重庆市梁平区梁平区袁驿中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 4的相反数是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可.
【详解】4的相反数是
故选D
2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可.
【详解】解：从正面看到的视图是：
，
故选：A.
【点睛】本题考查了几何体的视图，明确从正面看到的视图是解题关键.
3. 如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为( )．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求度数，根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键熟练掌握两直线平行，内错角相等的性质．
4. 下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A. x2－x＋1＝0B. x2＋x＋1＝0
C (x－1)(x＋2)＝0D. (x－1)2＋1＝0
【答案】C
【解析】
【分析】对于一元二次方程根的判别式=：＞0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时；方程有两个相等的实数根；＜0时，方程没有实数根．
【详解】A．x2－x＋1＝0中=，所以方程没有实数根；
B．x2＋x＋1＝0中=，所以方程没有实数根；
C．(x－1)(x＋2)＝0 可用因式分解法解x－1=0或x+2=0，所以方程解为x=1或x=－2；
D．(x－1)2＋1＝0，移项得，(x－1)2=－1，任何实数的平方都不可能是负数，所以方程无解．
故选C．
考点：一元二次方程根的判断．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
5. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【详解】∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得：p=﹣1．
故选：C．
6. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A. 14B. 20C. 23D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
7. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
8. 若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，，是抛物线上的三个点，
∴点关于对称轴的对称点是，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
9. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法：①；②；③；④；其中说法正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：函数开口向上，则a＞0,对称轴在y轴左边，则b＞0，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，则abc＜0，则①正确；图象的对称轴为直线x=－1，即－=－1，则2a=b，即2a－b=0，则②正确；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，则③错误；根据图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点为(1,0)，即a+b+c=0，根据②可得：b=2a，则a+2a+c=0，即3a+c=0，则④正确.
考点：二次函数的性质
10. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的撗线上．
11. 计算：________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
12. 已知一元二次方程的两根为，则___________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想代入进行计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴．
故答案为：
13. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________．
【答案】##800度
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式即可得．
【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为，
∴其余六个内角之和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
14. 如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，是边的中线，
∴，，
在中，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
15. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．
【答案】
【解析】
【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程．
【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．
第二个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
第三个月新建了500个充电桩，
于是有，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．
16. 二次函数的顶点坐标是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
17. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________．
【答案】13
【解析】
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得，
方程可化为，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．
18. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算：________，若“不同数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则n的值为 _________．
【答案】 ①. 484 ②. 4648
【解析】
【分析】先根据“不同数”的定义求出；设“异友数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字是，根据“不同数”的定义求出，的取值范围，进而得到，即能被13整除，最后分别当，2，3，4时讨论即可．
【详解】解：去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193，这四个三位数之和为，，
；
设“不同数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字是，
一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”
，，且，
，，，
去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：、、、，
这四个三位数之和为，，
，
能被13整除，
能被13整除，
当时，，，存在使能被13整除，但，故不符合题意；
当时，，，在范围内不存在整数使能被13整除；
当时，，存在使能被13整除，此时；（不符合题意，舍去）
当时，，存在使能被13整除，此时；
综上所述，；
故答案为：484；4648．
【点睛】本题考查整除问题，考查方式比较新颖，理解“不同数”的具体特征是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式计算，再合并同类项；
（2）根据分式混合运算的法则解答即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了整式和分式的运算，属于基本计算题型，熟练掌握整式和分式混合运算的法则是解题的关键．
20. 如图，在中，点E在线段上，，完成下列作图和填空．

（1）利用尺规作的角平分线交线段于点F，连接，（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：．
证明：
①
又平分
②
又
且
③
又
四边形为菱形
（ ④ ）
【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
【小问1详解】
【小问2详解】
证明：，
，
又平分，
，
，
，
又，
且，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
（菱形对角线互相垂直）；
故答案为：；；四边形为平行四边形；菱形对角线互相垂直；
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型.
21. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．

抽取的对，款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15，88，98
（2）90 （3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．
【小问1详解】
解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份，
“满意”所占百分比为：，
“比较满意”所占百分比为：，
，
抽取对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，
“不满意”和“满意”的评分有（份），
第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，
，
抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98，
，
故答案为：15，88，98；
【小问2详解】
解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
【小问3详解】
解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．
22. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
（3）当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点A（-2，-2）代入，即可求解；
（2）根据题意可得水面AB下降1米，到CD处时，点D的纵坐标为-3，把y=-3代入，可得到水面的宽度，即可求解；
（3）根据题意可得当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，把y=-1代入，可得到水面的宽度，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点A（-2，-2），B（2，-2），
把点A（-2，-2）代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵水面AB下降1米，到CD处，
∴点D的纵坐标为-3，
当y=-3时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度增加米；
【小问3详解】
解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度减少米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
23. 为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30元，为了扩大销售，4月准备适当降价．据测算每袋降价1元，销售量可增加20袋．
（1）每袋降价5元时，4月共获利多少元？
（2）当农产品每袋降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元？
【答案】（1）4月共获利2700元
（2）当农产品每袋降价3元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元
【解析】
【分析】（1）直接利用销量×每袋的利润＝总利润，进而得出答案；
（2）直接利用销量×每袋的利润＝总利润，进而得出方程得出答案．
【小问1详解】
解：当每袋降价5元时，
由题意可得：（30−16−5）×（200＋20×5）＝2700（元），
答：每袋降价5元时，4月共获利2700元；
【小问2详解】
解：设当农产品每袋降价x元时，根据题意可得：
（200＋20x）（30−16−x）＝2860，
整理得：x2−4x＋3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1（根据尽可能让利于顾客，舍去），
答：当农产品每袋降价3元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握销量×每袋的利润＝总利润是解题关键．
24. 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果保留根号）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，）
【答案】（1）米
（2）甲组能在9分钟内到达B处
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点C作于点D，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得；
（2）先解直角三角形求出的长，从而可得的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．
【小问1详解】
解：如图，过点C作于点D，
根据题意得：，
∴，
∴米，
∴米，
即B养殖场与灯塔C的距离为米；
【小问2详解】
解：米，
∴米，
∴甲组到达B处所需时间为分钟分钟，
∴甲组能在9分钟内到达B处．
25. 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点A在点左侧．点的坐标为．

（1）直接写出点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由点B的坐标为，，且点C在y轴的负半轴上可求出点C的坐标；
(2)已知了B点坐标,易求得的长,进而可将B、C的坐标代入抛物线中,求出待定系数的值,即可得出抛物线的解析式.
(3) 过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，求出直线的解析式为．设点D的坐标为，则点E的坐标为，得到，即可得到，根据二次函数性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵点的坐标为，
∴，，
∴点C的坐标为．
【小问2详解】
将代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问3详解】
过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图所示．

当时，有，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为．
答：的面积取最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数求最值，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.
26. 在中，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足．
（1）如图1，若，求的长．
（2）如图2，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若．求证：；
（3）如图3，点H为线段上一点，，点K是直线上的一个动点，连接．将线段绕点G顺时针旋转得到线段，点P是线段上的一个动点连接，若，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点A作于点E，证明，可得，求出的长即可利用勾股定理求解；
（2）如图所示，在上取一点H，使得，连接，证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得，同理，即可推出，即可求证；
（3）如图3-1所示，过点G作交直线于T，连接，则是等腰直角三角形，证明，可得，从而得到 在垂直于的直线l上运动；如图3-2所示作H关于直线的对称点，连接，则，可得要使最小，即要使最小，当三点共线且时（此时P在在N），满足题意；根据题意得到，过点A作于Q，过点H作于M，可求出，可得，，根据轴对称性可得，从而得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点E，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
；
【小问3详解】
解：如图3-1所示，过点G作交直线于T，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在垂直于的直线l上运动；
如图3-2所示作H关于直线的对称点，连接，则，
过作于N，交于L，交于；
∴，
∴要使最小，即要使最小，
∴当三点共线且时（此时P在在N），满足题意；
∵，
∴，
∴，
过点A作于Q，过点H作于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由轴对称性得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
45%
88
87
40%