高考数学二轮专题复习——导函数

这是一份高考数学二轮专题复习——导函数，共62页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是（ ）
A．16B．9C．10D．26
2．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．为响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系图如图所示（为月末时间）.则该月内：①甲厂污水排放量逐渐减少；②乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；③乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快.其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，但不一定存在
5．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ）
A．B．C．D．
6．设在可导，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
12．，均有成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
14．当时，不等式成立.若，则（ ）
A．B．C．D．
15．已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
17．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．“”是“函数是上的单调增函数”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件
19．已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
21．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．－1是的极小值点B．曲线在处的切线斜率小于零
C．在区间上单调递减D．－3是的极小值点
22．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在处取得最大值D．在处取得极大值
23．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
24．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
25．函数在处有极值为，那么，的值为（ ）
A．，B．，
C．，或，D．，
26．已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27．已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
28．已知曲线，则与直线垂直的曲线的切线方程为_________．
29．曲线在处的切线方程为___________.
30．过且与曲线相切的直线方程是___________.
三、解答题
31．已知函数在处取得极小值1.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的值域.
32．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
33．已知函数（），求的单调区间；
34．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
35．设函数，其中．讨论的单调性.
36．已知函数，其中a∈R，若函数f(x)＝x•h(x)，讨论f(x)的单调性．
37．已知函数，，．
(1)求的极值；
(2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（）
38．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.
39．已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若是函数的极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数．
40．利用“函数零点存在定理”，解决以下问题.
(1)求方程的根；
(2)设函数，若，求证：.
41．（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；
（2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）
42．已知函数.
(1)当时，，求实数的取值范围；
(2)证明：（）．
43．已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点与，且，求的取值范围．
44．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：．
45．已知函数，的导函数为.
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.
46．已知函数在（为自然对数的底数）时取得极值，且有两个零点，．
(1)求实数的值，以及实数的取值范围；
(2)证明：．
47．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)在恒成立，求的取值范围.
48．已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
49．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求证：当时，对，恒有．
50．已知函数，其中，．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．
51．已知函数.
(1)求函数在上的零点个数；
(2)当时，求证：.
（参考数据：）
52．设，函数的最大值为1，最小值为，求常数，．
53．已知函数，
(1)若，求的极值；
(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．
54．已知函数，当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.
55．设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
56．已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点.
参考答案：
1．D
【分析】利用导数求得正确答案.
【详解】设汽车的速度函数为，则，
，所以秒时，汽车的加速度是.
故选：D
2．A
【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
【详解】由图知：，即.
故选：A
3．A
【分析】根据图形逐一分析各个命题即可得出答案.
【详解】解：由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故①正确；
乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故②正确，
在接近时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加快，故③错误.
故选：A.
4．D
【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A错误；
对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B错误；
对于C，不存在，曲线在点处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C错误；
对于D，曲线在点处有切线，但切线斜率可能不存在，所以不一定存在，故D正确.
故选：D
5．A
【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.
【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.
故选：A.
6．D
【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果.
【详解】因为在处可导，
由导数的定义可得：.
故选：D.
7．B
【分析】先求定义域，再求导，得到函数单调性，从而列出不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】的定义为，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
要想在子区间上不是单调函数，
则，解得：,.
故选：B
8．D
【分析】求导，判断在上单调性，利用单调性比较大小.
【详解】因为函数，
所以，
所以在上递增，
又因为，
所以，
故选：D
9．B
【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.
【详解】令，函数的定义域为，
因为
所以，
故
故在R上单调递减，
又因为
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
所以的解集为
故选：B.
10．C
【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到，，的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数,则,
令，得；令，得；
因此在上单调递增，在上单调递减,
而，，，
因为，所以.
故选：C.
11．A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
12．B
【分析】设，则，由可得，令，则，则在区间上单调递减，则对于恒成立，可得，，即可得出答案.
【详解】不妨设，则，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，则，
因为，所以在区间上单调递减，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，所以.
故选：B.
13．B
【分析】构造函数，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于，结合单调性即可得解.
【详解】设，则，
∴在上单调递减.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：B．
14．D
【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.
【详解】当时，不等式，
令，则在上单调递增，
对A，因，则，故A错误；
对B，，则，B错误；
对C，由知，，有，
则，由选项A知，，即，故C错误；
对D，由得，，
则，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题涉及两个量的大小，关键点在于通过对条件的不等式进行变形，从而构造函数，再分析并运用函数的单调性即可判断.
15．B
【分析】构造函数，求导可得的单调性，进而可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
所以在R上单调递减.
不等式等价于不等式，
即.因为，
所以，
所以.因为在R上单调递减，
所以，解得.
故选:B
16．C
【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
17．B
【分析】利用导数分析可知，函数在上单调递增，从而可知函数在上为增函数，利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】当时，，则，
所以，函数在上单调递增，
由题意可知，函数在上为增函数，
当时，为增函数，则，可得，
且有，解得.
综上所述，.
故选：B.
18．B
【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案.
【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立.
即恒成立，，故.
故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.
故选：B
19．A
【分析】因为在上不单调，故利用在上必有零点，利用，构造函数，通过的范围，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
20．B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
21．B
【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，结合极值点的定义即可判断ACD选项，根据导数的定义和几何意义即可判断B.
【详解】结合导函数图像可知当或时，，单调递增，
当时，单调递减，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，C错误；
所以是的极大值点，是的极小值点，不存在其他极值点，AD错误；
又因为，所以在处切线斜率小于零，B正确；
故选：B
22．D
【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；
在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.
故选：D
23．A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为:A.
24．B
【分析】先对函数求导，将函数在区间有极值点转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可．
【详解】依题意得，则为单调函数，
又函数在区间有极值点，即导函数在区间有零点，
则有，解得．
故选：B．
25．A
【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．
【详解】，
由题意可知即，
则解得或，
当时，，
在处不存在极值，不符合题意；
当时，，
，，，，符合题意．
，
故选：A．
26．C
【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.
【详解】由题意得，
由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，
令，则需满足在上没有变号零点；
令，得，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时取得最小值，其大致图象如图：
要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得 在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.
27．B
【分析】函数有三个极值点，则有三个零点，对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围．
【详解】函数有三个极值点，则
有三个零点，即方程有三个根，
不妨令,则，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
，且当时，恒成立．
当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，
故当时，满足题意，则
故选：B．
28．
【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解
【详解】设切点为，
因为，所以，
因为曲线的切线与直线垂直，
所以，
解得，
又点在曲线上，则，
所以切点坐标为，
所以曲线的与直线垂直的切线方程为：
，
即
故答案为：.
29．
【分析】求出导函数，令得切线斜率，再求得时的函数值，得切线的斜截式方程．
【详解】,
，
时，，又，
∴所求切线方程为．
故答案为：．
30．
【分析】设曲线切点为，对函数求导，点斜式方程，代入即可求出，即可求出答案.
【详解】设切点为，曲线，，
则切线斜率为
直线经过点，则直线，
切点在直线上，则
或
或
则直线为.
故答案为：.
31．(1)a＝3，b＝－9
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）由（1）得到的解析式，利用导数研究其单调性，进而可求出最值，得到值域.
【详解】（1）因为，所以，
根据题意，即
解得a＝3，b＝－9.
（2）由（1）知，，
令，解得或，
当时，及的变化情况如下表：
因此当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故的值域为.
32．（1）的递增区间，递减区间，极小值，无极大值；（2）.
【分析】（1）求得，以及函数的单调性，即可求得单调区间和极值；
（2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性和最值，结合已知条件，即可求得参数值.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值
（2）
①当时，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减
时，，单调递增
，
解得，不满足，故舍去
③当时，，在单调递减，
，
解得，满足
综上：
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及利用导数研究函数的单调性，属综合基础题.
33．答案见解析
【分析】求得，通分分解因式，对参数进行分类讨论，利用导数研究不同情况下函数的单调性即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则或，
当，即时，，
所以函数在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为；
34．(1)；
(2)答案见解析﹒
【分析】(1)求f(2)及在x＝2处导数值，根据导数几何意义和直线点斜式方程即可求解；
(2)求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性．
（1）
当时，，，，，
故在处的切线方程为，
即；
（2）
，
当，即时，，在R上单调递增；
当，即时，
由，得，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
35．答案见解析
【分析】求出函数的导函数，分，两种情况讨论，根据导函数的符号，即可得出函数的单调区间.
【详解】解：
当时，，在内单调递减.
当时，由，有.此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上：当时，在内单调递减，
当时，在内单调递减，在单调递增.
36．见解析
【分析】由条件可得，然后分三类讨论，可得的单调情况；
【详解】，
则，
①当时，在上恒成立，在上单调递减；
②当时，，
令，即，解得；
令，即，解得，
在上单调递减，在上单调递增；
③当时，，
令，即，解得；
令，即，解得，
在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
37．(1)极大值，极小值为
(2)
【分析】（1）求出，令，得或，再列出的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；
（2）根据（1）求出在上的最小值为，则将若存在，对任意的，使得不等式成立，转化为在上恒成立，再构造函数，，转化为，利用导数求出代入可得解
【详解】（1）由，
得,
令，得或，
的变化关系如下表：
由表可知，当时，取得极大值，为，当时，取得极小值，为.
（2）由（1）知，在上单调递减，所以当时，，
于是若存在，对任意的，使得不等式成立，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
，
因为，所以，，
因为，所以，所以，
所以单调递减，故，
于是，得，又，
所以实数a的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
38．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解；
（2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
若，，函数在上单调递减；
若，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，函数在上单调递减；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）令，
于是恒成立，即恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，，则有，
所以的取值范围是.
【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法
(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；
(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
39．(1)函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值.
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2
【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.
（2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数.
【详解】（1），，取得到，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值.
（2）（ⅰ），，
，故，
设，函数单调递增，
，.
根据零点存在定理知.
（ⅱ），，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，故，，故函数在上有1个零点.
综上所述：在区间上的零点个数为2
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.
40．(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）构造函数，利用函数零点存在定理转化求解即可；
（2）由题意可得，根据零点存在定理可得，从而可证明.
【详解】（1）方程的根就是函数的零点，
因为函数是连续的递减函数，且，
所以函数的零点在内.
因为，
所以函数的零点为2，即方程的根为.
（2）若，所以，即.
因为在上单调递增，且，，
所以.
，
因为，所以，所以.
所以，所以.
故.
41．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答.
（2）求出函数的导数，利用导数分类讨论函数的单调性、零点情况作答.
【详解】（1）令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增，
而，，则存在，使得，即，有，
当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，
所以.
（2）函数定义域R，求导得，
当时，由得，，由得，，即函数在上递减，在上递增，
，而，即存在，使得，则函数在上有唯一零点，
取且，则，
即存在，使得，则函数在上有唯一零点，
因此当时，函数有两个零点，
当时，函数只有一个零点2，
当时，若，当或时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，又，，
因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，
若，恒有，即函数在R上单调递增，函数最多一个零点，
若，当或时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，
因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，
综上得，当时，函数有两个零点，当时，函数最多一个零点，
所以a的取值范围是.
42．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，结合函数的单调性即可得解；
（2）由（1）可得当时，，令，可得，再由，即可得到，从而得证.
【详解】（1）解：因为，所以，
当时，因为，所以，在上单调递增，
所以，符合题意，
当时，若时，，在上单调递减，
此时，与矛盾，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）证明：由（1）知，当时，若，有，当且仅当时等号成立，
所以当时，，
令，有，即
因为，，所以，即，，
所以，
即.
43．(1)1
(2)．
【分析】（1）设切点，根据切点既在曲线上又在切线上列方程组解决即可；（2）是的两个不同的正根，得，又，令，讨论单调性得即可解决.
【详解】（1）设切点为．
因为，与曲线相切，
所以，
得．
令，则．
令，解得，
令，解得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故．
所以的解为．
所以．
（2）因为，，
所以是的两个不同的正根，
即，
故，且，
所以．
因为，
令，
则单调递增，且，
所以在单调递增，
故．
综上所述，的取值范围是．
44．(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【分析】(1) 求函数的定义域和导函数，根据导函数讨论函数的单调性即可；
(2)先将已知条件进行等价转化为，结合（1）的结论得到，然后构造函数，利用新函数的单调性得到结论.
【详解】（1）由题意得的定义域为，则，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）将的等号两边同时除以，得，即，故．
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，设，则．
设，
则，
由，得，故，故，单调递增，又，所以，所以当时，，
得，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，所以，
即．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
45．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先由导数证明，再由，得出，求出的最小值得出实数a的取值范围；
（2）将条件转化为方程在上有两个不同的实数根，由函数单调性得出取值范围，利用换元法得出得，再由的单调性证明不等式.
【详解】（1），
设，则，
所以在上单调递增，，
所以令，得，即.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以， 所以，此时，在上单调递增，
故a的取值范围是.
（2）要证在上有两个不同的实数根.
即证方程在上有两个不同的实数根，
即证方程在上有两个不同的实数根，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
又，，
所以方程在上有两个不同的实数根，，且.
因为，所以，
又，所以，（点拨：根据函数的单调性得到的范围）
易知，，
两式分别相加、相减得，，
得，
设，则，，
所以.（换元，将双变量问题转化为单变量问题）
设，则，
所以在上单调递减，所以，得证.
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于利用，将双变量转化为单变量问题，再由导数证明不等式.
46．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据极值的判定方法，利用导数求得极值点，建立方程，根据零点存在性定理，结合函数的单调性，建立不等式组，可得答案；
（2）利用零点的定义，建立方程，整理表示出的代数式，整理化简不等式，构建函数，利用导数，可得答案.
【详解】（1）由已知函数的定义域为，
又．
由，得，且当时，；当时，，
所以在时取得极值，所以，解得．
所以，，
函数在单调递增，在上单调递减，．
又时，；时，，
又有两个零点，，则，解得．
所以实数的取值范围为．
（2）证明：不妨设，由题意知，则，
，
要证，只需证，也即证，即证，
令，则只需证，即证，
设，则，
所以在上单调递增，则，从而原不等式成立，
即成立．
47．(1)
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线方程；
（2）二次求导后，对a分类讨论，分别研究单调性，求最值进行验证.
【详解】（1）当时，，
所以.
故在处的切线方程为.
（2）由题意知，令，
当时，对任意，则，
所以在单调递减，所以，满足题意；
当时，在上恒成立，所以在单调递减，则，
①当，即时，，所以在单调递减，
所以，满足题意；
②且时，即时，由零点存在性定理知，，使得.
当时，，所以在单调递增，所以，不满足题意；
③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数解决恒（能）成立问题．
48．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；
（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.
【详解】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，则，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.
49．(1)当时，在上单调递减；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)见解析
【分析】（1）对求导，分，两种情况，根据导数的正负可判断的单调性；
（2）构造新函数，将所求问题转化为对恒成立，利用导数研究的单调性，即可证得.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，此时在上单调递减；
当时，令，解得：，
所以在上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当时，，
令函数，，
所以在上单调递减，且，
所以，即，
所以当，，则，所以，
所以当，，则，所以，
令函数，
则，
所以在上单调递增，又，
所以对，恒成立，
所以当时，对，恒有.
【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
50．(1)函数在内单调递增
(2)
【分析】（1）由时，得到，然后利用导数法求解；
（2）由，令，求导，由得到，令，利用数形结合法求解.
【详解】（1）解：当时，，．
因为，所以，，因此，
故函数在内单调递增．
（2），令，则．
由得，．显然不是的根．
当时，．
令，则．
由得．当或时，；
当时，，
且，．所以极大值是．
由图知，当或时，
直线与曲线在内有唯一交点或，
且在附近，，则；
在附近，，则．
因此是在内唯一极小值点．
同理可得，是在内唯一极大值点．
故a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：关于极值点问题，转化为函数零点再结合极值点的定义求解.
51．(1)即在上有2个零点；
(2)答案见解析.
【分析】（1）注意到，.利用导数研究在上的单调性与最值即可得在上的零点个数；
（2），令，分别说明
在上的最小值大于或等于0即可.
【详解】（1）由题，，
令，，
则.得在上单调递增.
因，则，
又，则.
又.
得.
又，则.
则，使得，又在上单调递增，
则当，在上单调递减，
当，在上单调递增.
又注意到，
，
则，又，
.
则，
即在上有2个零点.
（2），
令，.
则.
则，
令，，
则.
①当，，
则；
②当，.
则，
得在上单调递增，则
.故在上单调递减，则此时；
③当，，
又此时，则，
得在上单调递增，则.
故在上单调递增，则此时；
④当，，
又此时，则.
得在上单调递增，
又，故在上单调递增.
则.
综上，当时，，即，当且仅当时取等号.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数零点及利用导数证明不等式.
（1）问关键在于找点及估值.（2）问虽不含参数，但含有三角函数，故从自变量角度进行分段处理.
52．，；
【分析】求导，从而确定函数的单调性，列出、与的关系表，即可得到极值，再根据区间端点函数值比较，从而可得，，解得即可．
【详解】解：，，
，
当，时，；当时，；当，时，；
所以当变化时与的关系，列表如下：
而，，，
令，则，
故，
故，
，所以，
解得，；
53．(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）利用导数可求得单调性，由此得到极值点，代入可得极值；
（2）利用导数可求得单调性，结合，可知，利用可构造方程求得，从而得到.
（1）
当时，，，
令，解得：，，
则变化情况如下表：
的极大值为；极小值为
（2）
，，又，；
令，解得：，；
则变化情况如下表：
在，上单调递增，在上单调递减，
，，，
又，，
在上的最大值为，解得：；
.
54．
【分析】求出，讨论导数的符号后可得函数在上的单调性，结合已知最大值可求的取值范围.
【详解】由题设可得，故，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
故函数在区间上的最大值为，符合；
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故函数在区间上的最小值为，最大值为，且，
不符合；
若，则时，；时，，
故在上为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为，
因函数在区间上的最大值为，故，
整理得到，故.
综上，.
55．(1)1；
(2)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答.
（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.
【详解】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
56．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案；
（2）利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1），，
当，即时，，在单调递增，无极值；
当，即时，，；，，
在单调递增，在单调递减，
此时，在处取得极大值，无极小值.
综上，若存在极值，则.
（2）当时，，，
因为，令，则，
所以在单调递减，又因为，，
所以在有唯一的零点，，；，，
于是在单调递增，在单调递减，
可知在存在唯一的极大值点（），
由，，
，
令，，
由，；，，
则在上单调递增，在单调递减，即，
故，即，
可知在和分别恰有一个零点.
所以当时，有且仅有两个零点.
1
2
0
28
单调递减
1
单调递增
8
3
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
极大值
极小值
极大值
极小值