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2024年中考数学专题训练 专题03 平行线四大模型（能力提升）（原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学专题训练 专题03 平行线四大模型（能力提升）（原卷版+解析），共22页。
A．25°B．20°C．15°D．10°
2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
3．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°
5．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．30°
7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 30° ．
8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
10．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
12．问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
13．已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
专题03 平行线四大模型（能力提升）
1．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
【答案】D
【解答】解：由题意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．
∵∠CDE＝40°，
∴∠CED＝50°．
∵DE∥AF，
∴∠FAE＝∠CED＝50°．
∴∠BAF＝∠CAB﹣FAE
＝60°﹣50°
＝10°．
故选：D．
2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：如图，过点A作AD∥l1，
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∴∠FNA+∠NAD＝180°，
∵AD∥l1，
∴∠EMA+∠MAD＝180°，
∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，
∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，
∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，
即∠2＝130°，
故选：C．
3．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【答案】D
版权【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正确；
过点F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②错误；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°
【答案】B
【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H．
直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
5．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
【答案】C
【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，
∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，
∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，
∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，
∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，
∴α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．30°
【答案】B
【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，
∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，
∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，
∴∠4＝50°．
故选：B．
7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 30° ．
【答案】30°
【解答】解：延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，
∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度数为60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
设∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值为2．
9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
10．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 45° ．
【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABE+∠CBE＝90°．
∴∠A+180°﹣∠C＝90°．
∴∠C﹣∠A＝90°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点M作MK∥CD，
则∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GF是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°−∠AGM）＝90°−α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
12．问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
13．已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①错误，②正确，
当∠EGF为直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，
不妨假设∠BEF+∠DFE＝90°，
∴∠BEF+∠DFE＝90°，
∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正确．
故答案为：②③．
（3）不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），
∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．
①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，
②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．
若α＜90°，则Pn在EF的左侧，如图3中，
同理可得∠EPnF＝α+β＞90°．
若α＝90°，则Pn与F重合，不存在∠EPnF，舍弃．
若α＞90°，则Pn在EF的右侧，如图4中，
过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，
∵α＞90°，β＞0，
∴（180°﹣α）﹣β＜90°，
即∠EPnF＜90°，
综上所述，不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°．
A．25°B．20°C．15°D．10°
2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
3．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°
5．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．30°
7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 30° ．
8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
10．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
12．问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
13．已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
专题03 平行线四大模型（能力提升）
1．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
【答案】D
【解答】解：由题意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．
∵∠CDE＝40°，
∴∠CED＝50°．
∵DE∥AF，
∴∠FAE＝∠CED＝50°．
∴∠BAF＝∠CAB﹣FAE
＝60°﹣50°
＝10°．
故选：D．
2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：如图，过点A作AD∥l1，
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∴∠FNA+∠NAD＝180°，
∵AD∥l1，
∴∠EMA+∠MAD＝180°，
∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，
∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，
∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，
即∠2＝130°，
故选：C．
3．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【答案】D
版权【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正确；
过点F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②错误；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°
【答案】B
【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H．
直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
5．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
【答案】C
【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，
∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，
∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，
∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，
∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，
∴α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．30°
【答案】B
【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，
∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，
∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，
∴∠4＝50°．
故选：B．
7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 30° ．
【答案】30°
【解答】解：延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，
∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度数为60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
设∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值为2．
9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
10．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 45° ．
【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABE+∠CBE＝90°．
∴∠A+180°﹣∠C＝90°．
∴∠C﹣∠A＝90°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）．
【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点M作MK∥CD，
则∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GF是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°−∠AGM）＝90°−α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
12．问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
13．已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①错误，②正确，
当∠EGF为直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，
不妨假设∠BEF+∠DFE＝90°，
∴∠BEF+∠DFE＝90°，
∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正确．
故答案为：②③．
（3）不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），
∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．
①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，
②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．
若α＜90°，则Pn在EF的左侧，如图3中，
同理可得∠EPnF＝α+β＞90°．
若α＝90°，则Pn与F重合，不存在∠EPnF，舍弃．
若α＞90°，则Pn在EF的右侧，如图4中，
过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，
∵α＞90°，β＞0，
∴（180°﹣α）﹣β＜90°，
即∠EPnF＜90°，
综上所述，不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°．
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