47，湖南省常德市临澧县第一中学2023-2024学年高三第七次阶段性考试数学试题

这是一份47，湖南省常德市临澧县第一中学2023-2024学年高三第七次阶段性考试数学试题，共18页。试卷主要包含了5D， 已知，则， 设复数等内容，欢迎下载使用。
数学（试题卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则这组数据的40%分位数为（ ）
A. 90B. 91C. 90.5D. 92
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】由题意，，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即.
故选：C
2. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，，您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 所以
，由，解得.
故选：A.
3. 已知数列，均为等差数列，且，，，则的值为（ ）
A. 760B. 820C. 780D. 860
【答案】B
【解析】
【分析】数列，均为等差数列，则数列也为等差数列，结合等差数列的定义与通项进行运算求解．
【详解】∵数列，均为等差数列，设公差分别为
则数列也为等差数列
，，
数列的首项为100，公差为20
∴，
故选：B．
4. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】C
【解析】
【分析】由线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理可判定选项A、C，其它易证.
【详解】若，因平面，，
所以，同理，过m上一点做直线n的平行线，则，
设由m和确定的平面为，则，
而，，同上可知，故，选项C正确；
有可能，所以选项A错误；
由上可知，且，所以，或，选项B错误；
如上图，不一定成立，选项D错误.
故选：C
5. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A. 240B. 192C. 96D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.
【详解】丙在正中间（4号位）；
甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲､乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同坐法的种数为.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. －B. －3C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角公式，将齐次分式转化为的方程，再利用两角和的正切公式化简求值.
【详解】
，解得：，
.
故选：A
7. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与圆C始终有两个交点
B. 圆C与x轴相切
C. 若点在圆C上，则直线的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，求出过定点，判断出在圆的外部，故A错误；B选项，求出圆心为，半径为，由于，故B错误；C选项，将代入圆的方程，求出，从而求出斜率；D选项，利用定点到圆上任一点的取值范围求解即可判断.
【详解】A选项，变形为，
故直线过定点，
由于，故在圆的外部，
故直线可能与圆C没有交点，1个交点，或2个交点，A错误；
B选项，变形为，
圆心为，半径为，由于，
故圆C与x轴不相切，B错误；
C选项，若点在圆C上，则，
即，解得，
所以，又，故直线的斜率为，C错误；
D选项，因为圆心为，半径为，
所以，
所以，即，
故的取值范围为，D正确.
故选：D
8. 已知，是双曲线的焦点，圆，直线经过点，直线经过点，，与圆均相切，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的半径及两角互余，再应用同角三角函数关系列齐次式方程，求解可得离心率.
【详解】
如图，设直线，交于点P，且与圆C的切点为A，B，
根据题意可得圆，
∴四边形是边长为的正方形，
∵在中，，
在中，，
又，
∴，
∴，
化简可得：，,又，∴解得.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数（且），则下列结论正确的是（ ）
A. 可能是实数B. 恒成立
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.
【详解】对于A：若是实数，
则，与已知矛盾，故A错误；
对于B：由A项知，
所以，
，故B正确；
对于C：若，
则，因为，所以，故C正确；
对于D：，
则，因为，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
10. 已知函数，且，在区间上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】
A.根据，是一条对称轴，再根据在上有最小值，无最大值判断；B.根据得到，求解判断；C.根据得到求解判断；根据有，进而得到且求解判断.
【详解】因为，且区间中点为，又在上有最小值，无最大值，所以，A正确；
因为，所以，两式相减得，故B正确；
若，则，则或，由，可得或，则C错误；
若，则，即且，不妨取，所以，故D错误.
故选：AB.
11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.
【详解】对A：令，，则，
因为，所以，故A正确；
对B：令得：，结合可得，
所以为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，故，
故，依次有,
所以，故C正确；
对D：令可得：;
用代替，得：，
结合C的结果，可得：，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的系数为____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项即可解出.
【详解】要求的展开式中的系数，
即求展开式中含项,
易知展开式的通项为，
所以第四项满足题意，即，
故展开式中的系数为.
故答案为：.
13. 在中，角的对边分别为，已知．则角______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可.
【详解】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因为在中，，
，
即，
即，
因为在中，,
所以，所以.
故答案为：.
14. 记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据最小值的定义可得答案.
【详解】，，
又得，可得，即，
当即时等号成立
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）先求出的导数，然后令即可；
（2）根据求极值的步骤求导，令，列表，根据表中数据即可求得极值.
【小问1详解】
解：依题意，，令，
则，解得
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
令，则，解得，
当x变化时，，变化情况如下表：
故的极小值为，无极大值，
16. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量.
（1）求时的概率；
（2）求随机变量X的概率分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据绝对值性质，结合古典概型计算公式、组合的定义进行求解即可；
（2）根据整数的奇偶性，结合绝对值的性质、古典概型计算公式、数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，所以当时，或
所以或或，
所以；
（2）因为为奇数，所以A，B必然一奇一偶，所以X为奇数，
所以，，
即X所有可能的取值为，
当时，或或，所以；
由（1）知，；
当时，或，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以随机变量X的概率分布列如下表：
随机变量X的数学期望.
17. 由各棱长均相等的四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，底面为正方形，点O为线段与的交点，点E为线段中点，平面.
（1）证明：平面；
（2）若点M为线段（包含端点）上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，可得则，设与平面所成角为，由线面角的向量公式结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
证明：取中点，连接，，∵，且，
故四边形为平行四边形，故得：，且，
∵，∴，，故四边形为平行四边形，∴，
且平面，平面，∴平面.
【小问2详解】
由题意，易证，，两两垂直，所以分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设棱长为2，
则易得以下点坐标：，，，，，，
∴，，
设为平面的法向量，则有，
取，则，所以，
设，，
因为点M在线段上，则，
设与平面所成角为，
∴
当且仅当时取等号.故与平面所成角的正弦值的最大值为.
18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由己知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；
（2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果.
【小问1详解】
设点，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以的方程为.
【小问2详解】
设点，，，，
则直线的斜率，
同理得直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以，
，
从而得.
由消去得，
所以，
由，得或.
设和的中点分别为，，
则，，
同理，，
所以，即，
所以得.
19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，.
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则.
【答案】（1）①线性相关，理由见解析；②线性相关，理由见解析
（2）线性无关，理由见解析
（3）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到即可判断；
（3）①如果某个，，然后证明，，…，，，…，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可.
【小问1详解】
对于①，设，则可得，所以，线性相关；
对于②，设，则可得，
所以，，所以，，线性相关；
【小问2详解】
设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关.
【小问3详解】
①，如果某个，，2，…，m，
则，
因为其中任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，
所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，…，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，…，，所以.
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断.x
-
0
+
单调递减
单调递增
P
1
3
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7
9
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