x≤3且x≠0C. x＜3D. x＜3且x≠0
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义条件得出答案．
【详解】使式子有意义的实数x的取值范围是：3﹣x≥0，且x≠0，
解得：x≤3且x≠0．
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ）
A. 2或-2B. 2C. -2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，将代入方程，求解即可．
【详解】解：由题意可知：，即
将代入方程得，解得
∴
故选C
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与概念，解题的关键是理解一元二次方程根的意义，易错点是容易忽略二次项系数不能为0．
3. 下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【分析】本题考查最简二次根式、二次根式的性质．由于，可知．．的被开方数，可以利用完全平方公式因式分解．有意义的隐含条件是为非负数．
【详解】解：将根式整理化简得：
，
，
，
，
．
由此可知，最简二次根式有：、，共2个．
故选：B
4. 如果，那么的值等于（ ）
A. 0B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查了比例的性质，比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．由比例的性质得到．代入求值即可．
【详解】解：，
，
．
．
故选：A．
5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（ ）
A. 2aB. 2bC. 2a＋2bD. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴可判断a与b的符号，再结合已知可确定a+b的符号，再根据绝对值的计算、算术平方根的性质：、立方根的性质，即可完成化简．
【详解】由数轴知：
∵|a|＞|b|
∴
=0
故选：D
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的性质，绝对值的含义，实数的加法法则，数轴上实数大小的比较等知识，掌握这些知识是解题的关键．
6. 如图，直线，直线分别交于点,直线分别交于点，已知的长是（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据平行线分线段成比例定理可得： ，再求DE长度．
解：∵，
∴，
又∵，
∴DE＝ ；
故选B．
7. 将方程配方成的形式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
8. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理得到DE=BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=12，
∴DE=BC=×12=6．
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=8，
∴DF=AB=×8=4，
∴EF=DE-DF=6-4=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
9. 某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到获奖总人数的等量关系解决本题的关键．等量关系为：初一阶段获奖人数初二阶段获奖人数初三阶段获奖人数，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：初一阶段有48人次获奖，这两年中获奖人次的平均年增长率为，
初二阶段获奖人数为，
初三阶段获奖人数为，
共有183人次获奖，
可列方程为：．
故选：D
10. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
11. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使，连结，，与，分别交于点，，连结，下列结论：①；②；③．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①C. ①②D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．①正确．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；②正确．证明，可得结论；③正确．证明，推出，推出．由，可得．
【详解】解：和是等腰直角三角形，
，，
．
，
，
，①正确．
，
．
，
，
，
，②正确．
由②得，
．
，
，
．
，
．
，是公共角，
，
，
．
，
，③正确．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题共4分）
12. 已知最简二次根式与 是同类二次根式，则 a 的值是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
解得：或
当时，该二次根式无意义，
故
故答案为：3
13. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛21场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
14. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【详解】
如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=;
即DC2=EDFD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为4.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．
【详解】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO＝∠A1MO＝90°，
∠1＝∠2＝∠3，
则△A1OM∽△OC1N，
∵OA＝5，OC＝3，
∴OA1＝5，A1M＝3，
∴OM＝4，
∴设NO＝3x，则NC1＝4x，OC1＝3，
则（3x）2+（4x）2＝9，
解得：x＝±（负数舍去），
则NO＝，NC1＝，
故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．
故答案为（﹣，）．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．
16. 如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP=________．
【答案】或2或6
【解析】
【分析】由AD∥BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8-x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
【详解】解：∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．
17. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交和于点��，��，则=_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得到平行，得到，，且，代入可得到，结合，即可得到答案．
【详解】∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质及平行四边形的性质，由条件得到，是解题的关键．
三、解答题
18. 计算题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式、实数的综合运算能力；
（1）根据零次幂的性质、负整指数幂的性质、二次根式的性质化简，进行实数的计算即可；
（2）根据平方差公式和积的乘方的运算性质，二次根式的性质计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
19. 用合适的方法解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
（1）方程两边除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程解即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【小问1详解】
，
，
两边开方得：，
解得：，；
【小问2详解】
，
，
配方得：，
，
开方得：，
解得：，；
【小问3详解】
，
，
，
，
或，
解得：，．
20. 已知关于x的方程．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设方程的两根为，当时，求m的值．
【答案】（1）且
（2）2
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程根的判别式列不等式即可解得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系式，把已知变形后整体代入，得m的方程，即可解得答案．
【小问1详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴且Δ＞0，即，
解得且；
【小问2详解】
解：∵是的两根，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
解得m＝2或m＝−2，
∵方程的两根为，
∴且，即，
解得且；
∴m＝－2不符合题意，舍去，
∴m＝2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
21 如图，已知和，边交于点，平分，平分，．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义得到，再根据即可得证；
（2）通过证明得到，代入数值进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
证明：平分，平分，
，
，
又，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
（1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；
（2）若“冰墩墩”每个进价40元，原售价为每个60元，该超市在今年4月份进行降价促销，若“冰墩墩”在3月份的基础上每个降价1元，销售量可增加40个，当“冰墩墩”每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在4月份利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为
（2）当“冰墩墩”每个售价为55元时，出售“冰墩墩”在4月份利润最大，最大利润为9000元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．根据题意正确的列等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为，则2月销售量为 ，3月销售量为，根据题意可知，，计算求出满足要求的解即可；
（2）设在4月份“冰墩墩”每个售价为元，利润为元，则单件利润为元，销售量为件，依题意得，，根据二次函数的图象与性质，计算求解即可．
【小问1详解】
解：设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意得，，
解得，，（舍去），
∴“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设在4月份“冰墩墩”每个售价为元，利润为元，
依题意得，，
∵，
∴当时，利润最大，最大利润为9000元．
23. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由平方得，整理可得：，即．
所以．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，则______，______；
（2）若，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出；
（2）把进行恒等变形，代入计算即可．
【小问1详解】
解： ，
，
；
，
，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
，
，，，
，
，
原式



．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值，掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键．
24. 如图，已知，与交于点，，点在上，与交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，推出，即可得到结论．
（2）由，得到，，等量代换得到，于是得到，求得，由，列比例式即可得到结论；
（3）由已知条件得到，于是得到，由，得到，通过，得到，于是求得，由于，于是得到，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．
（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）（，0）；（2）存在，当m＝或时，△APQ与△ADB相似，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD的长，即可求点D坐标；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，
∴△ABC∽△BDC，
∴
∵A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC＝4，
∵BC＝AC．
∴BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC+CD＝4+＝，
∴OD＝AD﹣AO＝，
∴点D的坐标为：（，0）；
（2）如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，
∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，
∴△APQ∽△ABD，
∴，
∴
∴m＝，
如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，
∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，
∴△APQ∽△ADB，
∴，
∴
∴m＝；
综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．