数学九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教学设计

这是一份数学九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教学设计，共7页。教案主要包含了方法总结等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
重点难点
重点：从实际问题中建立反比例函数模型，运用反比例函数的意义和性质解决实际问题．
难点：根据具体实际问题的情景建立反比例函数的模型．
教学过程
导入
你吃过拉面吗？知道在做拉面的过程中渗透着什么数学知识吗？
(1)将体积为20 cm3的面团做成拉面，面条的长度y(单位：cm)与面条的粗细(横截面面积)S(单位：mm2)有怎样的函数关系？
(2)某家面馆的师傅手艺精湛，她拉的面条粗1 mm2，则面条总长是多少？
探究新知
探究点一 建立反比例函数模型
【例1】某项工程需要沙石料2×106 m3，阳光公司承担了该工程运送沙石料的任务．
(1)在这项任务中，平均每天的工作量v(单位：m3)与完成任务所需要的时间t(单位：天)之间成怎样的函数关系？写出这个函数的解析式；
(2)阳光公司计划投入A型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104 m3，则完成全部运送任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A型卡车120辆，那么在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提前28天完成任务？
【解析】(1)根据题意，得这项任务中平均每天的工作量v(单位：m3)与完成任务所需要的时间t(单位：天)之间的关系为v· t＝2×106，成反比例函数关系；(2)用待定系数法可得反比例函数的解析式，再进一步求解可得答案．
【解】(1)成反比例函数关系，v＝eq \f(2×106,t).
(2)把v＝2×104代入函数解析式，得t＝100，
即完成全部运送任务需要100天．
根据题意，得(2×106－2×104×25)÷[(200＋120)×100]＝46.875.
∵100－25－46.875＝28.125＞28，
∴能提前28天完成任务．
【方法总结】现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答该类问题的关键是先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式．
探究点二 反比例函数在实际生活中的应用
【例2】某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样就必须把1 200 m3的生活垃圾运走．
(1)假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式；
(2)若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完全部 垃圾？
(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
【解析】(1)根据每天能运x m3与所需时间y天的积就是1 200 m3，即可写出函数解析式；(2)把x＝12×5＝60代入，即可求得天数；(3)首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．
【解】(1)y＝eq \f(1 200,x).
(2)把x＝12×5＝60代入函数解析式，得y＝eq \f(1 200,60)＝20.
故5辆这样的拖拉机要用20天才能运完全部垃圾．
(3)运了8天后剩余的垃圾是1 200－8×60＝720(m3)．剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6＝120(m3)，则需要的拖拉机数是120÷12＝10(辆)，所以至少需要增加10－5＝5(辆)，才能按时完成任务．
【方法总结】在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答．
课堂训练
1．矩形的面积是2 cm2，设长为y cm，宽为x cm，则y与x之间的函数解析式为________．
2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 t计算，一学期(按150天计算)刚好用完．若每天的用煤量为x t，则这批煤能维持y天．
(1)y与x之间有怎样的函数关系？
(2)画出函数图象；
(3)若每天节约0.1 t，则这批煤能维持多少天？
答案
1．y＝eq \f(2,x)(x>0) 【解析】根据等量关系：长×宽＝矩形面积，得xy＝2，∴y与x之间的函数解析式为y＝eq \f(2,x).根据x的实际意义知x应大于0.
2．解：(1)煤的总量为0.6×150＝90(t).
∵x·y＝90，
∴y＝eq \f(90,x)，y与x之间有反比例函数关系.
(2)函数的图象如图所示．
(3)∵每天节约0.1 t的煤，
∴每天的用煤量为0.6－0.1＝0.5(t)，
∴y＝eq \f(90,x)＝eq \f(90,0.5)＝180，
即每天节约0.1 t，这批煤能维持180天
板书设计
第1课时 反比例函数在实际生活中的应用
1．建立反比例函数模型
常见的与实际相关的反比例：
(1)面积一定时，矩形的长与宽成反比例；
(2)面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；
(3)体积一定时，柱(锥)体的底面面积与底面上的高成反比例；
(4)工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；
(5)总价一定时，商品单价与商品的件数成反比例；
(6)溶质一定时，溶液的浓度与溶液的质量成反比例．
2．反比例函数在工程问题中的应用
3．利用反比例函数解决利润问题
课堂小结
本节课从实际问题中获取信息，转化为数学问题，建立反比例函数模型，利用反比例函数知识解决问题．其中根据题意写出函数解析式是解题的关键．
教学反思
本节课是用函数的观点处理实际问题．关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，联系数形结合的思想．
第2课时 反比例函数在其他学科中的应用
教学目标
1．能根据与其他学科相关的公式确定反比例关系，并求出反比例函数的解析式．
2．能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型，并解决与其他学科知识相关的 问题．
3．通过探究与其他学科相关的实际问题，让学生体会数学建模思想的构建．
教学重难点
重点：利用反比例函数的知识解决跨学科问题．
难点：根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型．
教学过程
导入
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务．
问题思考：
(1)请你解释他们这样做的道理；
(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(单位：m2)的变化，人和木板对湿地地面的压强p(单位：Pa)将如何变化？
探究新知
探究点一 反比例函数在力学中的应用
【例1】某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(单位：m2)的变化，人和木板对湿地地面的压强p(单位：Pa)将如何变化？已知人和木板对湿地地面的压力合计600 N.
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？
(4)画出相应的函数图象．
【解析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是具有一定的物理知识，明确压强、压力及受力面积之间的关系．(1)根据压强等于压力除以受力面积和反比例函数的定义即可解得；(2)将S＝0.2代入函数解析式，计算压强即可；(3)令压强小于等于6 000 Pa，求得面积即可；(4)根据函数解析式作出反比例函数的图象，注意其取值范围．
【解】(1)由p＝eq \f(F,S)，得p＝eq \f(600,S)，
∴根据反比例函数的定义，可知p是S的反比例函数．
(2)令S＝0.2，则p＝eq \f(600,0.2)＝3 000，
∴物体受到的压强为3 000 Pa.
(3)∵p≤6 000，
∴p＝eq \f(600,S)≤6 000，
解得S≥0.1.
故压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要0.1 m2.
(4)函数图象如图所示．
探究点二 反比例函数在电学中的应用
【例2】在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)之间的函数关系如图所示．
(1)写出I与R之间的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12 A时，电路中的电阻R的取值范围是什么？
【解析】(1)根据图象可知I与R之间的关系，列出函数解析式I＝eq \f(U,R)，可知U保持不变，把图象所经过的点A(6，6)代入函数解析式，求出U的值等于36；(2)当I＝12时，R＝3，∴求出R的取值范围是R≥3.
【解】(1)电源电压U保持不变，由图象可知，I与R的函数解析式为I＝eq \f(U,R).
将点A(6，6)代入，解得U＝36，
∴I与R之间的函数解析式为I＝eq \f(36,R).
(2)∵I＝eq \f(36,R)，∴当I＝12时，R＝3，
∴当电路中的电流不超过12 A时，R≥ 3Ω.
【方法总结】解决跨学科问题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意，分析问题中的等量关系；
(2)建模：根据等量关系，将跨学科问题转化为数学问题，利用反比例函数知识建立数学模型；
(3)解模：根据反比例函数的性质解决问题．
课堂训练
1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )
A．不大于eq \f(5,4) m3 B．大于eq \f(5,4) m3
C．不小于eq \f(4,5) m3 D．小于eq \f(4,5) m3
2．某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(单位：m/s)与它所受的牵引力F(单位：N)之间的函数关系如图所示．
(1)求这辆汽车的功率，并写出v与F之间的函数解析式；
(2)当它所受的牵引力为2 400 N时，汽车的速度为多少？
(3)如果限定汽车的速度不超过30 m/s，则F在什么范围内？
答案
1．C 【解析】设气球内气体的气压p(单位：kPa)和气体体积V(单位：m3)的解析式为p＝eq \f(k,V).∵图象过点(1.6，60)，∴k＝96，即p＝eq \f(96,V).在第一象限内，p随V的增大而减小，∴当p≤120时，V＝eq \f(96,p)≥eq \f(4,5).
2．解：(1)设v与F之间的函数解析式为v＝eq \f(P,F).
把(3 000，20)代入v＝eq \f(P,F)，得P＝60 000，
∴这辆汽车的功率是60 000 W，函数解析式为v＝eq \f(60 000,F).
(2)将F＝2 400N代入v＝eq \f(60 000,F)，得v＝eq \f(60 000,2 400)＝25.
故汽车的速度为25 m/s.
(3)把v≤30代入v＝eq \f(60 000,F)，得eq \f(60 000,F)≤30，
解得F≥2 000.
故F不小于2 000 N
板书设计
第2课时 反比例函数在其他学科中的应用
1．反比例函数在其他学科中的应用的解题思路
现实世界、其他学科在数学中的问题情境→抽象出公式→列出反比例函数→性质→应用解题
2．反比例函数与其他学科的综合
在利用反比例函数解决跨学科问题时，一定要注意y＝eq \f(k,x)(k≠0，k是常数)这一条件，结合图象说明其性质，根据性质大致画出图象及求函数的解析式．
课堂小结
本节课学生学习利用反比例函数解决跨学科问题时，要根据物理、化学等学科中的公式建立函数关系式，再根据需要进行变形或计算；还学到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系．
课堂反思
本节课是反比例函数在其他学科中的运用，强调用函数的观点来处理问题．在教学中，教师要注意改变学生的学习方式．教师给出问题后，让学生体会实际情景，经过小组交流、讨论得出结论，解释现象，使知识内化到学生原有的认知结构里，再给学生总结出应用反比例函数解决问题的思路：分析问题→找到反比例函数关系→建立模型→求解，以便让学生更加清晰解题的思路和方法，提高学习效率．