2022-2023学年浙江省舟山市九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省舟山市九年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为3，线段OP的长为4，则下列说法正确的( )
A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O上D. 无法判断点P与⊙O的位置关系
2.下列事件中是不可能事件的是( )
A. 明天要下雨B. 3月1日的前一天是2月30日
C. 打开电视机，正在播放广告D. 在地球上抛掷一枚硬币，一定会掉下来
3.下列各组图形中，一定相似的是( )
A. 两个矩形B. 两个等腰三角形C. 两个菱形D. 两个正六边形
4.下列不等式成立的是( )
A. sin30°C. sin30°5.数2和8的比例中项是( )
A. ±4B. ±5C. 4D. 5
6.如图，在△ABC中，点M，D分别在BC，AC上，且BM=MC，CD=3AD，连AM与BD交于点E.则AEME的值为( )
A. 14
B. 12
C. 13
D. 23
7.当圆的半径是R时，90°的圆心角所对的弧长是l，若该圆的半径增加2，则90°的圆心角所对的弧长是( )
A. l+πB. l+4πC. l+2D. l+4
8.把抛物线y=−2x2向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A. y=−2(x+1)2−3B. y=−2(x−1)2+3
C. y=−2(x+1)2+3D. y=−2(x−1)2−3
9.已知抛物线y=ax2+bx−2(a≠0)的顶点在第四象限，若它经过点(−1,0)，则a的值不能为( )
A. 12B. 1C. 32D. 52
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知3a=4b，则ab=______．
11.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2，则AP=______．
12.袋子中有6个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同.从袋子中随机地摸出1个球，是红球的概率是______．
13.把二次函数y=−12x2+x化成y=a(x+m)2+k(a≠0)形式是y= ______．
14.如图，在2×2的单位方格(方格边长为1)中，点A，B，C刚好在格点上，则sin∠BAC= ______．
15.如图1，M，N分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，点E在边CD上运动，点F在边CD的延长线上运动，始终保持DF=2DE，AB=4BC=2，连接AE，MF交于点G.①如图2，当点E与点N重合时，则EG= ______.②如图1连结CG，若点E从点D沿DC方向运动到点N停止，则线段CG的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1)tan45°−sin60°⋅cs30°；
(2)若α是锐角，且sinα=13，求csα的值．
17.(本小题6分)
小聪和小颖报名参加校“数学节”游园工作活动，他们被随机分配到A，B，C三个项目中承担工作任务．
(1)小聪被分配到项目A工作的概率为______．
(2)若小颖未分配到项目C工作，请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小颖被分配到同一项目工作的概率．
18.(本小题6分)
如图，△ABC中，D是AC上一点，且∠CBD=∠A．
(1)若∠A=40°，∠C=70°，求∠ABD的度数；
(2)若AD=5，CD=4，求BC的长．
19.(本小题8分)
如图．
(1)写出四边形ABCD的各个顶点的坐标；
(2)以坐标原点O为位似中心，作与四边形ABCD的位似比为3的位似四边形A′B′C′D′.画出四边形A′B′C′D′，并写出四边形A′B′C′D′各顶点的坐标．
20.(本小题8分)
2022年12月15日连结长峙岛一小干岛一本岛的新城茶山大桥正式通车，大桥两侧整齐划一的路灯成了一道靓丽的风景，如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE/​/AB，灯泡EF⊥DE于点E，AC=5.5米，CD=3米，EF=0.4米，∠CDE=162°．
(1)求∠MCD的度数；
(2)求灯泡下端点F到地面AB的距离.(精确到0.1米，参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32)
21.(本小题10分)
某宾馆共有100个房间可供顾客居住.宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：明年2月份，该宾馆每天的房间空闲数y(间)与每天的定价x(元/间)之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．
(1)写出该宾馆每天的房间空闲数y(间)与每天的定价x(元/间)之间函数关系．
(2)该宾馆将每天的定价x(元/间)确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
(3)如果宾馆每天的日常运营成本为4400元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出36元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．
22.(本小题10分)
已知二次函数y=a(x+3)(x−1)(a≠0)的图象过不同的三点A(n,y1)，B(1−n,y2)，C(−1,y3).
(1)若二次函数的最大值为4，求a的值．
(2)若y1>y2>y3，求n的取值范围．
23.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H．
(1)求证：∠FGC=∠AGD；
(2)若CD平分OB，且CD=2 3，求OB的长．
(3)用等式表示线段DH，HG，CG之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径是3，线段OP的长为4，
即点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
直接根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d2.【答案】B
【解析】解：A、“明天要下雨”是随机事件，不符合题意；
B、“3月1日的前一天是2月30日”是不可能事件，符合题意；
C、“打开电视机，正在播放广告”是随机事件，不符合题意；
D、“在地球上抛掷一枚硬币，一定会掉下来”是必然事件，不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，
B、任意两个等腰三角形对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个正六边形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意．
故选：D．
根据相似图形的概念进行判断即可．
本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：因为当α为锐角时，
sinα的值随α的增大而增大，csα的值随α的增大而减小，
所以cs45°又因为sin30°=12，cs45°= 22，且12< 22，
所以sin30°所以sin30°故选：C．
熟知三角函数的增减性及特殊角的三角函数值是解题的关键．
本题考查锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值，熟知锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设2和8的比例中项是x，则：
x2=2×8，
解得x=±4，
故选：A．
根据比例中项的概念：比例中项的平方等于两个数的乘积．设2和8的比例中项是x，直接列方程求解．
考查了比例中项的概念：如果一个比例式中的两个内项相同，则是比例中项．注意一个正数的平方根有两个．
6.【答案】D
【解析】解：如图，过点M作MH/​/BD，交AC于H，
∵MH//BD，
∴CMBM=HCDH，
∵BM=MC，
∴HC=DH=12DC，
∵CD=3AD，
∴DH=32AD，
∵BD//MH，
∴ADDH=AEME=23，
故选：D．
由平行线分线段成比例可得HC=DH=12DC，可得DH=32AD，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，添加恰当辅助线构造平行线是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵l=90πR180=12πR，
∴90π(R+2)180=12πR+π=l+π．
故选：A．
利用弧长的计算公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键．
8.【答案】D
【解析】解：把抛物线y=−2x2向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=−2(x−1)2−3．
故选：D．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx−2(a≠0)的顶点在第四象限，经过点(−1,0)，
∴a>0，a−b−2=0，−b2a>0，
∴b=a−2，
∴a>0a−2<0，
∴0故选：D．
由抛物线y=ax2+bx−2(a≠0)的顶点在第四象限，经过点(−1,0)可得a>0，a−b−2=0，−b2a>0，进而可求a的取值范围．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，熟记知识点是解决本题的关键．
10.【答案】43
【解析】解：∵3a=4b，
∴ab=43．
故答案为：43．
根据比例的性质直接求解即可．
本题考查了比例的性质，熟记内项之积等于外项之积是解题的关键．
11.【答案】 5−1
【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=2× 5−12= 5−1．
根据黄金分割点的定义，且AP是较长线段；则AP= 5−12AB，代入数据即可得出AP的长．
理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3− 52，较长的线段=原线段的 5−12．
12.【答案】23
【解析】解：袋中球的总数为：6+3=9，
取到红球的概率为：69=23．
故答案为：23．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题主要考查了概率的求法，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn是解题的关键．
13.【答案】−12(x−1)2+12
【解析】解：y=−12x2+x=−12(x2−2x)=−12(x2−2x+1−1)=−12(x−1)2+12．
故答案为：=−12(x−1)2+12．
利用配方法计算即可．
本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法求二次函数的顶点式是解题的关键．
14.【答案】35
【解析】解：过点A和点B分别作BC和AC的垂线，垂足分别为M和N，
因为方格的边长为1，
则由勾股定理得，
AC= 12+22= 5，
AB= 12+22= 5，
BC= 12+12= 2，
所以CM=12BC= 22，
则AM= ( 5)2−( 22)2=32 2．
由面积法可知，
12AC⋅BN=12BC⋅AM，
则 5⋅BN= 2×32 2，
解得BN=35 5．
在Rt△BAN中，
sin∠BAC=BNBA=35 5 5=35．
故答案为：35．
过点A和点B分别作BC和AC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形，过点B和点A作垂线构造出直角三角形是解题的关键．
15.【答案】3 58 6 1313
【解析】解：①∵M，N分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，
∴CD=AB=2，AM=DN=1，∠ADN=90°，AB/​/CD，
当点E与点N重合时，DE=DN=1，
∵DF=2DE，AB=4BC=2，
∴DF=2，BC=AD=12，
∴EF=DE+DF=1+2=3，
在Rt△AED中，AE= AD2+DE2= (12)2+12= 52，
∵AB/​/CD，
∴△AMG∽△EFG，
∴AGEG=AMEF=13，
∴AG=13EG，
∵AG+EG=AE= 52，
∴EG=3 58；
②如图，连接DG，并延长DG交AB于Q，
∵AB/​/CD，
∴△AMG∽△EFG，△AQG∽△EDG，
∴AGEG=AMEF，AGEG=AQDE，
∴AMEF=AQDE，
∵DF=2DE，
∴EF=3DE，
∴13DE=AQDE，
∴AQ=13，
∴QD= AQ2+AD2= (13)2+(12)2= 136，
∵点G在QD上运动，
∴当CG⊥QD时，CG有最小值，
此时，∠CGD=∠DAQ=90°，
∵AB/​/CD，
∴∠AQD=∠CDG，
∴△AQD∽△GDC，
∴CGAD=CDQD，即CG12=2 136，
∴CG=2×12 136=6 1313．
故答案为：3 58；6 1313．
①由勾股定理可得AE= 52，由AB/​/CD，可得△AMG∽△EFG，得出AG=13EG，由AG+EG=AE= 52，即可求得EG=3 58；
②连接DG，并延长DG交AB于Q，由AB/​/CD，可得△AMG∽△EFG，△AQG∽△EDG，得出AQ=13，运用勾股定理可得QD= 136，推出点G在QD上运动，故当CG⊥QD时，CG有最小值，再由△AQD∽△GDC，即可求得CG=6 1313．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=1− 32× 32
=1−34
=14；
(2)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠α，
∵sinα=BCAB=13，
∴令BC=x，AB=3x，
∴AC= AB2−CB2=2 2x，
∴csα=ACAB=2 2x3x=2 23．
【解析】(1)代入原式特殊角的三角函数值，即可计算；
(2)由sinα=BCAB=13，令BC=x，AB=3x，由勾股定理求出AC= AB2−CB2=2 2x，即可求出csα的值．
本题考查同角三角函数关系，特殊角的三角函数值，关键是掌握锐角的正弦、余弦定义，熟记特殊角的三角函数值．
17.【答案】13
【解析】解：(1)小聪被分配到项目A工作的概率为13，
故答案为：13；
(2)列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中小聪和小颖被分配到同一项目工作的结果有2种，
∴小聪和小颖被分配到同一项目工作的概率为26=13．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)∵∠A=40°，∠C=70°，
∴∠CBD=∠A=40°，∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−40°−70°=70°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=70°−40°=30°．
(2)∵AD=5，CD=4，
∴AC=9，
∵∠CBD=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴DCBC=BCAC，即4BC=BC9，
∴BC=6．
【解析】(1)易得∠CBD=∠A=40°，由三角形内角和定理求得∠ABC=70°，于是∠ABD=∠ABC−∠CBD；
(2)易得AC=9，△BDC∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
19.【答案】解：(1)由图可得，A(2,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(−2,4)．
(2)如图，四边形A′B′C′D′和四边形A′′B′′C′′D′′均满足题意．
A′(6,0)，B′(12,9)，C′(6,12)，D′(−6,12)，
A′′(−6,0)，B′′(−12,−9)，C′′(−6,−12)，D′′(6,−12)．
【解析】(1)由图可得出答案．
(2)根据位似的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)延长ED与AM，交于点P，

∵MA⊥AB，
∴∠MAB=90°，
∵EP/​/AB，
∴∠EPA=180°−∠MAB=90°，
∵∠CDE是△CPD的一个外角，∠CDE=162°，
∴∠MCD=∠CDE−∠EPA=72°，
∴∠MCD的度数为72°；
(2)在Rt△CPD中，CD=3米，∠PCD=72°，
∴CP=CD⋅cs72°≈3×0.31=0.93(米)，
∵EF⊥DE，AC=5.5米，EF=0.4米，
∴AC+CP−EF=5.5+0.93−0.4=6.03≈6.0(米)，
∴灯泡下端点F到地面AB的距离约为6.0米．
【解析】(1)延长ED与AM，交于点P，根据垂直定义可得：∠MAB=90°，然后利用平行线的性质可得：∠EPA=90°，从而利用三角形的外角性质进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论，在Rt△CPD中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b，
则180k+b=3220k+b=13，
解得k=0.25b=−42，
∴y与x的函数解析式为y=0.25x−42(x>0)；
(2)当y=0，房间恰好被全部订完，即0.25x−42=0，
解得x=168，
答：该宾馆将每天的每间房定为168元时，所有的房间恰好被全部订完；
(3)设每天的利润为W元，
据题意得：W=(x−36)(100−y)−4400
=(x−36)[100−(0.25x−42)]−4400
=−0.25x2+151x−5112−4400
=−0.25(x−302)2+13289，
∵−0.25<0，
∴当x=302时，W有最大值，最大值为13289，
答：宾馆应将房间定价确定为302元时，才能获得最大利润，每天的最大利润为13289元．
【解析】(1)待定系数法求出y关于x的一次函数解析式；
(2)令y=0求出x的值即可；
(3)根据总利润=每个房间的利润×入住房间的数量−每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
本题考查待定系数法求一次函数解析式及二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
22.【答案】解：(1)据题得y=a(x2+2x−3)=a[(x+1)2−4]，
∵函数有最大值4，则a<0，
当x=−1时，ymax=−4a=4，
∴a=−1，
(2)y=ax2+2ax−3a(a≠0)，
①当a<0时，顶点(−1,−4a)，则C(−1,y3)为顶点，
∴y3为最大值，不满足y1>y2>y3，
②当a>0时，顶点(−1,y3)，即C(−1,−4a)为顶点，
∴y3为最小值，
又∵y1>y2，
当A、B都在对称轴右侧，则n>1−n>−1⇒12当A、B都在对称轴左侧，则−1>1−n>n⇒无解，
当A、B在异侧时，A左B右，则n<−11−n<−1n+1>1−n−(−1)，
解得n>12；
当A在B左侧时，则n>−1，1−n<−1⇒无解，
综上所述12【解析】(1)将解析式y=a(x2+2x−3)=a[(x+1)2−4]，根据条件函数有最大值4，则a<0，当x=−1时，ymax=−4a=4，则a=−1；
(2)将解析式转化为y=ax2+2ax−3a(a≠0)，先判断a<0不满足y1>y2>y3再分析a>0时的情况，当a>0时，顶点(−1,y3)，即C(−1,−4a)为顶点，
则y3为最小值，再分析A、B两个点所在不同位置时的情况，最后得到n的取值范围即可．
本题考查了二次函数最值，分类讨论是解决本题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，连接AC，BD，BG，

∵弦CD⊥AB于点E，
∴BD=BC，
∴∠DGB=∠BGC，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠BGF=90°，
∴∠AGB−∠DGB=∠FGB−∠CGB，
∴∠CGF=∠AGD；
(2)解：∵CD平分OB，
∴OE=BE=12OB=12OD，
∵弦CD⊥AB于点E，AB是圆O的直径，
∴BD=BC，
∴AB⊥DC，
∴DE=CE=12CD=12×2 3= 3，
∵OD2=DE2+OE2，
∴OD2=( 3)2+(12OD)2，
∴OD=2，
∴OB=OD=2；
(3)解：DH=HG+CG，理由如下：
如图2，连接AD，AC，延长DG至C′，使C′G=CG，连接AC′，

∵∠AGC+∠CGF=180°，∠AGC′+∠AGD=180°，
由(1)知：∠CGF=∠AGD，
∴∠AGC=∠AGC′，
∵AG=AG，
∴△AGC≌△AGC′(SAS)，
∴CG=C′G，AC=AC′，
由垂径定理知：AB是DC的垂直平分线，
∴AD=AC，
∴AD=AC′，
∵AH⊥DG，
∴DH=C′H，
∴DH=C′H=HG+C′G=HG+CG．
【解析】(1)如图1，连接AC，BD，BG，根据垂径定理可得BD=BC，然后根据直径所对圆周角是直角得∠AGB=90°，进而利用角的和差关系可以解决问题；
(2)根据垂径定理和勾股定理即可解决问题；
(3)如图2，连接AD，AC，延长DG至C′，使C′G=CG，连接AC′，证明△AGC≌△AGC′(SAS)，得CG=C′G，AC=AC′，由垂径定理知：AB是DC的垂直平分线，所以AD=AC，得AD=AC′，然后根据等腰三角形三线合一和线段的和差即可解决问题．
本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解决本题的关键是准确作出辅助线得到△AGC≌△AGC′．每天的定价x(元/间)
180
220
228
…
每天的房间空闲数y(间)
3
13
15
…
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)