必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂达标检测题

这是一份必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．2C．D．4
2．已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
3．已知，为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
8．已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
10．在中，D在边上，，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在中，点满足．则下面描述正确的是为（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若、则的最大值为
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
三、填空题
13．已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .
14．已知单位向量的夹角为，向量，若，则 .（写出一个可能值）
15．已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
16．已知所在平面内一点满足，则点是的 心填“内”、“外”、“重”、“垂”，若的内角，边，则的最大值是 ．
四、解答题
17．在中，内角满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
18．已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
19．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此时，的值．
20．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．

(1)求向量在方向上的投影向量；
(2)求平面OEB与平面OEF夹角的余弦值．
参考答案：
1．A
【分析】由向量数量积公式计算即可得.
【详解】因为，，所以.
故选：A.
2．C
【分析】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可.
【详解】由，且均不为零向量，则，
可得，则，
整理得，解得或．
故选：C．
3．B
【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求即可判断夹角大小.
【详解】由题意，则与的夹角为.
故选：B
4．D
【分析】借助平面向量的数量积公式与投影向量公式计算即可得.
【详解】
.
故选：D.
5．D
【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为即，点为的中点，
所以，
所以.
故选：A.
6．D
【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，即可得答案.
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故
又，则，
故，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
故选：D
7．B
【分析】A选项，利用向量法求解判断；B选项，由判断；C选项，利用向量夹角公式判断；D选项，利用向量夹角公式判断.
【详解】A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A不正确；
B选项，，又，
，
∴，所以选项B正确；
C选项，，
，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项C不正确；
D选项，，，
设与所成角的平面角为，
因为
，
，
，
∴
，所以选项D不正确.
故选：B
8．A
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】在上的投影向量为 ,
故选：A
9．BCD
【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，根据平面向量数量积的公式，模长公式及夹角公式可得结果.
【详解】选项A：
，故A错误，C正确；
选项B：
，故B正确；
选项D：因为
，
，
所以，
因为，所以，故D正确；
故选：BCD.
10．BCD
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误;
对于选项B：,故B正确;
对于选项C：,
而，所以，
故C正确;
对于选项D：,故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】由向量的线性运算法则，可得判定A正确；由，求得，可判定B错误；由，求得，结合为的中点，得到，可判定C正确；设，利用向量的数量积，求得，结合基本不等式，可判定D正确．
【详解】由中，点满足，如图所示，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，可得，所以，
所以B错误；
对于C中，由，可得，所以，
所以，又因为点为的中点，所以，所以C正确；
对于D中，若，设，
则，即
设，
则，可得，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为，所以D正确．
故选：ACD.
12．BC
【分析】A：由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A错；由正弦函数值确定角的范围判断B正确；由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；D利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D错误.
【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，
即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A错误；
对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，，所以，即，所以，故选项B正确；
对于C，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确；
对于D.，
而，所以A，B，C都为锐角，D错误；
故选：BC.
13．
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知数据，求解即可.
【详解】因为与的夹角为，
所以在向量上的投影向量为.
故答案为：.
14．（或，答案不唯一）
【分析】由向量模的公式以及数量积公式进行运算，结合余弦函数的值域即可求解.
【详解】由题意，
所以，所以只能取或.
故答案为：（或，答案不唯一）.
15．
【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】因向量与共线，令，
则，而向量，为单位向量，且，
于是得
，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
16． 垂
【分析】根据向量数量积为零可得， ，所以点是的垂心；利用向量的夹角和向量数量积的运算，化简得，由得结论.
【详解】，，即，，
同理可得：，，是的垂心，
延长交于，延长交于，则，，
，，
，
显然当与重合时，取得最大值，
故的最大值为．
故答案为：垂，
【点睛】关键点睛：本题第二空解决的关键是，利用向量数量积的定义，同时结合图形将所求转化为的最大值，从而得解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式求解；
（2）根据向量的加法法则将转化为，然后结合换元法和基本不等式求解；
【详解】（1）由已知
.
.
（2）
.
又，
.
令，
.
当且仅当取等号.
的最大值为.
18．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【详解】（1）因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
（2）因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
19．(1)
(2)，时，最小值为．
【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果.
（2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可.
【详解】（1）如图所示，
因为G为重心，所以，
所以，
因为M，G，N三点共线，所以，即．
（2）由题意可知，且，
所以
当且仅当，即时取等号，
又∵，∴，时，取得最小值为．
20．(1)
(2)
【分析】求出点坐标，应用向量投影和数量积求角度即可.
【详解】（1）依题，
则，，
则在方向上的投影向量为.
（2），
设平面OEB的一个法向量为，
则，则，令，则，
平面OEF的一个法向量为
则，则，令，则，
.
所以平面OEB与平面OEF夹角的余弦值.