数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时训练

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共11题）
已知向量 a=23，b=4，且 a+b⊥a，则 a 与 b 的夹角为
A． π6 B． π3 C． 2π3 D． 5π6
若正方形 ABCD 的边长为 1，则 AB+AD 等于
A． 1 B． 2 C． 3 D． 22
已知平面向量 a，b 满足 a=1，b=12,m，若 a+b⊥a−b，则实数 m 等于
A． ±12 B． 12 C． ±32 D． 32
设 a，b 为向量，则“a⋅b=ab”是“a∥b”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
已知向量 a，b 满足 ∣a∣=1，a⋅b=−1，则 a⋅2a−b=
A． 4 B． 3 C． 2 D． 0
设 x∈R，向量 a=x,1，b=1,−2，且 a⊥b，则 ∣a∣=
A． 5 B． 25 C． 10 D． 10
如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC+DC+BA 等于
A． BD B． DB C． BC D． CB
在四边形 ABCD 中，AB=AD 且 BA=CD，则四边形 ABCD 的形状一定是
A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
若向量 ∣a∣=1，∣b∣=2，∣a−b∣=7，那么 ∣2a+b∣=
A． 2 B． 4 C． 12 D． 23
已知正 △ABC 的边长为 2，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 AP=1，PM=MC，则 BM2 的最大值是
A． 434 B． 494 C． 13+434 D． 13+234
已知向量 a，b 满足 ∣a∣=1，a⋅b=−1，则 a2a−b=
A． 4 B． 3 C． 2 D． 0
二、填空题（共4题）
平面向量数量积的运算律
1 . a⋅b= （交换律）．
2 . λa⋅b= = （数乘结合律）．
3 . a+b⋅c= （分配律）．
思考辨析 判断正误
向量的数量积运算满足 a⋅b⋅c=a⋅b⋅c．
在 △ABC 中，AB+BC+CA= ．
已知向量 a，b，其中 a=3，b=2，且 a+b⊥a，则向量 a 与 b 的夹角是 ．
三、解答题（共3题）
如图，在 △ABC 中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，DB=2AD，CE=2EB．
(1) 求 CD 的长；
(2) 求 AB⋅DE 的值．
已知向量 a，b 满足 a=1，b=4，且 a，b 的夹角为 60∘．
(1) 求 2a−b⋅a+b；
(2) 若 a+b⊥λa−2b，求实数 λ 的值．
在 △ABC 中，∠A=60∘，AB=3，AC=2，若 BD=2DC，AE=λAC−ABλ∈R，且 AD⋅AE=−4．
(1) 求向量 AB 在向量 CA 方向上的投影；
(2) 求实数 λ 的值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
2. 【答案】B
【解析】在正方形 ABCD 中，AB=1，可知 AC=2，
所以 AB+AD=AC=AC=2．
3. 【答案】C
【解析】因为 a+b⊥a−b，
所以 a+b⋅a−b=0，得 a2−b2=0，又 b2=122+m2，而 a=1，代入 a2−b2=0，得 m2=34，
所以 m=±32．
4. 【答案】C
【解析】 a，b 为向量，设 a 与 b 的夹角为 θ 由 a⋅b=a⋅bcsθ=ab 从而得 ∣csθ∣=1，csθ=±1，所以 θ=0或π，能够推得 a∥b，反之也能够成立，为充分必要条件．
5. 【答案】B
6. 【答案】A
7. 【答案】C
【解析】 BC+DC+BA=BC+DC+BA=BC+0=BC．
8. 【答案】C
【解析】因为 BA=CD，
所以 BA∥CD，且 BA=CD，
所以四边形 ABCD 是平行四边形，
又 AB=AD，即 AB=AD，
所以平行四边形 ABCD 是菱形．
9. 【答案】A
10. 【答案】C
11. 【答案】B
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 b⋅a ； λ(a⋅b) ； a⋅(λb) ； a⋅c+b⋅c
13. 【答案】 ×
14. 【答案】 0
【解析】 AB+BC+CA=AC+CA=0．
15. 【答案】 150°
【解析】因为 a=3，b=2，且 a+b⊥a，
所以 a2+a⋅bcs⟨a,b⟩=0，
即 3+23cs⟨a,b⟩=0，
解得 cs⟨a,b⟩=−32，
所以向量 a 与 b 的夹角是 150∘．
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) 因为 DB=2AD，
所以 AD=13AB，
所以 CD=AD−AC=13AB−AC，
因为 AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，
所以 AB⋅AC=∣AB∣⋅∣AC∣cs60∘=2×3×12=3，
所以
CD2=13AB−AC2=19AB2−23AB⋅AC+AC2=19×22−23×3+32=673.
(2) 因为 CE=2EB，
所以 BE=13BC，
所以
DE=DB+BE=23AB+13BC=23AB+13AC−AB=13AB+13AC.
所以
AB⋅DE=AB⋅13AB+13AC=13AB2+13AB⋅AC=13×22+13×3=73.
17. 【答案】
(1) 由题意，得 a⋅b=a⋅bcs60∘=1×4×12=2．
所以 2a−b⋅a+b=2a2+a⋅b−b2=2+2−16=−12．
(2) 因为 a+b⊥λa−2b，
所以 a+b⋅λa−2b=0，
所以 λa2+λ−2a⋅b−2b2=0，
所以 λ+2λ−2−32=0，
所以 λ=12．
18. 【答案】
(1) AB⋅csA=3×12=32，
所以 AB 在 CA 方向上投影为 −32．
(2) AD=AC+CD=AC−DC，
因为 BD=2DC，所以 DC=12BD=12BC−DC，
所以 DC=13BC，所以 AD=AC−13BC=AC−13AC−AB，
整理得：AD=23AC+13AB，
因为 AE=λAC−AB，
所以 AD⋅AE=23AC+13AB⋅λAC−AB=−4, ⋯⋯①
因为 AB=3，AC=2，∠A=60∘，
所以 AB=3，AC=2，csA=12，代入 ① 式，解得 λ=311．