初中数学6.3 实数同步测试题

这是一份初中数学6.3 实数同步测试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022·广西玉林·统考中考真题）下列各数中为无理数的是( )
A．B．1.5C．0D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．D．立方根等于本身的数只有
3．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
4．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中正确的是（ ）
A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．（﹣5）2＝25
6．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（ ）
A．越来越接近4B．越来越接近于－2
C．越来越接近2D．不会越来越接近于一个固定的数
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2021·福建·统考中考真题）写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可）
8．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．
9．一个数的平方根是和，则_________，这个正数是_________．
10．若，其中a，b均为整数，则______．
11．（2021·湖北随州·统考中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
12．观察下列各式：
，，，……
请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．计算：+++．
14．把下列各数写人相应的集合内：．
(1)有理数集合：{ …}
(2)正实数集合：{ …}
(3)无理数集合：{ …}
(4)负实数集合：{ …}
15．计算：
(1)；
(2)．
16．已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+10b+c的平方根．
17．如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C．
(1)点C与点D之间的距离为______；
(2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．阅读下列材料，并回答问题：
天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：
(1)已知面积是2的正方形的边长是，且，则设，
画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．
可列方程为：，
∵，∴认为是个较为接近于0的数，
令，因此省略后，得到方程：，
解得，________，即________．
(2)仿照上述方法，设，探究的近似值（精确到0.01）；（请在备用图中标明数据，并写出求解过程．）
19．（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆_______C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）
（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
20．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
22．阅读下面文字：
对于
可以如下计算：
原式
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）
（2）
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022秋·北京西城·七年级校考期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；

（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
第六章 实数（培优卷）
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022·广西玉林·统考中考真题）下列各数中为无理数的是( )
A．B．1.5C．0D．
【答案】A
【分析】根据无理数是无限不循环小数可直接进行排除选项．
【详解】解：A选项是无理数，而B、C、D选项是有理数，
故选A．
【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．D．立方根等于本身的数只有
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
【详解】解：A负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项，的立方根是，故该选项错误，不符合题意；
C选项，，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有和，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
3．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
4．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．
【详解】较大阴影的周长为：，
较小阴影的周长为：，
两块阴影部分的周长和为：= ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点睛】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．
5．下列各式中正确的是（ ）
A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．（﹣5）2＝25
【答案】D
【详解】A．﹣|﹣2|＝﹣2，故该选项计算错误，不合题意，
B．，故该选项计算错误，不合题意，
C．，故该选项计算错误，不合题意，
D．（﹣5）2＝25，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的性质、算术平方根的定义、立方根的定义及有理数的乘方的定义，熟练掌握相关性质及定义是解题关键．
6．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（ ）
A．越来越接近4B．越来越接近于－2
C．越来越接近2D．不会越来越接近于一个固定的数
【答案】C
【分析】先根据算法得出，再分别求出的运算式子，然后归纳类推出一般规律，最后利用有理数乘方的性质即可得．
【详解】根据算法得：（且为整数）
变形为
则
归纳类推得：
由题意得：
则
即
当n无限大时，无限趋近于0
则
即当运算次数不断增加时，运算结果越来越接近2
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、与实数运算相关的规律型问题，理解新算法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2021·福建·统考中考真题）写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可）
【答案】答案不唯一（如等）
【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，
【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足即可；
所以可以写：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数，，
③含有π的数等．只要写出一个满足条件的x即可．
故答案为：答案不唯一（如等）
【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
8．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．
【答案】
【分析】根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得这一列数据为0，，，，，，…，
∴第n个数据为，
∴第50个数据为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律题，正确找到规律是解题的关键．
9．一个数的平方根是和，则_________，这个正数是_________．
【答案】 -3 1
【分析】根据正数的平方根是两个互为相反数，得出方程a+4+2a+5＝0，求出a值，把a值代回任一个式子平方即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是a+4和2a+5，
∴a+4+2a+5＝0，
解得：a＝﹣3，
即这个正数是，
故答案为：﹣3；1．
【点睛】本题考查了平方根的应用，解一元一次方程，熟练掌握正数有两个平方根，是互为相反数，解一元一次方程的一般方法，是解决问题的关键．
10．若，其中a，b均为整数，则______．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
11．（2021·湖北随州·统考中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
【答案】
【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.
【详解】解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：
【点睛】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点．
12．观察下列各式：
，，，……
请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．
【答案】
【分析】直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．计算：+++．
【答案】．
【分析】先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
14．把下列各数写人相应的集合内：．
(1)有理数集合：{ …}
(2)正实数集合：{ …}
(3)无理数集合：{ …}
(4)负实数集合：{ …}
【答案】(1)，，，
(2)，，，，，
(3)，，，
(4)，
【分析】根据实数的分类方法进行解答即可．
【详解】（1）解：，，，
有理数集合为：．
（2）解：正实数集合为：．
（3）解：无理数集合为：．
（4）解：负实数集合：．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数的概念，是解题的关键．
15．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据算术平方根，立方根的定义进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
16．已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+10b+c的平方根．
【答案】(1)
(2)的平方根为
【分析】（1）根据立方根和平方根、算术平方根的定义求解即可；
（2）将所求的a、b、c代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，
，
解得，
，
解得，
，
∴；
（2）解：当时，
，
∵36的平方根为．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查立方根和平方根、算术平方根，正确求出a、b、c是解答的关键．
17．如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C．
(1)点C与点D之间的距离为______；
(2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值．
【答案】(1)
(2)2-5
【分析】(1)根据两点之间的距离即可得出答案；
(2)先得到a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．
【详解】（1）∵点C表示的数为4，点D表示的数为，
∴点C与点D之间的距离为：，
故答案为：．
（2）由题意得，点A表示的数为－1，点C表示的数为4，点D表示的数为
所以点A和点B之间距离为a =
点C和点D之间的距离为b=
则a-b=（-1+）-（4-）=2-5．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟知数轴上的两个数a，b表示的点A，B之间的距离=是解答此题的关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．阅读下列材料，并回答问题：
天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：
(1)已知面积是2的正方形的边长是，且，则设，
画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．
可列方程为：，
∵，∴认为是个较为接近于0的数，
令，因此省略后，得到方程：，
解得，________，即________．
(2)仿照上述方法，设，探究的近似值（精确到0.01）；（请在备用图中标明数据，并写出求解过程．）
【答案】(1)0.5，1.5
(2)的近似值是2.25，见解析
【分析】（1）设方程为x2+2x+1=2，再根据x2接近为0得出2x+1=2，再求出x即可；
（2）根据题意画出图形，方程为5=4+4y+y2，根据y2是个较为接近于0的数得出4y+4=5，再求出y即可．
【详解】（1）解：可列方程为：x2+2x+1=2，
∵0＜x＜1，
∴认为x2是个较为接近于0的数，
令x2≈0，因此省略x2后，得到方程：2x+1=2，
解得，x==0.5，
即=1+x≈1.5，
故答案为：0.5，1.5；
（2）解：如图1所示：
设=2+y（0＜y＜1），
两边平方得：5=4+4y+y2，
∵0＜y＜1，
∴认为y2是个较为接近于0的数，
令y2≈0，因此省略y2后，得到方程：4y+4=5，
解得，y==0.25，
即=2+y≈2.25，
所以的近似值是2.25．
【点睛】本题考查了估算实数的近似值，解一元一次方程，估算无理数的大小等知识点，能得出关于x的方程是解此题的关键．
19．（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆_______C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）
（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
【答案】（1）；（2）＜；（3）能裁出这样的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的面积即可求得；
（2）设圆的半径为r，正方形的边长为a，分别求得C圆与C正，再比较大小可得到结论；
（3）设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，令5x⋅4x=300，得到，求得长方形的长为，由于，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵两个边长为1cm的小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为=2，
∴大正方形的边长为；
故答案为：；
（2）设圆的半径为r，正方形的边长为a，
∵一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，
，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：<；
（3）能裁出，
理由如下：
设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，
则5x⋅4x=300，
解得：，
∵x>0，
∴，
∴长方形的长为，
∵，
∴正方形的边长为20cm，
∵，
∴能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】本题考查了算术平方根，正方形的面积公式，圆的面积公式，无理数的估算，正确的理解题意是解题的关键．
20．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断2（2）先求解 再求解的值，再求解2m＋2n＋1，最后求解平方根即可．
(1)
解：∵2∴a-<0，2−a<0
∴b＝-a＋a-2＝−2
(2)
∵b＋2=，8－b=8－（−2）=10－，


∴m=－3，n=10－－6=4－
∴2m＋2n＋1=2－6+8－2＋1=3
∴2m＋2n＋1的平方根为±
【点睛】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
【答案】(1)3，；
(2)；
(3)，
【分析】（1）根据材料类比进行计算，∵，即，可知结果；
（2）参考材料，求出m、n进行计算即可；
（3）首先求出的整式及小数部分，再进行求值即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查的是实数的应用，理解材料并灵活运用是解题的关键．
22．阅读下面文字：
对于
可以如下计算：
原式
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】（1）
（2）原式
【点睛】此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022秋·北京西城·七年级校考期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；

（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．