48，吉林省延边州2023-2024学年高一上学期期末学业质量检测数学试题

这是一份48，吉林省延边州2023-2024学年高一上学期期末学业质量检测数学试题，共16页。试卷主要包含了 若，则角的终边位于等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解.
【详解】，
，故ABD正确；
而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误.
故选：C
2. 已知命题，则（ ）
A. ，且是真命题B. ，且是真命题
C. ，且是假命题D. ，且是假命题
【答案】A您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定，求出，然后判断命题的真假即可.
【详解】根据含有一个量词的否定，，
则,因为当时，，所以是真命题，
故选：A.
3. 定义运算，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由题意得到函数解析式，进而可得出函数图像.
【详解】由题意可得：.
根据选项，可得D正确.
故选D
【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据题意写出分段函数解析式，即可得出结果，属于基础题．
4. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式恒成立，只需求（）的最小值即可
【详解】令（），
则，当且仅当=2时，等号成立.
由题意知，所以.
故选：A.
5. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度.
【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿，
所以小轮此时转动周，
即小轮转动的角度为.
故选：D
6. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则，解得.
故选：C．
8. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【详解】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，则角的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可解答．
【详解】因为，则或，
若，，此时的终边位于第三象限，
若，，此时的终边位于第二象限，
综上可得的终边位于第二象限或第三象限.
故选：BC．
10. 已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出和即可.
【详解】因为函数的图象经过定点,
令，得或，此时，则或,
当点在角的终边上，则；
当点在角的终边上，则；
综上：或，故AD正确，BC错误.
故选：AD.
11. 已知实数，则下列命题中错误是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，结合反例逐一判断各选项即可得解.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，故，则，故B正确；
对于C，若则，
所以，故C错误；
对于D，因为，取，
则，，此时，故D错误.
故选：ACD.
12. 若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 且B. 的最小值为9
C. 的最小值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，由，可得，
所以且，即，故A正确；
对于B，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9，故B正确；
对于C，因为，
可得，即，所以，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用具体函数定义域的求法与对数函数的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
14. 若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式化简求值即可得解.
【详解】因为，
令，则，，
所以.
故答案为：.
15. 若命题“”是真命题，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】考虑与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】，
当时，恒成立，
当时，，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先根据二次函数知识求得，然后根据a的符号讨论，利用单调性求得最值，列不等式即可求解.
【详解】因为对任意，总存在与使得成立，
所以，
，对称轴为，
因为，所以当时，，
当时，函数在上单调递增，所以，
所以，解得；
当时，函数在上为常数函数，满足；
当时，函数在上单调递减，所以，
所以，解得；
综上，，即实数a的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合.

（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）若非空集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由韦恩图分析得，再化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解；
（2）先求得，利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
根据题意，分析可得，
而，，
则或，
所以；
【小问2详解】
因为，则，
若非空集合，且，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 已知，.求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可；
（2）结合（1）的结论，利用两角和的余弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知：，，所以
19. 设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据题意直接代入可求得，再利用对数函数的真数大于零，求得的定义域；
（2）先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，得，则，解得；
又，解得，
所以的定义域为；
【小问2详解】
由（1）得，
因为，令，
令，则函数在单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为0.
20. 已知函数.
（1）求函数单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先结合三角恒等变换得，再求函数单调递递减区间即可；
（2）根据图象平移写出的解析式，结合正弦型函数性质求区间值域即可.
【小问1详解】
所以，，解得
所以，函数单调递减区间为
【小问2详解】
因为函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为，所以
所以，由正弦函数性质可知，
所以，在的值域为.
21. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出，，，，从而得解；
（2）根据（1）求出的表达式，将化简求得．
【小问1详解】
因为（其中，，，
由题意知：，
，故，
，，
又，，
，
故解析式为：，,；
【小问2详解】
令，则，即，
因为,，则，
所以或，解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟时和25分钟时，游客距离地面的高度恰好为30米.
22. 设函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数值；
（2）若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围.
【答案】22.
23. 在上单调递减，证明见解析
24.
【解析】
【分析】（1）由求得的值.
（2）由求得的取值范围，利用函数单调性的定义证得在上单调递减.
（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【小问1详解】
由于是定义域为的奇函数，
所以，
此时，，满足是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
若，则，
所以减函数，证明如下：
任取，则
，
由于，，所以，
所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由（1）得，是定义在上的奇函数，
依题意，不等式恒成立，
即恒成立，
由（2）得在上单调递减，
所以，
恒成立，
令，则对于函数，
函数在上单调递增，最小值为，
所以的最大值为，
所以.
【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在处有定义时，必有，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.