2024年中考数学专题训练 专题06 半角模型综合应用（专项训练）（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学专题训练 专题06 半角模型综合应用（专项训练）（原卷版+解析），共16页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。


1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜边AB上的两点，且∠MCN＝45°，AM＝3，BN＝5，则MN＝ ．
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝ ．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°．
（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．
（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN＝MN，试求∠MAN的大小．
4．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．
5．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）
6．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．
（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．
（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝60°．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为 ．
8．△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，点D、E在直线BC上．
（1）如图1，D、E在BC边上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求证：BD＝AD；
（2）如图2，D、E在BC边上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度数．
（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，则CD的值为 ．
专题06 半角模型综合应用（专项训练）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜边AB上的两点，且∠MCN＝45°，AM＝3，BN＝5，则MN＝ ．
【答案】
【解答】解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM
则△CRA≌△CNB全等，△RAM是直角三角形
∴AR＝BN＝5，
∴MN＝RM＝＝
故答案是：
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝ ．
【答案】13
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB＝30，
把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，连接MD，如图所示：
则∠ABD＝∠C＝45°，BD＝CN＝5，∠DAN＝90°，AD＝AN，
∴∠DBM＝45°+45°＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAD＝∠MAN，
在△AMD和△AMN中，，
∴△AMD≌△AMN（SAS），
∴MD＝MN，
设MD＝MN＝x，
则BM＝BC﹣MN﹣CN＝25﹣x，
在Rt△DBM中，由勾股定理得：BD2+BM2＝MD2，
即52+（25﹣x）2＝x2，解得：x＝13，
∴MN＝13；
故答案为：13．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°．
（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．
（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN＝MN，试求∠MAN的大小．
【解答】解：（1）完成图形，
（2）连接EF，
由旋转可知，AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠FAE＝45°，
在△DAE和△FAE中，
，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝DE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∴EF2＝EC2+FC2，
∴DE2＝EC2+BD2；
（3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：
由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠D＝90°，
∴E，B，M三点共线，
∵BM+DN＝MN，
∴ME＝MN，
在△AEM和△ANM中，
，
∴△AEM≌△ANM（SSS），
∴∠MAE＝∠MAN＝45°．
4．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△△FAG（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝2，CN＝3，
∴MN2＝22+32，
∴MN＝．
5．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）
【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN，
证明如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
证明如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN
6．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．
（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．
（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
【解答】
（1）证明：延长MB到H，使BH＝DN，连接AH，如图（1），
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
在△ABH和△ADN中，
，
∴△ABH≌△ADN（SAS），
∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠HAB+∠BAM＝45°，
∴∠HAM＝∠NAM，
在△AMH和△AMN中，
，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴MH＝MN，即HB+MB＝MN，
∴MN＝BM+DN；
（2）解：MN＝DN﹣BM．理由如下：
在DN上截取DH＝BM，如图（2），
与（1）一样可证明△ADH≌△ABM，
∴AH＝AM，∠DAH＝∠BAM，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAH+∠BAN＝45°，
∴∠HAN＝45°，
∴∠HAN＝∠NAM，
在△ANH和△AMN中，
，
∴△ANH≌△AMN（SAS），
∴NH＝MN，
而DN＝DH+HN，
∴BM+MN＝DN，
即MN＝DN﹣BM．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝60°．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为 ．
【答案】
【解答】解：如图，△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，连接PN，过点P作BC的垂线，垂足为D，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°
∵△ABM≌△APC，
∴∠B＝∠ACP＝30°，PC＝BM＝2，∠BAM＝∠CAP，
∴∠NCP＝60°，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM+∠NAC＝∠NAC+∠CAP＝60°＝∠MAN，
又∵AM＝AP，AN＝AN，
∴△MAN和△PAN中，
∴△MAN≌△PAN（SAS），
∴MN＝PN，
∵PD⊥CN，∠NCP＝60°，
∴CD＝PC＝1，PD＝CD＝
∴DN＝CN﹣CD＝3﹣1＝2，
∴PN＝＝
故答案为：．
8．△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，点D、E在直线BC上．
（1）如图1，D、E在BC边上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求证：BD＝AD；
（2）如图2，D、E在BC边上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度数．
（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，则CD的值为 ．
【解答】（1）证明：∵AD2+AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝α＝120°，
∴∠BAD＝α﹣∠DAC＝30°，
∵∠AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴BD＝AD．
（2）解：如图（2），将△AEC绕着点A顺时针旋转150°，得到△AE′B，
∴AE′＝AE，∠ABE′＝∠C，BE′＝CE，∠EAC＝∠E′AB，
∵∠BAC＝150°，∠DAE＝75°，
∴∠BAD+∠EAC＝75°，
∴∠BAD+∠E′AB＝75°，即∠E′AD＝75°，
∴∠E′AD＝∠EAD，
又∵AD＝AD，AE＝AE′，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE′＝DE，∠E′DA＝∠EDA，
∵ED2+BD2＝CE2，
∴E′D2+BD2＝BE′2，
∴BDE′＝90°，
∴∠E′DA＝∠EDA＝45°，
∵∠BAC＝150°，AB＝AC，
∴，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝45°﹣15°＝30°，
故∠BAD＝30°．
（3）解：如图（3），作E关于AD的对称点F，连接DF，AF，CF，作FG⊥BC，
∵F，E关于AD对称，
∴AF＝AE，DF＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴，∠ADE＝∠ADF＝15°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠EAF＝360°﹣∠DAF﹣∠DAE＝α＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴CF＝BE＝4，
在Rt△DFG中，∠FDG＝30°，DF＝DE＝BD+BE＝6，
∴，FC＝BE＝4，FG＝3，
∴，
∴，
故答案为：．