30，江苏省扬州市江都区江都区第三中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份30，江苏省扬州市江都区江都区第三中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了 下列各式中是一元二次方程的是， 已知，则下列各式中错误的是，3元/份3， 下列方程中，没有实数根的是， 关于x的方程的解是，等内容，欢迎下载使用。

－、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应位置上）
1. 下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键．
2. 已知，则下列各式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比例的基本性质，掌握比例式和等积式的互化即可求解．
【详解】解：A、由得，故此选项比例式不成立，符合题意；
B、由得，故此选项比例式成立，不符合题意；
C、由得，故此选项比例式成立，不符合题意；
D、由得，故此选项比例式成立，不符合题意，
故选：A．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份3. 如图，小正方形辺长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查网格中三角形相似，涉及相似三角形的判定、网格中求角度与线段长等知识，根据题中图形得到，，由三角形相似的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：中，，，
A、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
B、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
C、中的三角形（阴影部分），，则，由两个三角形相似的判定定理可知，，该选项符合题意；
D、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. ﹣x2﹣3x+1=0B. 2x2﹣3x+1=0C. 4x2+5=4xD. 2x2= x﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式△，当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△＝0,方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根即可求解.
【详解】A：△＝，方程有两个不相等的实数根；
B：△＝，方程有两个不相等的实数根；
C：△＝，方程有两个相等的实数根；
D：△＝，方程没有实数根，故答案选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式△，当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△＝0,方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根是解决本题的关键.
5. 点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．
【详解】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC=AC，
∵AC=4，
∴BC=．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A. 30B. 25C. 22．5D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20
故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
7. 如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得∽，从而得到，代入数值即可求解．
【详解】如图，连接并延长交于点．
点是的重心，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
，
（公共角），
∽，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．
8. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A 或B. 或1C. 1或3D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了方程的解以及二次函数的平移性质．将方程看成，根据方程的解求出，且与x轴交点与对称轴的距离为，由平移得性质得出的对称轴为，进而可求出按成的解．
【详解】解：把方程看成，
∵原方程的解为，，
∴原方程的对称轴为，即，且函数与x轴交点和对称轴的距离为，
将方程，看成，
∵y到只是平移，形状未发生改变，
∴的对称轴，
则方程解为：，，
故选：A．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 方程的根是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】移项后，根据因式分解法，即可求解，本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的解法，选择最适合的进行求解．
【详解】解：，
，
，
或，
，，
故答案为：，．
10. 在此例尺为的地图上，如果A，B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是__________千米．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可．
【详解】解∶∵比例尺为，，两地的距离是10厘米，
设， 两地的实际距离为，
∴ ，
∴，
故答案为：5
11. 关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程未知数的最高次数是和二次项的系数不等于解答即可．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
故答案为：．
12. 如图，中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，若点P、Q从点A、B同时出发，经过__________秒时，．

【答案】1
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
设经过t秒后，，则有，，，当时，又因为，得到,，然后利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可．
【详解】解：设经过t秒后，，则有，，，
当时，
∵，
∴,
∴，
∴，
解得，
∴经过秒时，．．
故答案为：1
13. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：8
14. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，列出正确的方程___________________．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
试题解析：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=15，
即：．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
15. 在中，，，，是斜边上的高，线段的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据有两个角对应相等的三角形相似证明，再根据相似三角形的性质即可求得的长．解题的关键是找准判定相似三角形的条件．
【详解】证明：∵是斜边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
16. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号minh{a，b}表示a、b中较小的数的一半，如minh{2，3}=1．按照这个规定，方程minh{x，－x}=的解为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论x与-x的范围，利用题中的规定确定出解即可．
【详解】当x＞-x，即x＞0时，方程化为-，
去分母得：-x2=4+4x，即x2+4x+4=0，
解得：x=-2，不符合题意，舍去；
当x＜-x，即x＜0时，方程化为，
整理得：x2-4x=4，
解得：x=2-2（正值舍去），
经检验x=2-2是分式方程的解，
综上，所求方程的解为x=2-2，
故答案为x=2-2
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为____．
【答案】
【解析】
【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．
【详解】把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（，1），把点（，1）先上平移1个单位得到（，2），所以D点坐标为（，2）．
故答案为（，2）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
18. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是___．
【答案】．
【解析】
【分析】（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．
【详解】由题意可知，OM=，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，
∴ ON=．
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，
∴∠OAC=∠B0ABn．
又∵AB0=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°，
∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°．
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°．
∴B0Bn=ON•tan30°=．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）：
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，
∴∠OAP=∠B0ABi．
又∵AB0=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°，
∴AB0：AO=ABi：AP．
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi=∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，
∴∠AB0Bn=∠AOP．
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn．
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．
【点睛】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
三、解答题（本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的．
（2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得．
（3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求；
（2）在点C的左侧作水平线段个单位长度，连结，在上取点N，使个单位长度，过点N沿格点线作，交于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得，所以点M就是所求的点；
（3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点．
【小问1详解】
如图，即为所求作的三角形；
【小问2详解】
如图，点M就是所求的点；
【小问3详解】
如图，点D就是所求点．
21. 已知关于x的方程＋（2k＋3）x＋k＋1＝0．
（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）﹣1 （2）且k≠0
【解析】
【分析】（1）把﹣1代入方程求解即可；
（2）根据根的判别式计算即可．
【小问1详解】
解：把x＝1代入该方程得k＋2k＋3＋k＋1＝0，
解得k＝﹣1；
【小问2详解】
分两种情况讨论：
①当k＝0时，原方程可化为3x＋1＝0，解得，
与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去；
②当k≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即，解得．
综上所述，k的取值范围是且k≠0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，准确计算是解题的关键．
22. 如图，利用一面墙墙最长可利用米，围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留米宽的入口如图中所示，不用砌墙），用砌米长的墙的材料，当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为平方米；能否围成平方米的矩形花园，为什么？

【答案】当矩形的长为米时，矩形花园的面积为平方米；不能围成平方米的矩形花园，见解析
【解析】
【分析】设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意列方程得：
，，方程有解，则存在，否则不能．
【详解】设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意列方程得：
，
，
解这个方程得：，
，
不合题意，舍去，
.
，
，
解这个方程得：，
，
不合题意，都舍去，
答：当矩形的长为米时，矩形花园的面积为平方米；不能围成平方米的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
23. 已知关于x的方程（m为常数，且）
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根；
①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______；
②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得
，
∴方程总有实数根；
【小问2详解】
解：①∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为，
故答案为：；
②由①得，方程的两个实数根为，
∵m为整数，且方程的两个实数根都是整数，
∴为整数，
∴或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
24. 新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为18 m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
【答案】11m
【解析】
【分析】设，则，根据题意证明和，列出方程即可求解；
【详解】解：设，则，
∵CE∥AB，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得：，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确利用中心投影的知识点求解是解题的关键．
25. 某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七，八两月的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
【答案】（1）
（2）5元
【解析】
【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为，利用八月的销售量六月的销售量七，八两月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【小问1详解】
设七，八两月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：七，八两月的月平均增长率为．
【小问2详解】
设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上．
（1）当点P恰好为的中点时，___________．
（2）当时，求出的长度；
（3）若，则这个矩形的长、宽各是多少？
【答案】26.
27.
28. 矩形的长，宽为
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可；
（3）设宽为，则长为，根据相似三角形的性质求解即可；
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
，又
∴，
∵点恰好为中点，
∴，
，
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形为矩形，
【小问3详解】
故设，则长为，
由题意知
∵四边形为矩形，
故．
答：矩形的长，宽为．
我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知解答：求代数式的最小值．解答如下：
解：，
∵(x＋2)2≥0，
∴当时，的值最小，最小值为0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
27. （1）知识再现：当______时，代数式的最小值是x=______；
28. （2）知识运用：如图，正方形的边长为2，点P是边上的－个动点（点P不与点B、C重合），连接，过点P作于点Q，求的最大值；
29. （3）知识拓展：已知，求的最小值．
【答案】27. 2，11
28. 的最大值是
29. 的最小值是
【解析】
【分析】本题主要考查了最值问题．熟练掌握完全平方公式，配方，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）配方得到，当时，有最小值11；
（2）设，，根据正方形性质得到，结合，证明．推出．得到，推出，得到时，有最大值；
（3）已知条件变形为，代入并配方得到，得到当时，的最小值是．
【27题详解】
∵，
当时，有最小值11；
故答案为：2，11；
【28题详解】
设，．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴的最大值是；
【29题详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，
的最小值是．
30.
【问题背景】
（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：；
【拓展运用】
（3）如图2，在中，，点O是的内心，若，，则的长为______．
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）10
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和可证，再由，即可证明结论；
（2）由（1），可得，再由C为的中点，可得，从而证明，即可证明结论；
（3）过点O作交于点E，交于点F，∵点O是的内心，，可证、、是等腰直角三角形，可求，，根据证明和，可求，，从而求出，，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵C为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，即．
（3）解：如图，过点O作交于点E，交于点F，
∵点O是的内心，，
，
，
、、是等腰直角三角形，
，
，
，
∵点O是的内心，
、分别平分、，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、内切圆的性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．