吉林省辽源市东丰县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)

这是一份吉林省辽源市东丰县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，是的一个外角，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于点，下列结论错误的是( )
A. 平分
B. 点是线段的中点
C.
D. 的周长等于
4.如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.分解因式：
8.某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长为，则宽为______．
9.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______．
10.若分式的值为，则的值为______．
11.科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到纳米，也就是米．将用科学记数法表示为______．
12.如图，，点是线段上的一点，交于点，，，， ______．
13.如图，在直角中，，，平分，交于点过点作于点，则的度数为______．
14.如图，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即同一图形大正方形的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：，把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题“的方法称为“面积法”，请用上述“面积法”，通过如图中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
15.如图所示，，均为直角三角形，且，，过点作平分交于点．
求证：；
求的度数．
四、解答题：本题共11小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
如图，四边形中，，，为上一点，且，求证：．
19.本小题分
如图，在正五边形中，交的延长线于点，交的延长线于点，求的度数．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区米长的污水管道改造任务．工程队在改造完米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？
22.本小题分
如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．
若的周长是，，求的周长；
若，，求的度数．
23.本小题分
在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点，的坐标分别为，．
请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
请作出关于轴对称的，并写出点的坐标．
24.本小题分
观察下列等式．


；

根据你观察、归纳，发现的规律，写出可以是哪个数的平方？
试猜想第个等式，并通过计算验证它是否成立；
利用前面的规律，将因式分解．
25.本小题分
为提升绿化管护、助力文明创建，曲江新区持续开展绿化管理工作，计划在某道路两旁种植树木共棵经过专业人士研究发现，两种树木最适合种植，已知种树苗每棵单价比种树苗多元，且用元购进的种树苗与用元购进的种树苗数量相同，，两种树苗的其余相关信息如下表：
解答下列问题：
种树苗与种树苗的单价各是多少？
若绿化该道路的总费用不超过元，则最少可以购买种树苗多少棵？
若这批树苗种植后成活了棵，则绿化村道的总费用需要多少元？
本小题分
在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点不与点重合，且，在射线上截取，连接．
当点在线段上时，
若点与点重合，请根据题意补全图，并直接写出线段与的数量关系为______；
如图，若点不与点重合，请证明；
当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系直接写出结果，不需要证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：是的一个外角，
．
．
故选：．
根据三角形的外角的性质可知，据此可求得答案．
本题主要考查三角形的外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，牢记三角形的外角的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
由在中，，，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得与的度数，又由的垂直平分线是，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，继而求得的度数，则可知平分；可得的周长等于，又可求得的度数，求得，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：在中，，，
，
的垂直平分线是，
，
，
，
平分，故A正确；
的周长为：，故D正确；
，，
，
，
，
，故C正确；
，
，
点不是线段的中点，故B错误．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：当时，的值最小，
平分，
当时，
，
，
的最小值是，
故选：．
由垂线段最短可知当时，最短，根据角平分线的性质即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】分析
分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则进行计算，再逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
详解
解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
，
故选：．
根据题意可得的值，然后再根据负整数指数幂：为正整数可得答案．
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握为正整数．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，宽为，
故答案为：．
根据宽面积长列出算式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算可得．
本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，含度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是求出和的长，题目比较典型，难度不大．
连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线求出，求出，即可求出答案．
【解答】
解：连接，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
12.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
．
，
，
故答案为：．
首先证明≌，利用全等三角形的性质可得，易得的长．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据角平分线定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出及，再通过求解．
本题考查三角形的内角和定理，解题关键掌握三角形内角和定理及直角三角形两个锐角互余．
14.【答案】
【解析】解：如图，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即，
同时大长方形的面积也可以为，
所以；
故答案为：．
大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可；
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
15.【答案】证明：，且平分，
，
又，
，
．
解：由知，．
在中，，
．


．
【解析】利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论；
先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解．
本题考查了平行线的判定和三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理及推论是解决本题的关键．
16.【答案】解：．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值的计算法则求解即可．
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零次幂的结果为．
17.【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：将代入，得，
故原方程的解为．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明≌，则可得出结论．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明≌是解题的关键．
19.【答案】解：方法、是正五边形，
，
，

，
，
；
方法、五边形是正五边形，
．
，
．
【解析】方法、根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可．
方法、根据正五边形的内角和得出再根据，即可得出结论．
此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角．
20.【答案】解：原式


．
当时，
原式

．
【解析】先把括号中的写成分母是的分式，把各个分式的分子和分母分解因式，除法写成乘法，按照混合运算法则，先算括号里面的，再算乘法，然后算加减，最后把的值代入计算结果进行计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分和常见的几种分解因式的方法．
21.【答案】解：设原来每天改造管道米，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：引进新设备前工程队每天改造管道米．
【解析】首先设原来每天改造管道米，则引进新设备前工程队每天改造管道米，由题意得等量关系：原来改造米管道所用时间引进了新设备改造米所用时间天，根据等量关系列出方程，再解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
22.【答案】解：垂直平分，
，．
的周长，，
，
的周长；
，，
，
，
．
，
．
【解析】由垂直平分得到，由的周长，，则，即可得到的周长；
由等边对等角得到，根据三角形内角和定理得到，则，由等边对等角即可得到的度数．
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：平面直角坐标系如图所示．
如图，即为所求．．

【解析】根据，两点坐标确定平面直角坐标系即可．
利用轴对称的性质，分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图轴对称变换，梯形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形．
24.【答案】解：由题知，，
即是的平方；
第个等式为，理由如下：
验证如下：
左边，
右边，
左边右边，
；
由知，．
【解析】根据已知的三个等式，发现规律：等式左边是序号数与比序号数大的两个正整数积的倍与的和，等式右边是序号数与比序号数大的两个正整数的和的平方，由此得出可以看成与这两个正整数的和的平方；
猜想第个等式为，运用多项式的乘法法则计算验证即可；
利用前面的规律，可知．
此题主要考查了规律型：数字的变化类与完全平方公式，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．解答本题的关键是得出规律．
25.【答案】解：设种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：种树苗的单价是元，种树苗的单价是元；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
答：最少可以购买种树苗棵；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
，
元，
答：绿化村道的总费用需要元．
【解析】设种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据用元购进的种树苗与用元购进的种树苗数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据绿化该道路的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据这批树苗种植后成活了棵，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
此题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
26.【答案】解：
证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，
，．
又，
，
在与中，，
≌，
，
；

如图，连接，
由知，，，
；
，
如图，连接，
由知，，，
；
．
【解析】解：如图，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
；
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】如图，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质得到，，由邻补角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；证明：在上截取，连接，得到是等边三角形．同理，也是等边三角形．求得，通过≌，得到，根据线段的和差即可得到结论；
如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
树苗
成活率
植树费元棵