67，山东省济南市钢城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份67，山东省济南市钢城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共26页。

1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确．
2．本试题分第I卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共150分，考试时间为 120分钟．
3．选择题每小题选出答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上； 解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．
4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回．
第Ⅰ卷 （选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 40分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；据此判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，明确轴对称图形和中心对称的概念是解题的关键．
2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式有意义的条件，则分母不为，即可．
【详解】∵使分式有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
3. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 两D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差越小，越稳定判断即可．本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小．
【详解】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
4. 如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得．
故选：B．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，再把分子去括号，合并同类项，最后约分即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
6. 下列各选项中，因式分解正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别对各式因式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意；
C、原式=（m-2）2，符合题意；
D、原式=-2y（y-3），不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据时间=路程÷速度，列出分式方程计算即可．
【详解】根据题意，得：，
故选A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
8. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案．
【详解】解：，，
，
，平分，
，
，
是的中位线，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
9. 已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案．
【详解】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到，
∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；
②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到，
∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到；
③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到，
∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到．
综上可知点D的坐标可能是或或，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
10. 如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于 ，．若将绕原点O 顺时针旋转，每次旋转， 则第2024次旋转结束时， 点A的对应点的坐标（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题，
连接，设与轴交于点，与轴交于点，利用中心对称的性质确定的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到，再根据确定点的坐标，由旋转的周期性确定绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合，即可得到点的对应点的坐标．能准确确定点的坐标及在第2024次旋转结束时所在的位置是解决本题的关键．
【详解】连接，设与轴交于点，与轴交于点，

∵原点为对称中心，
∴点与点关于点对称，
∵点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵ ，点
∴，
即点，点
∵绕原点O顺时针旋转，每次旋转，
∴，
，
即绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合，
∴点A的对应点的坐标为．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11. 分解因式：4－x2＝_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：直接应用平方差公式即可：．
故答案为：．
12. 已知，则分式的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，设，代入分式求值即可．
【详解】解：∵，设，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设法，是解题的关键．
13. 为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下：
则这户家庭月用水量的众数是______； 中位数是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
出现3次，出现的最多，
故答空1答案为：，
∵，，
∴第5第6个数据是和，
∴中位数是：，
故答空2答案为：．
14. 若关于x的方程有增根，则m的值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，掌握分式方程的增根是解题的关键．先解分式方程，再根据增根的定义即可得到答案．
【详解】解：两边同时乘以，得
，
由于关于x的方程有增根，
则，解得，
故将代入，
得．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若四边形的面积为，则平移距离为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质．先根据含30度的直角三角形得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到的方程，则可计算出，即得平移距离．
【详解】解：在中，∵，，，
∴，
∵沿向右平移得到，
∴，，
∴四边形平行四边形，
∵四边形的面积等于15，
∴，
即，
∴，
即平移距离等于3．
故答案为：3．
16. 如图，中，对角线与相交于点F，，且，若点P 是对角线上一动点， 连接，将绕点 A 逆时针旋转使至，得连接，取的中点O，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，由菱形的性质及，得出，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，得出，进而得出当时，的值最小，求出此时的长度即可．本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明是解决问题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，且
∴四边形是菱形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转使得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是满足的线段，
当时，的值最小，
∵O是的中点，
∴
∴，
∴在点P的运动过程中，线段的最小值为2，
故答案为：2
三、解答题（本大题共 10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 因式分解：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解分式方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化成1得：，
经检验：x=3是增根，
原分式方程无解．
【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
当时，原式．
20. “五一”假期很多人都喜欢外出旅游，面对各大媒体报道出的各景区游客火爆的现象， 学校人文社团对 个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用 m 表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5 组：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：下面给出了部分信息：
a．B组的数据：，，，，，，，．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中 E 组对应扇形百分比为， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这个地区“五一”假期出游人数的中位数是 百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
求这个地区“五一”假期的平均出游人数．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）；
（4）这个地区五一平均出游人数是百万；
【解析】
【分析】（1）本题考查条形统计图与扇形统计图综合求数据，根据条形统计图中的频数除以样本容量求解即可得到答案；
（2）本题考查补充条形统计图，根据样本容量结合条形统计图求出相应的频数即可得到答案；
（3）本题考查求中位数，根据表格找到最中间的数求平均数即可得到答案；
（4）本题考查根据样本情况估算总体情况，利用各个数据乘以占比求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：由图像可得，
E的占比为：，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意可得，
D的数量为：，
∴C组的数据为：
∴条形统计图如下图所示，
；
【小问3详解】
解：∵，，
∴第、个在B组中，分别是、，
∴中位数为：，
故答案为：；
【小问4详解】
解：由题意可得，
（百万），
答：这个地区五一平均出游人数是百万．
21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
（1）作出关于原点O成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（______），（______）；
（2）把向上平移4个单位长度得到，画出；
（3）与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（________）．
【答案】（1）作图见解析；；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
故答案为：；；．
【小问2详解】
解：如图，为所求作的三角形；
【小问3详解】
解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
23. “元旦”期间，某电商想购进、两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进、两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？
【答案】（1）每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元
（2）种商品至少购进30件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意列出方程并求解，之后检验，即可获得答案；
（2）设购进商品件，则购进商品件，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案．
【小问1详解】
解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元；
【小问2详解】
解：设购进商品件，则购进商品件，
由题意，可得 ，
解得 ，
答：种商品至少购进30件．
24. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：（1）分解因式：






（2） 求代数式 的最小值．


∴当时，代数式有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
（1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
（2）分解因式：；
（3）当x为何值时，有最小值? 最小值是多少?
【答案】（1）或
（2）
（3）时，最小值
【解析】
【分析】本题考查完全平方式、因式分解：
（1）利用完全平方式的结构特点求解；
（2）仿照材料中方法进行因式分解；
（3）仿照材料中方法将变形为，即可求解．
【小问1详解】
解： 恰好完全平方式，
，
即k的值是或；
【小问2详解】
解：
，
，
；
【小问3详解】
解：
，
，
∴当时，代数式有最小值．
25. 综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢?
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ，
（2）请直接写出与之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想?若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）能，画图见解析；（5）；
【解析】
【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定得到四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形求解即可得到答案；
（2）本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形求解即可得到答案；
（3）本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定，根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案；
（4）本题考查作平行线，根据题目要求构造平行线即可得到答案；
（5）本题考查平行四边形的性质，勾股定理，过H作于点M，结合勾股定理求出，结合面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：（1），理由如下，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，
故答案为：，
（2）：如图，连接BD，
（2），
∵E，H分别为，中点
∴，，
∴，
∴；
故答案为，
（3）证明：∵E，H分别为，中点
∴．，
∵F，G分别为，中点
∴，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形，
应用：（4）能，如图所示，连接对角线，交于点O，
过点D作的平行线，过点B作的平行线
过点A作的平行线，过点C作的平行线
四边形即为所求，

应用（5）过H作于点M，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
26. 问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．
问题探究：
（）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明；
问题拓展：
（）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．
【答案】（），；（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）．
【解析】
【分析】（）理由三角形的中位线性质，直角三角形的性质即可求解；
（）是等腰直角三角形．证明得到，，由三角形中位线性质可证明是等腰三角形，再根据平行线的性质可得，，进而可得到，即可求证；
（）由（）知，是等腰直角三角形，，，推出点在的延长线上时，有最大值，由即可求解．
【详解】解：（）∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（）是等腰直角三角形．
证明：连接，由旋转知，，
∵，，
∴，
∴，，
∵点分别是的中点，
∴分别是，的中位线，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，，
∴，，
∵，
∴
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（）由（）知，是等腰直角三角形，，，
∴点在的延长线上时，有最大值，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和外角性质，平行线的性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．选手
甲
乙
丙
丁
方差
月用水量（t）
户 数
2
3
2
2
1
组别
A：
B：
C：
D：
E：
平均出游人数（百万）