数学七年级下册第一章 整式的乘除6 完全平方公式精品课后复习题

这是一份数学七年级下册第一章 整式的乘除6 完全平方公式精品课后复习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2022·北京东城区模拟)某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为
．( )
A. 1B. 32C. 2D. 83
2.已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. a(a+b)=a2+ab
3.下列运算正确的是( )
A. (−2a)2=−4a2B. (a+b)2=a2+b2
C. (a5)2=a7D. (−a+2)(−a−2)=a2−4
4.(2022·安徽合肥蜀山区期中)已知(x−2020)2+(x−2024)2=18，则(x−2022)2的值是
．( )
A. 5B. 9C. 13D. 17
5.已知x≠0，M=(x2+2x+1)(x2−2x+1)，N=(x2+x+1)(x2−x+1)，则M与N的大小关系是
．( )
A. M>NB. M=NC. M6.如果多项式4x2−(a−1)x+9是一个完全平方式，则a的值是( )
A. ±6B. 7或−5C. 13或−11D. ±12
7.诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A，B进行拼接(重组)探究，已知纸板A与B的面积之和为52.如图所示，现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为9.若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为( )
A. 40B. 41C. 43D. 45
8.无论x，y取何值时，x2+y2−2x+12y+38的值都是
．( )
A. 正数B. 负数C. 零D. 非负数
9.如图所示为利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中，与之相对应的是( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. (ab)2=a2b2
10.已知a2+Nab+64b2是一个完全平方式，则N等于( )
A. 8B. ±8C. ±16D. ±32
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.计算：(a−1)2= ．
12.(2023·辽宁本溪期末)如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是________．
13.x2+kx+9是完全平方式，则k=__________．
14.如果x2+mx+916是一个关于x的完全平方式，那么m的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
设a1=32−12，a2=52−32，…，an=(2n+1)2−(2n−1)2(n为大于0的自然数)．
(1)探究an是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3，…，an这一列数中从小到大排列的4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数．(不必说明理由)
16.(本小题8分)
已知多项式A=x2+2x+n2，多项式B=2x2+4x+3n2+3．
(1)若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n=________．
(2)已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为−1，则x=−m时，该多项式的值为多少？
(3)判断多项式A与B的大小关系，并说明理由．
17.(本小题8分)
若x，y为实数，且满足x2+y2−6x+4y+13=0，求yx的值．
18.(本小题8分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(如图1)，其未叠合部分(阴影)的面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)的面积为S2．
(1)用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a+b=9，ab=21，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
19.(本小题8分)
已知实数m，n满足m+n=−2，mn=−3．
(1)求(m−2)(n−2)的值；
(2)求m2+n2的值．
20.(本小题8分)
数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为a、宽为b的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2，则：

(1)由图3可以解释的等式是______；
(2)用9张边长为a的正方形纸片，12张长为b、宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______；
(3)先计算(a+2b)(2a−b)，再用图形的面积解释它的正确性．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的应用，用代数式表示两个大小不同的正方形的周长和面积是解决问题的前提．
设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列出等式，结合完全平方公式求解即可．
【解答】
解：设AB=a，BC=b，
由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得，
4a×2+4b×2=24，2a2+2b2=12，
即a+b=3①，a2+b2=6②，
由①得，a2+2ab+b2=9③，
③−②得2ab=3，
所以ab=32，
即长方形ABCD的面积为32，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：由图1得：正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2，
∴阴影部分的面积是a2−b2，
由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD−DE=a−b，
∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：A．
图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式．
此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积．
3.【答案】D
【解析】解：(−2a)2=4a2，故选项A不合题意；
(a+b)2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；
(a5)2=a10，故选项C不合题意；
(−a+2)(−a−2)=a2−4，故选项D符合题意．
故选：D．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查是代数式的求值，完全平方公式．
首先将x−20202变形为x−2022+22；x−20242变形为x−2022−22，再将(x−2022)看做一个整体，将平方式展开，从而求得代数式的值．
【解答】
解：因为(x−2020)2+(x−2024)2=18，
所以x−2022+22+x−2022−22=18，
所以(x−2022)2+4(x−2022)+4+(x−2022)2−4(x−2022)+4=18，
所以2(x−2022)2+8=18，
所以2(x−2022)2=10，
所以(x−2022)2=5．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，平方差公式，关键是化简M，N后进行作差比较大小，
运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小即可．
【解答】
解：由M=(x2+2x+1)(x2−2x+1)=(x2+1)2−(2x)2=x4−2x2+1，N=(x2+x+1)(x2−x+1)=(x2+1)2−x2=x4+x2+1
所以M−N=x4−2x2+1−(x4+x2+1)=−3x2，
因为x≠0，
所以−3x2<0，即M故选C．
6.【答案】C
【解析】解：∵(2x±3)2=4x2±12x+9，多项式4x2−(a−1)x+9是一个完全平方式，
∴a−1=±12，
解得：a=13或a=−11，
故选：C．
根据完全平方公式进行解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，(a±b)2=a2±2ab+b2．
7.【答案】C
【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意得，a2+b2=52，(a−b)2=9，
∴a2−2ab+b2=9，
∴2ab=43，
乙种拼图中阴影部分的面积为(a+b)2−a2−b2=2ab=43，
故选：C．
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意得出a2+b2=52，(a−b)2=9，进而得出2ab=43，再用代数式表示乙种拼图中的阴影部分面积即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
8.【答案】A
【解析】解：x2+y2−2x+12y+38
=x2−2x+1+y2+12y+36+1
=(x−1)2+(y+6)2+1，
因为(x−1)2≥0，(y+6)2≥0，
所以(x−1)2+(y+6)2+1≥1，
所以无论x、y取何值，x2+y2−2x+12y+38的值都是正数，
故选：A．
利用完全平方公式把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可．
本题考查的是完全平方公式，正确应用完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】根据题意，得大正方形的边长为a+b，面积为(a+b)2，由1个边长为a的正方形，2个长为a、宽为b的矩形，1个边长为b的正方形组成．∴(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A．
10.【答案】C
【解析】解：∵a2+Nab+64b2是一个完全平方式，
∴N=±16．
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出N．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11.【答案】a2−2a+1
【解析】(a−1)2=a2−2a+1．
12.【答案】a2−2ab+b2=(a−b)2
【解析】解：图甲中：S阴影=a2−2ab+b2，图乙中：S阴影=(a−b)2．
故答案为：a2−2ab+b2=(a−b)2 ．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景．利用两个图形中的阴影部分面积相等进而得到结论是解题的关键．
分别表示出图甲、图乙中阴影部分的面积即可求解．
13.【答案】±6
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k=±6．
【解答】
解：∵中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
∴k=±6．
故答案为±6．
14.【答案】±32
【解析】解：∵x2+mx+916=x2+mx+(34)2，
∴mx=±2x×34，
解得m=±32，
故答案为：±32．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15.【答案】【小题1】解：an=(2n+1)2−(2n−1)2=4n2+4n+1−4n2+4n−1=8n．
因为n为大于0的自然数，
所以an是8的倍数．
所以这个结论用文字表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【小题2】解：这一列数中从小到大排列的4个完全平方数为16，64，144，256．
当n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数．

【解析】1.
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．
利用完全平方公式，将 (2n+1)2−(2n−1)2 化简，可得结论．
2. 本题考查了“完全平方数”，考查了同学们的探究发现的能力．
理解完全平方数的概念，通过计算找出规律即可．
16.【答案】【小题1】
±1
【小题2】
解：当x=m时，m2+2m+n2=−1，
所以m2+2m+1+n2=0，
所以(m+1)2+n2=0.
因为(m+1)2≥0，n2≥0，
所以x=m=−1，n=0，
所以x=−m时，多项式x2+2x+n2的值为m2−2m+n2=1+2+0=3．
【小题3】
解：B>A．
理由如下：B−A=2x2+4x+3n2+3−(x2+2x+n2)
=x2+2x+2n2+3
=(x+1)2+2n2+2，
因为(x+1)2≥0，2n2≥0，
所以(x+1)2+2n2+2>0，所以B>A．

【解析】1. 解：因为x2+2x+n2是一个完全平方式，所以n2=1，所以n=±1．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．
此题考查了完全平方式，比较简单．
2. 本题考查了完全平方公式，偶次方的非负性．
根据题意可得(m+1)2+n2=0，再根据偶次方的非负性解答即可;
3. 本题考查了完全平方公式，偶次方的非负性．
根据题意可得B−A=(x+1)2+2n2+2，再根据偶次方的非负性解答即可．
17.【答案】解：因为x2+y2−6x+4y+13=0，
所以x2−6x+9+y2+4y+4=0．
所以(x−3)2+(y+2)2=0．
解得x=3，y=−2．
则yx=(−2)3=−8．
【解析】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
已知等式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出所求式子的值．
18.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，S2=2b2−ab；
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，
因为a+b=9，ab=21，
所以S1+S2=92−3×21=81−63=18；
(3)由图可得，S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
因为S1+S2=a2+b2−ab=30，
所以S3=12×30=15．
【解析】【分析】
(1)根据正方形面积之间的关系，即可用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
(2)根据S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，将a+b=9，ab=21代入进行计算即可；
(3)根据S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，S1+S2=a2+b2−ab=30，即可得到阴影部分的面积S3．
【解答】
解：(1)由图可得，S1=a2−b2，S2=2b2−ab；
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，
因为a+b=9，ab=21，
所以S1+S2=92−3×21=81−63=18；
(3)由图可得，S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
因为S1+S2=a2+b2−ab=30，
所以S3=12×30=15．
【点评】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，列代数式的有关知识，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
19.【答案】【小题1】解：因为m+n=−2，mn=−3，
所以(m−2)(n−2)
=mn−2m−2n+4
=mn−2(m+n)+4
=−3−2×(−2)+4
=5．
【小题2】解：因为m+n=−2，mn=−3，
所以m2+n2=(m+n)2−2mn
=(−2)2−2×(−3)
=10．

【解析】1. 本题考查整式的乘法计算，以及利用整体代入法求代数式的值．
化简所求式子化为mn−2(m+n)+4，将已知数据代入即可．
2. 本题考查利用整体法求代数式的值，涉及完全平方公式的应用，属中档题．
化简所求式子化为(m+n)2−2mn，将已知数据代入即可．
20.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab 3a+2b
【解析】解：(1)∵从整体看，大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积为：(a+b)2；
∵组成看，大正方形由一个小正方形和四个长方形组成，
∴大正方形的面积为：(a−b)2+4ab．
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab．
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(2)∵大正方形的面积为：9a2+12ab+4b2=(3a+2b)2，
∴大正方形的边长为：3a+2b；
(3)(a+2b)(2a−b)=2a2−ab+4ab−2b2=2a2+3ab−2b2；
如图：四边形ABCD的面积即可表示：(a+2b)(2a−b)的计算结果．
(1)从整体看，大正方形的边长为a+b，那么可表示出大正方形的面积为：(a+b)2；从组成看，大正方形由一个小正方形和四个长方形组成，可表示为：(a−b)2+4ab，让它们相等即可；
(2)易得大正方形的面积为9a2+12ab+4b2，符合完全平方公式，可表示为(3a+2b)2，那么边长为：3a+2b；
(3)用第一个括号里的每一项，去乘另一个括号里的每一项，最后把所得的积相加即可；根据(1)、(2)可得图形从整体看边长为：(a+2b)和(2a−b)，从组成看：由2a2，ab，4ab，−2b2组成，画出相关图形即可．
本题考查完全平方式及其应用．根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解决本题的关键．用到的知识点为：a2+2ab+b2=(a+b)2．