人教版七年级下册5.3.1 平行线的性质第1课时课后复习题

这是一份人教版七年级下册5.3.1 平行线的性质第1课时课后复习题，共43页。
1．（2023春·七年级课时练习）如图，直线、分别截的两边，且．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可
【详解】A.的两边不平行，，不符合题意；
B.，，而，，不符合题意；
C.与是对顶角，，不符合题意；
D.，，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键
2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行性质，两直线平行同位角相等得到，再根据互补、互余的定义即可得到的度数，从而得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线性质、互余、互补定义求角度，熟记相关性质是解决问题的关键．
3．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
4．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据对顶角相等可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：如图，，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
5．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，由得，进而可求出的度数．
【详解】解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
6．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由邻补角的定义即可求得的度数．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．
7．（2023春·七年级课时练习）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质进行求解即可；
【详解】如图，
将一个宽度相等的纸条按右图所示折叠，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确结合已知条件进行计算是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）如图，将一直角三角板与两边平行的纸条，如图所示放置，下列结论（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平行线的性质即可判断（1）（2），根据平角的定义即可判断（3），根据等量代换即可判断（4）．
【详解】解：∵，
∴，故（1）（2）正确
∵，
∴，故（3）正确，
∴，故（4）正确；
∴正确的有4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
9．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）如图，，，，则的度数是______．
【答案】##70度
【分析】过点C作，根据平行线的性质即可求解
【详解】解：过点C作，
∵
∴
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查平行线的性质；做辅助线并掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则________．
【答案】##70度
【分析】根据方位角的概念，过点C作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，作，则．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
11．（2021春·河南洛阳·七年级校考期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角__________．
【答案】相等或互补
【分析】根据题意画出图形，利用平行线的性质进行分析即可．
【详解】解：（1）如图所示：
，
，
，
，
；
（2）如图所示：
，
，
，
，
；
综上可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【点睛】本题主要考查平行线性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）如图，直线，，为直角，则___________．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
13．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，，，则=___________．
【答案】##70度
【分析】根据平行线的性质得出，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】∵，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
14．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，，则 ______ ．
【答案】##180度
【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到，，等量代换即可求得的值．
【详解】解：如图，设与交于点H，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，，求证；
【答案】证明见解析
【分析】先证明，再证明，得到，利用等式的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，直线被所截．若分别平分和，判断与之间的位置关系，并证明你的结论；
【答案】；证明见解析
【分析】根据平行线的性质和判定证明即可．
【详解】解：；
证明：∵，
∴．
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行找出相等的角是关键．
17．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）请在下列横线上注明理由．
如图，已知，垂足为M，，，求证：．
证明：∵，（已知）
∴．（______）
∴．（______）
又∵，（已知）
∴．（______）
∴．（______）
∴．（______）
∵，（已知）
∴．（垂直的定义）
∴．（______）
∴．（______）
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定和性质定理解答即可．
【详解】证明：∵，（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴．（垂直的定义）
∴．（等量代换）
∴．（垂直定义）
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理并进行推理论证是解题的关键．
18．（2023秋·四川内江·七年级统考期末）如图，分别与交于点G、H，分别与交于点B、C，分别与交于点D、E，．若，，求的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点、在直线上，，平分，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件得出，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；
（2）根据已知条件得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：和满足：．理由：
过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴；
（3）解：设与交于点F，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由（2）知：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
1．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得出，再求出的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：如图，
∵B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】此题考查了方向角，用到的知识点是方向角、平行线的性质、三角形的内角和定理，关键是根据方向角求出有关角的度数．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，，设，，正确的选项是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可．
【详解】解：如图：的顶点分别为，延长交直线与点，
当，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，
∴；
A、无法求出∠2的度数，选项错误，不符合题意；
B、无法求出∠3的度数，选项错误，不符合题意；
C、，，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）阅读下列解答过程：
如图，，点E在AB，CD两平行线之间，连接AE，DE．若，．求的度数是多少？
①⊙代表AEF；②#代表；③*代表平行于同一条直线的两条直线平行；④S代表同旁内角互补，两直线平行，上述补充的解答过程和依据中，正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得，则，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：过点作，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
由此可知，⊙代表，则①正确；
#代表，则②正确；
*代表平行于同一条直线的两条直线平行，则③正确；
代表两直线平行，同旁内角互补，则④错误；
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°
【答案】C
【分析】过E作EFABCD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EFAB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，
∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，
即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵ABCD，∴∠A＝∠1，
即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
6．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐30°，第二次左拐150°
B．第一次左拐30°，第二次右拐30°
C．第一次左拐30°，第二次左拐150°
D．第一次右拐30°，第二次右拐30°
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1＝∠2．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质．注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．
7．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】B
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键．
8．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，，平分交于，，，、分别是，延长线上的点，点在上，下列结论：①；②；③；④平分，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据AB⊥BC得出∠B=90°，进而得到∠1+∠AEB=90°，因为AE⊥DE，证得∠AEB+∠CED=90°，等量代换得到∠1=∠CED，已知∠1+∠2=90°，则∠CED+∠2=90°，从而得出∠C=90°，证得ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质进一步分析其它结论即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠1=∠DEC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴ABCD，故①正确；
∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠1=∠EAD，
又∵∠1=∠DEC，
∵∠DEC=∠EAD，故②正确；
∵∠AEB=∠2，∠2+∠EDN=180°，
∴∠AEB+∠EDN=180°，
∵∠EDN≠∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故③错误；
∵AE⊥DE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵∠2+∠DEC=90°，∠DEC=∠EAD，
∴∠2+∠EAD=90°，
∴∠2=∠ADE，
∴DE平分∠ADC，故④正确．
故正确的结论有①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练应用判定定理是解题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
9．（2023春·七年级课时练习）如图，直线，，，则__度，__度．
【答案】 78 360
【分析】过的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：，
【详解】解：如图，过的顶点作，
，
，
，，
又，
；
又，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：；．
10．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，则，
，
∴，，
又∵平分，平分，
∴，
，
∵，
∴ ，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．
11．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，和的平分线相交于F，，___________°．
【答案】111
【分析】过点E作，然后由，可得，然后根据两直线平行内错角相等可得，，然后根据周角的定义可求的度数；再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求的度数．
【详解】解：过点E作，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，
∵，
∴．
故答案为：111．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．另外过点E作，也是解题的关键．
12．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，则___________．
【答案】
【分析】如图，过作 过作证明可得再证明从而可得答案．
【详解】解：如图，过作 过作
∵
∴
∴
∴
而
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．
13．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
【答案】3
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
14．（2022春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【答案】 270
【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1）过点M作MPAB，
∵ABCD，
∴ABCDMP，
∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，
∵∠M=∠1+∠2=90°，
∴∠MEB+∠MFD=90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，
∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．
故答案为：270；
（2）过点N作NQAB，
∵ABCD，
∴ABCDNQ，
∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，
∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，
∴∠ENF=∠EMF=n°．
故答案为：n°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．
15．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵，（已知）
，（ ）
∴_________．（ ）
∴．（ ）
∴_________．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴_________．（等量代换）
∴（ ）
∴．（ ）
∵，（已知）
∴
∴
∴．（ ）
【答案】对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
【分析】证明，可得，再证明，可得，再证明即可．
【详解】证明：∵，（已知）
，（对顶角相等）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，
∴，
∴．（垂直的定义）
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，掌握“简单的逻辑推理”是解本题的关键．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解；
（3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
17．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）（1）已知：如图1，，求证：；
（2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由．
拓展提升：（3）如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据平行线性质得出，，即可得出答案；
（2）根据平行线性质求出，，即可得出答案；
（3）由，，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过E点作，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，
理由：如图，过E点作，
则，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：∵，分别平分与，
∴，
∴，
由（1），可得
，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
18．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）（1）问题发现：如图①，直线，连结，可以发现
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作，
∴（______）．
∵（已知），．
∴（______）．
∴．
∵（______）．
∴．（等量代换）．
（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．
（3）解决问题：如图③，，是与之间的点，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）见解析
（3）见解析
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点作，过作，过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）证明：过点作，
∴（_两直线平行，内错角相等_____）．
∵（已知），．
∴（__平行于同一条直线的两条直线互相平行____）．
∴．
∵（______）．
∴．（等量代换）
（2）证明：∵过做
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
(3)解：理由如下：
过点作，过作，过作
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
19．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）课题学习：平行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（2）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（3）过点F作，可得，从而得到，则两式相加可得，再由平分，平分，可得，进而得到，由（2）知，，即可求得结果．
【详解】解：（1）如图，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
，
即，
，
平分，平分，
，
，
或，
由（2）知，，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．难点是作辅助线——平行线．
20．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考期末）小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：，为之间一点，连接，得到．
求证：．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：过点作，则有
∵
∴
∴
∴
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
(1)直线，直线和直线、分别交于两点，点分别在直线、上，猜想：如图②，若点在线段上，，，求的度数．
(2)拓展：如图③，若点在直线上，连接、，直接写出之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)、、之间的数量关系为或或．
【分析】（1）过点作，然后得到，从而得到，，然后得到的度数；
（2）分情况讨论，当点在线段上时，当点在射线上时，当点在射线上时，然后过点作，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．
【详解】（1）解：如图，过点作，则，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：当点在线段上时，由（1）知，
如图，当点在射线上时，
过点作，则，
，
，
，
；
如图，当点在射线上时，
过点作，则，
，
，
，
；
综上所述，、、之间的数量关系为或或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．
解：过点E作，∵
∴（⊙ ），
∴（# ）
∵，，
∴（* ）
∴（S ）
∴