人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共11题）
若向量 MA，MB，MC 的起点 M 与终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 是空间任一点），则能使向量 MA，MB，MC 成为空间一个基底的关系的是
A． OM=13OA+13OB+13OC B． MA≠MB+MC
C． OM=OA+OB+OC D． MA=2MB−MC
已知向量 a=1,2，b=−1,0，则 ∣a+2b∣=
A． 1 B． 3 C． 5 D． 6
已知向量 a=1,2，b=2,−3，若向量 c 满足 c+a∥b，c⊥a+b，则 c=
A． 79,73 B． −73,−79
C． 73,79 D． −79,−73
已知向量 a=1,0，b=x,1，且 a 与 b 的夹角是 π6，则 x 的值为
A． ±3 B． 3 C． 2 D． ±2
在平面直角坐标系中，已知向量 a=1,2，a−12b=3,1，c=x,3，若 2a+b∥c，则 x=
A． −2 B． −4 C． −3 D． −1
已知 AB=2,3，AC=3,t，∣BC∣=1，则 AB⋅BC=
A． −3 B． −2 C． 2 D． 3
在 △ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为线段 AM 的中点，AN=λAB+μAC，则 λ+μ 的值为
A． 12 B． 13 C． 14 D． 1
已知平面向量 AB=2,1，AC=−3t,3，若 AB∥AC，则 BC=
A． 25 B． 20 C． 5 D． 2
已知向量 a=1,−3，b=4,−2，若 λa−b 与 b 垂直，则 λ=
A． −1 B． 1 C． −2 D． 2
设 a 是已知的平面向量，且 a≠0．关于向量 a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 b，总存在向量 c，使 a=b+c；
②给定向量 b 和 c，总存在实数 λ 和 μ，使 a=λb+μc；
③给定单位向量 b 和正数 μ，总存在单位向量 c 和实数 λ，使 a=λb+μc；
④给定正数 λ 和 μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a=λb+μc．
上述命题中的向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．
已知向量列 an 是以 a1=1,3 为首项，公差 d=1,0 的等差向量列．若向量 an 与非零向量 bn=xn,xn+1n∈N∗ 垂直，则 x10x1=
A． 44800729 B． 4480243 C． −44800729 D． −4480243
二、填空题（共4题）
已知 A1,2 和 B3,2，若向量 a=x+3,x2−3x−4 与 AB 相等，则 x= ．
已知 a=4,2，b=6,y．
（1）若 a∥b，则 y= ；
（2）若 a⊥b，则 y= ．
已知两点 A3,−4 和 B−9,2，在直线 AB 上存在一点 P，使 AP=13AB，则点 P 的坐标为 ．
已知平面直角坐标系内的两个向量 a=1,2，b=m−1,m+3，若平面内的任意一个向量 c 都可以唯一分解成 c=λa+μbλ,μ∈R，则 m 的取值范围是 ．
三、解答题（共3题）
已知长方形 ABCD，AB=3，BC=2，E 为线段 BC 的中点，P 为线段 AB 上一点．
(1) 利用向量知识判断点 P 在什么位置时，∠PED=45∘；
(2) 若 ∠PED=45∘，求证：D，P，E，C 四点共圆．
如图，在 △ABC 中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，DB=2AD，CE=2EB．
(1) 试用 AB 和 AC 表示 DE；
(2) 求 AE⋅DE 的值．
如图，E，F 分别是矩形 ABCD 的边 CD 和 BC 的中点，AC 与 EF 交于点 N．
(1) 若 CN=λCE+μCF，求：λ+μ 的值；
(2) 设 AE=a，AF=b，试用 a，b 表示 AC；
(3) 若 AB=2，BC=1，H 是线段 EF 上的一动点，求 AH⋅HB 的最大值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】C
【解析】A中，因为 13+13+13=1，所以 M，A，B，C 共面；
B中，MA≠MB+MC，但可能 MA=λMB+μMC，所以 M，A，B，C 四点可能共面；
D中，因为 MA=2MB−MC，所以 M，A，B，C 四点共面．
故选C．
2. 【答案】C
【解析】因为 a+2b=−1,2，
所以 ∣a+2b∣=−12+22=5．
故选C．
3. 【答案】D
【解析】设 c=m,n，
则 c+a=1+m,2+n，
由 c+a∥b，
得 −3×1+m=2×2+n，
由 c⊥a+b，a+b=3,−1，
得 3m−n=0，
故 m=−79，n=−73，
所以 c=−79,−73．
4. 【答案】B
【解析】由题意可得，csπ6=a⋅b∣a∣∣b∣=x1+x2=32>0，
所以 x>0，
整理可得，x2=3，
解可得，x=3．
5. 【答案】D
【解析】由 a=1,2，a−12b=3,1，
得 12b=a−a−12b=1,2−3,1=−2,1，则 b=−4,2，
所以 2a+b=2,4+−4,2=−2,6，
又 c=x,3，2a+b∥c，
所以 6x+6=0，
解得 x=−1．
6. 【答案】C
【解析】因为 AB=2,3，AC=3,t，
所以 BC=AC−AB=1,t−3，
因为 ∣BC∣=12+t−32=1，
所以 t=3，
所以 BC=1,0，
则 AB⋅BC=2,3⋅1,0=2．
7. 【答案】A
【解析】因为 M 为 BC 边上任意一点，
所以可设 AM=xAB+yACx+y=1,x,y∈R．
因为 N 为线段 AM 的中点，
所以 AN=12AM=12xAB+12yAC=λAB+μAC，
所以 λ+μ=12x+y=12．
8. 【答案】A
【解析】因为平面向量 AB=2,1，AC=−3t,3，且 AB∥AC，
所以 2×3−1×−3t=0，解得 t=−2，
所以 AC=6,3，
所以 BC=AC−AB=6−2,3−1=4,2，
所以 BC=42+22=25．
故选A．
9. 【答案】D
【解析】因为 λa−b=λ1,−3−4,−2=λ−4,−3λ+2，λa−b 与 b 垂直，
所以 λa−b⋅b=4λ−4−2−3λ+2=0，解得 λ=2．
10. 【答案】B
【解析】给定向量 a 和 b，只需求得其差向量 a−b 即为所求的向量 c，故总存在向量 c，使 a=b+c，故①是真命题；
由于向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，故 b,c 可作基，由平面向量基本定理可知②是真命题；
由题意，当 μ<∣a∣sina,b 时，不存在符合题意的单位向量 c 和实数 λ，故③是假命题；
因为 λ 和 μ 为正数，所以 λb 和 μc 代表与原向量同向且有固定长度的向量，这就使得向量 a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使 a=λb+μc 成立，故④是假命题．故选B．
11. 【答案】D
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 −1
【解析】因为 A1,2，B3,2，
所以 AB=2,0，
又因为向量 a=x+3,x2−3x−4 与 AB 相等，
所以 x+3=2,x2−3x−4=0,
解得 x=−1．
13. 【答案】 3 ； −12
14. 【答案】 (−1,−2) 或 (7,−6)
15. 【答案】 mm≠5
【解析】因为平面内的任意一个向量 c 都可以唯一分解成 c=λa+μb，
所以根据平面向量基本定理可知，向量 a，b 不共线，
所以 1×m+3−2×m−1≠0，
所以 m≠5，
所以 m 的取值范围是 mm≠5．
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) 如图，建立平面直角坐标系，
则 C2,0，D2,3，E1,0，
设 P0,y，
所以 ED=1,3，EP=−1,y，
所以 ∣ED∣=10，∣EP∣=y2+1，ED⋅EP=3y−1，
所以 cs45∘=ED⋅EP∣ED∣∣EP∣=3y−110⋅y2+1=22，
解得 y=2，
所以点 P 为线段 AB 上靠近点 A 的三等分点．
(2) 连接 DP，当 ∠PED=45∘ 时，由（1）知 P0,2，
所以 PD=2,1，EP=−1,2，
所以 EP⋅PD=0，
所以 ∠DPE=90∘，
又 ∠DCE=90∘，
所以 D，P，E，C 四点在以 DE 为直径的圆上，即 D，P，E，C 四点共圆．
17. 【答案】
(1) 因为 CE=2EB，
所以 BE=13BC，
所以 AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
因为 DB=2AD，
所以 AD=13AB，
因此，DE=AE−AD=23AB+13AC−13AB=13AB+AC．
(2) 因为 AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，
所以 AB⋅AC=2×3×12=3，
所以
AE⋅DE=13AC+23AB⋅13AC+AB=19AC2+29AB2+13AC⋅AB=19×9+29×4+13×3=269.
18. 【答案】
(1) CN=CE+EN=CE+tEF=CE+tCF−CE=1−tCE+CF，
又 CN=λCE+μCF，
所以 λ=1−t,μ=t⇒λ+μ=1．
(2) 取 AC 的中点 O，连 OE，OF，则，
因为 AC=2OC=2OE+OF=2AE−12AC+AF−12AC，
所以 3AC=2AE+2AF⇒AC=23a+23b．
(3) 以 A 为原点，AB，AD 分别为 x，y 轴，建立直角坐标系，
则 A0,0，B2,0，E1,1，F2,12，直线 EF 的方程为：x+2y−3=0，
设 H3−2y,y12≤y≤1，则 AH=3−2y,y，HB=−1+2y,−y，
所以 AH⋅HB=3−2y−1+2y−y2=−5y2+8y−3≤60−644⋅−5=15，
当 y=45 时等号成立.