华师大版九年级下册3. 圆周角课前预习课件ppt

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问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC.
思考： 图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角为圆周角
如图 (2) 所示的两条射线所成的角叫做圆周角
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
边 AC 没有和圆相交
如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是 ☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么，∠ABC 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？
解：∵ OA = OB = OC，∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形.
∴ ∠OAC = ∠OCA，∠OBC = ∠OCB.
又∵∠OAC +∠OBC +∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = ∠OCA +∠OCB = 180°÷2 = 90°.
因此，不管点 C 在 ☉O 上何处 (除点 A、B 外)，∠ACB 总等于 90°.
圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
例1 如图，AB 是☉O 的直径，∠A = 80°. 求∠ABC 的大小.
解：∵AB 是☉O 的直径，∴∠ACB = 90° (直径所对的圆周角等于 90°).
∴∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 90° - 80° = 10°.
测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半.
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在∠BAC 的一边上
圆心 O 在∠BAC 的外部
圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形)
∠BOC = ∠A + ∠C
结论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A，D 是上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD.∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由.
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等. 理由如下：
1.如图，点 A、B、C、D 在☉O上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°.
(1)∠BOC = °，理由是 ；(2)∠BDC = °，理由是 .
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等
(1) 完成下列填空： ∠1 = . ∠2 = . ∠3 = . ∠5 = .
2. 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD为四边形 ABCD 的对角线.
例2 如图，分别求出图中∠x 的大小.
解：∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°.
∵ 同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°.
∴∠x = ∠ABF +∠FBC = 50°.
例3 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长.
解：如图，连接 OD.
在 Rt△ABC 中，
∴∠ACB = ∠ADB = 90°.
∵ CD 平分∠ACB，
∴∠AOD =∠BOD.
∴∠ACD =∠BCD.
在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2，
如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD 是 ⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°. 故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
解：连接 BC，则∠ACB＝90°，
∠DCB＝∠ACB－∠ACD ＝90°－60° = 30°.
又∵∠BAD = ∠DCB = 30°，
∴∠APC = ∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心，∴∠AOB = 180°.∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角，∴∠ACB = ∠AOB = 90°.
如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？
能不能直接运用圆周角定理解答？
90° 的圆周角所对的弦是直径.
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆.这个多边形叫做这个圆的内接多边形.
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.
猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为：
∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.
想一想： 如何证明你的猜想呢？
∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，∴
同理，
圆内接四边形的对角互补.
∵ 弧 BCD 和弧 BAD 所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
延长 BC 到点 E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
图中∠A 与∠DCE 的大小有何关系？
1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°， ∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °.2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，则∠D = °.
证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD.∴ AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∴∠FGD＝∠ADC.
例5 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD 是(　　)A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°.∴∠C＝180°－60°＝120°. 故选 A.
解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别对于 2x，3x，6x，
例6 在圆内接四边形 ABCD 中， ∠A，∠B，∠C 的度数之比是 2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形 ABCD 内接于圆，
∴ ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°，
∵ 2x + 6x = 180°，
∴ x = 22.5°.
∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D = 180°-67.5° = 112.5°.
1. 判断。（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则∠AOB = ．
3.如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD于点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC 的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.
4.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，如果∠BOD = 130°，则∠BCD 的度数是（ ） A 115° B 130° C 65° D 50°5.如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，P 是 上的一点，则∠APB = .
∴∠ACB = 2∠BAC.
5. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
∠AOB = 2∠BOC，
6. 船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船位于安全区域时，∠α 与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α 小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E.(1) BD 与 CD 的大小有什么关系? 为什么?
∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上，
∴∠ADB = 90°.
又∵ AB = AC， ∴ △ABC 为等腰三角形. ∴ BD = CD.
(1) 解：BD = CD. 理由如下：连接 AD，如图.
(2) 证明：在等腰△ABC 中，AD⊥BC， ∴∠BAD =∠CAD.