人教版5.3.2 命题、定理、证明课时练习

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掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；
掌握定理的定义，理解定理与真命题的关系，能写出一个定理的逆命题，并判断是否为真命题；
理解并掌握证明的基本推理过程。
【要点梳理】
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
特别说明：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
特别说明：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
【典型例题】
类型一、命题、定理、证明➽➼命题的判断✮✮真（假）命题
1．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
将27开立方．
任意三角形的三条中线相交于一点吗？
锐角小于直角．
（a为实数）．
【答案】(1)不是命题；(2)不是命题；(3)是命题；(4)是命题
【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可．
（1）解：将27开立方不是命题；
（2）任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题；
（3）锐角小于直角是命题；
（4）（a为实数）是命题．
【点拨】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
举一反三：
【变式1】写出下列命题的逆命题，并判断真假．
三角形三个内角的和等于；
两直线平行，同旁内角互补．
【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题；(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题
【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可；
（2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可．
（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”，逆命题是真命题；
（2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，
逆命题是真命题．
【点拨】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键．
类型二、命题、定理、证明➽➼命题的题设、结论✮✮逆命题✮✮互逆命题
2．命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角
写出这个命题的逆命题；
判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【答案】(1)逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”
假命题，反例：两个角都是直角
【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可．（2）举出反例，即可证明命题为假命题．
解答：（1）原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”．
（2）∵互补的两个角可以都为直角，
∴“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题．
反例是“两个角都是直角”．
【点拨】本题考查了逆命题，以及真假命题，熟练掌握相关定义即可得到结论．
举一反三：
【变式1】 已知命题“如果，那么．”
写出此命题的条件和结论；
写出此命题的逆命题；
判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
【答案】(1)条件为：；结论为：；(2)如果，那么；(3)假命题，反例不唯一
【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论；
（2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；
（3）举出反例即可．
解：（1）此命题的条件为：，结论为：；
（2）此命题的逆命题为：如果，那么；
（3）此命题的逆命题是假命题，
当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，
如时，，而．
【点拨】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．
【变式2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
两直线平行，同旁内角互补；
垂直于同一条直线的两直线平行；
相等的角是内错角；
有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【答案】(1) 同旁内角互补，两直线平行，真命题
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等
（4）等边三角形有一个角是60°真命题
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．
解答：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
（4）等边三角形有一个角是60°真命题．

【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
类型三、命题、定理、证明➽➼命题的已知、求证、证明过程
3．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
举一反三：
【变式1】 如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
解答：已知：，，平分，
求证：平分．
证明：如图所示，

∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
【点拨】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式2】求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)
试题分析：根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可.
试题解析：已知：如图，直线AB与CD交于点O．
求证：∠1＝∠2．已知:如图，
证明：∵AB、CD相交于O(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)，
∴∠1＝∠2(同角的补角相等).
中考真题专练
1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
2．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题：________．
【答案】如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点拨】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
3．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是___________．
【答案】如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．
解：“如果，那么”的逆命题是：
“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．