江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三下学期2月模拟测试数学试题

这是一份江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三下学期2月模拟测试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人B．6人C．4人D．2人
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）

A．B．C．D．
4．抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ）
A．2B．1C．D．
5．如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A．B．
C．D．
6．设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．2B．6C．2或6D．1或3
8．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（ ）.
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则
10．已知，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，则
11．若满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若复数，则
13．已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
14．已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
四、解答题
15．已知在中，三边所对的角分别为，已知．
(1)求；
(2)若外接圆的直径为4，求的面积．
16．某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间（小时/每周）和他们的语文成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
(1)请根据所给数据求出语文成绩的平均数和方差；
(2)基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调查了200位学生．按照是否喜欢阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计，得到下列数据，请依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”是否有关．
表二
17．如图，四棱锥中，，，，，与交于点，过点作平行于平面的平面.

(1)若平面分别交，于点，，求的周长；
(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.
18．已知椭圆：，为坐标原点，若椭圆与椭圆的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点在椭圆上，点A，B在椭圆上，若，则四边形的面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.
19．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”一定为20的倍数；
(2)若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.
编号
1
2
3
4
5
学习时间
2
4
7
7
10
语文成绩
82
93
95
108
122
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
合计
喜欢阅读
75
25
100
不喜欢阅读
55
45
100
合计
130
70
200
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．D
【分析】由分层抽样的概念，求出男、女居民选取的人数即可得解.
【详解】由题可知，男居民选取人，女居民选取人，
则女居民比男居民多选取2人.
故选：D.
2．D
【分析】求对数型函数值域可得集合M，结合集合交运算即可求得结果.
【详解】因为，所以定义域为，
所以，即，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.
【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，
所以平地降雪厚度的近似值为.
故选：C
4．C
【分析】根据题设可得，再由点在椭圆上，代入求参数即可.
【详解】由题设，且在第一象限，轴，则，
又在椭圆上，故，而，故.
故选：C
5．C
【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点是线段的中点，易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.
【详解】不妨设，则，
对于A项，显然与方向不一致，所以，故A项错误；
对于B项，由图知是钝角，则，故B项错误；
对于C项，由题意知点是线段的中点，则易得：,即得：，故C项正确；
对于D项，由，而与显然不共线，故．即项错误．
故选：C．
6．B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】由，得，显然，
因此，所以．
故选：B
7．A
【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，求出切点的横坐标即可.
【详解】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，
已知，则线段的中点坐标为，直线斜率为，
线段的垂直平分线方程为，即.
所以以线段为弦的圆的圆心在直线上，
所以可设圆心坐标为，
又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，
所以，解得或，
即切点分别为和，两圆半径分别为.
由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，
且过点的圆的半径比过的圆的半径大，
所以，故点为所求，
所以当取最大值时，点的横坐标是.
故选：A.

8．D
【分析】令，，，，，然后利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性可比较大小.
【详解】令，，，
，，
则，
令，，当时，，所以在时单调递增，
所以当时，，
所以在时单调递减，所以，所以；
当时，，令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点睛：此题考查导数的应用，考查比较大小，解题的关键是根据已知条件构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学计算能力，属于较难题.
9．ABC
【分析】由线面平行，面面平行的判定可判断各选项的正误.
【详解】选项A中，m可能在内，也可能与平行，故A错误；
选项B中，与也可能相交，故B错误；
选项C中，与也可能相交，故C错误；
选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】运用辅助角公式化简，得到，再结合正弦型图象与性质，三角函数图象的平移变换逐项判断即可.
【详解】由，得，
对于：最小正周期为，所以正确；
对于：将函数的图象上所有点向右平移，
所得图象的函数解析式为，
而为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以错误；
对于：令，，化简得，
当时，，又因为，
所以函数在单调递减，所以正确；
对于选项：因为，所以，
所以，所以，
即得，也就是，
所以正确.
故选：．
11．ABD
【分析】令，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A,B选项，将已知条件变形为，再由均值不等式可得的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D选项.
【详解】令，即，代入可得：
.
所以, 解得 , 所以 A 正确. B 正确；
由 可变形为 ,
因为 , 将代入上式可得：
,
解得 , 所以不正确, D正确.
故选：.
12．
【分析】先求出复数，再求出求从而可求解.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
13．
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
14．
【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点到的两条浙近线的距离之积为，
解得：，故双曲线方程为：，
故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为．
所以，
又，则，因为，所以．
（2）由正弦定理，，则，由余弦定理，，
解得或（舍去），
故的面积．
16．(1)平均数为100，方差为189.2
(2)可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”有关
【分析】（1）由平均数以及方差的计算公式，即可求得答案；
（2）根据已知数据计算的值，与临界值表比较，根据独立性检验的原则，即可得结论.
【详解】（1）由题意得，
，
所以语文成绩的平均数为100，方差为189.2.
（2）零假设为：喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀无关．
根据表中数据，可得，
所以依据的独立性检验，不成立，
故可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”有关．
17．(1)4
(2).
【分析】（1）依题意可得，再根据面面平行的性质得到，，，根据三角形相似的性质计算可得；
（2）首先证明平面平面，取的中点，即可得到平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）由题意可知，四边形是直角梯形，
∴与相似，又，
∴，，
因为过点作平行于平面的面分别交，于点，，
即平面平面，平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理得，，，
所以与相似，相似比为，即，
因为的周长为6，所以的周长为.

（2）∵平面平面，∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等，
∵，，，∴，
∴，又，，平面，∴平面，
平面，∴平面平面，
取的中点，因为为等边三角形，∴，平面平面，
平面，∴平面，
以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，则，
∵平面，∴是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
18．(1)
(2)面积是定值，为2.
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用平行四边形的性质及三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）根据题意易知两椭圆焦点都在轴上，不妨设，
易知椭圆的长轴长，所以椭圆的长轴长，
椭圆的离心率，
故椭圆的方程；
（2）是定值，理由如下：
设，根据点在椭圆上可知，
因为，所以四边形是平行四边形，且，
即①，
又②，
①-②得：，
因为，
所以，即，
易得直线，所以点B到直线的距离为，
所以平行四边形的面积为，显然面积是定值，定值为2.

【点睛】本题第二问利用设点法设，通过向量的线性运算得出四边形是平行四边形，利用点坐标满足椭圆方程通过化简得出横纵坐标的关系式，而难点在于构造得出，继而得到，余下利用点到直线的距离和面积公式计算即可.计算技巧性比较强，需要多去领悟总结.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设,从而有即可证明；
（2）根据题意可得，进而分类讨论即可求解.
【详解】（1）证明：设，且为整数，
∴
∵，且为整数，∴是正整数，
∴一定是20的倍数；
（2）∵，且为正整数，∴，
当时，，没有满足条件的，
当时，，
∴满足条件的有或，
解得或，∴或，
当时，，没有满足条件的，
当时，，
∴满足条件的有，解得，∴，
当时，，没有满足条件的，
当时，，
∴满足条件的有或，
解得或，∴或，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为.