2024年中考数学专题训练 专题03 阿氏圆（知识解读）

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“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；
本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
【方法技巧】
阿氏圆问题
问题：求解“”类加权线段和最小值
方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值
②造：根据线段比，构造母子型相似
③算：根据母子型结论，计算定点位置
④转：“”转化为“”问题
关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1：内部构造母子型
③系数大于1：外部构造母子型
【典例分析】
【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．
【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．
【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF．
（1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长；
（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．
专题03 阿氏圆（知识解读）
【专题说明】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；
本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
【方法技巧】
阿氏圆问题
问题：求解“”类加权线段和最小值
方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值
②造：根据线段比，构造母子型相似
③算：根据母子型结论，计算定点位置
④转：“”转化为“”问题
关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1：内部构造母子型
③系数大于1：外部构造母子型
【典例分析】
【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，
∴△POM∽△DOP．
∴MP：PD＝k，
∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
利用勾股定理得．
（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，
∴的最小值为．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，
∴，，
∴，
∵∠PBQ＝∠CBP，
∴△BPQ∽△BCP，
∴，
∴PQ＝CP，
∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，
当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，
故答案为：．
【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，
∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，
∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，
∴△OPE∽△OCP，
∴＝＝，
∴EP＝2DC，
∴2PC+PD＝PE+PD，
∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，
∴2PC+PD最小值＝＝2．
【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，
∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，
∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴＝＝，
∴EP＝2PC，
∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），
∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，
∵DE＝＝＝13，
∴PD+PE≥DE＝13，
∴PD+PE的最小值为13，
∴PC+PD的值最小值为．
故答案为：．
【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF．
（1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长；
（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．
【解答】解：（1）∵将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，如图，
∴∠BAD＝θ，AB＝AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵θ＝60°，
∴∠DAC＝120°
∴∠ADC＝∠ACD＝30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝30°，
∴∠EDA＝∠EAD，∠CAE＝90°，
∴DE＝AE＝，
∵AB＝AC＝6，
∴DE＝AE＝AC•tan30°＝2，
∴CE＝4，
∴CD＝CE+DE＝6，
∵DF＝2CF，
∴CF＝CD＝2，
∴EF＝CE﹣CF＝2；
（2）如图，过F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AM＝CM＝3，
∴△CFH∽△CDA，
∴，
∵DF＝2FC，
∴，
∴CH＝FH＝2，
∴MH＝3﹣2＝1，
∵，，
∴，
∵∠FHM＝∠AHF，
∴△FHM∽△AHF，
∴，
∴FM＝AF，
∴当B、F、M三点共线时，BF+FM＝BF+AF的长最小，如图，此时BM⊥AC，
∴BM＝，
∴BF+AF的最小值为3．