湖北省各地市2023中考数学真题分类汇编03解答题（较难题）知识点分类①

这是一份湖北省各地市2023中考数学真题分类汇编03解答题（较难题）知识点分类①，共44页。试卷主要包含了的顶点，，交y轴于点C，x+b等内容，欢迎下载使用。

1．（2023•襄阳）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．
①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；
③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围．
2．（2023•黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
3．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．
（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．
4．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 ；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
5．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
​
6．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 ；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
7．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
二．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．
三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2023•恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数；
（2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．
四．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；
（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．
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五．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，
由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为 三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，
由 可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 点．
（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元．（结果用含a的式子表示）
六．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k＝ ；
②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共7小题）
1．（2023•襄阳）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．
①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；
③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①y＝x2+x，顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
②t的值为﹣3或1；
③S的最大值为；
（2）k≤﹣或k≥．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴2m2﹣m＝0，
解得：m＝0或，
∵m≠0，
∴m＝，
①抛物线的解析式为y＝x2+x，
∵y＝x2+x＝（x+）2﹣，
∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
②当t+1＜﹣，即t＜﹣时，y随x增大而减小，
由题意得：（t+1）2+t+1＝2，
解得：t1＝﹣3，t2＝0（舍去），
∴t的值为﹣3，
当﹣≤t≤﹣时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为﹣，不符合题意，
当t＞﹣时，y随x增大而增大，
由题意得：t2+t＝2，
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝1，
∴t的值为1，
综上所述，t的值为﹣3或1；
③由题意得：当k＝2时，y＝2x+b经过点P（﹣，﹣），
∴2×（﹣）+b＝﹣，
∴b＝，
∴y＝2x+，
设点E（m，m2+m），且﹣＜m＜，
∵EF∥x轴，
∴F（m2+m﹣，m2+m），
∴S＝EF＝m﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，﹣＜m＜，
∴当m＝时，S取得最大值；
（2）∵y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m，
∴Q（﹣m，m2﹣m），
∵直线l：y＝kx+b经过点P、Q，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝（﹣m+）x﹣m，
令x＝0，得y＝﹣m，
∴A（0，﹣m），
联立方程得：x2+2mx+2m2﹣m＝（﹣m+）x﹣m，
解得：x1＝﹣m，x2＝﹣2m+，
当x＝﹣2m+时，y＝（﹣m+）（﹣2m+）﹣m＝2m2﹣2m+，
∴B（﹣2m+，2m2﹣2m+），
当m＞时，点B在第二象限，点A在y轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A′，如图，
则A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，
∵|QB﹣QA|≥1，
∴|QB﹣QA′|≥1，
即|A′B|2≥1，
∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，
化简得：m2﹣m﹣≥0，
令m2﹣m﹣＝0，
解得：m1＝﹣+（舍去），m2＝+，
∴m≤+，
∵m＝﹣k+，
∴﹣k+≤+，
∴k≤﹣；
当m＜时，点B在第一象限，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A′，如图，
则A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，
∵|QB﹣QA|≥1，
∴|QB﹣QA′|≥1，
即|A′B|2≥1，
∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，
化简得：m2﹣m﹣≥0，
令m2﹣m﹣＝0，
解得：m1＝﹣+，m2＝+（舍去），
∴m≤﹣+，
∵m＝﹣k+，
∴﹣k+≤﹣+，
∴k≥；
综上所述，k的取值范围为k≤﹣或k≥．
2．（2023•黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）﹣；
（3）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即﹣12a＝4，则a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4①；
（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，
∵∠CAO+∠ABP＝90°，
则tan∠ABP＝，
故设直线BP的表达式为：y＝（x﹣4）②，
联立①②得：﹣x2+x+4＝（x﹣4），
解得：x＝﹣＝x0（不合题意的值已舍去）；
（3）作∠EAG＝∠BCD，
设AG＝2BC＝2×4＝8，
∵AE＝2CD，
∴△BCD∽△GAE且相似比为1：2，
则EG＝2BD，
故当C、E、G共线时，CE+2BD＝CE+EG＝CG为最小，
在△ABC中，设AC边上的高为h，
则S△ABC＝AC•h＝AB×CO，
即5h＝4×7，
解得：h＝，
则sin∠ACD＝＝＝sin∠EAG，
则tan∠EAG＝7，
过点G作GN⊥x轴于点N，
则NG＝AG•sin∠EAG＝，
即点G的纵坐标为：﹣，
同理可得，点G的横坐标为：﹣，
即点G（﹣，﹣），
由点C、G的坐标得，CG＝＝，
即CE+2BD的最小值为．
3．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．
（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝，x的取值范围是：0≤x≤6；
（2）C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；
（3）m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．
【解答】解：（1）∵A，抛物线的对称轴为x＝3．
∴c＝，，
解得：b＝3，
∴抛物线解析式为y＝，
当y＝时，＝，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴x的取值范围是：0≤x≤6；
（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，
由已知可得：OA＝，OB＝3，
在Rt△AOB中，
tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PAB+∠BCP＝180°，
∴A、B、C、P四点共圆，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴点D在AC上，
BD＝AB＝，
∴D（3，），
设AD的解析式为y＝kx+b，则有：
，
解得：，
∴AC的解析式为：y＝，
由＝，得：
x1＝0，x2＝，
当x＝时，y＝，
∴C（，），
设P（0，y），则有：
，
解得：y＝，
∴P（0，）；
当C与A重合时，
∵∠OAB＝60°，
∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，
此时，P（0，），C（0，）；
∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），
∴设抛物线解析式为y＝，
将点F（1，﹣1）代入y＝中，得，
整理得：（m﹣1）（n﹣1）＝6，
∵m＜n，且m，n为正整数，
∴1＜m＜n，
∴m﹣1，n﹣1为正整数，且m﹣1＜n﹣1，
∴当m﹣1＝1，n﹣1＝6时，
解得：m＝2，n＝7；
当m﹣1＝2，n﹣1＝3时，
解得：m＝3，n＝4．
∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．
4．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 y＝ ；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）y＝．
（2）∠CEB＝45°．
（3）3，理由见解答．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝．
故答案为：y＝．
（2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6，
同理，由点D（2，﹣8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y＝2x﹣12，
零﹣3x﹣6＝2x﹣12，
解得x＝，
∴点E的坐标为（），
由题意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8，
∴AC＝，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，
∴AE＝，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∵OB＝OC，∠COB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
答：∠CEB的度数为45°．
（3）设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，），
∵直线MN与BC不重合，
∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6，
如图，
由点B（6，0），点C（0，﹣6），可得直线BC的解析式为y＝x﹣6，
∵MN∥BC，
设直线MN的解析式为y＝x+t，
∴x+t＝，
∴
∴m+n＝6
∴点N的坐标可以表示为（6﹣m，），
设直线CN的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得，
∴直线CN的解析式为y＝，
同上，可得直线BM的解析式为y＝，
∴＝，
∴mx＝3m，
∴x＝3，
∴点P的横坐标为定值3．
5．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
​
【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）t的值为2或；
（3）点P在一条定直线y＝2x﹣2上．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得：t＝0（舍去）或t＝2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴＝，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
则，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．
联立，得，
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（，）．
设点P在直线y＝kx+b上，则，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比较系数，得，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立．
∴点P在定直线y＝2x﹣2上．
6．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 0或2或﹣ ；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2或0或﹣；
（2）①6；
②当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x+，
此时y＝3x+与x轴的交点坐标为（﹣，0），
与y轴的交点坐标为（0，）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，
解得a＝﹣，
此时y＝﹣x2+x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣），
当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，
解得x1＝x2＝，
∴与x轴的交点坐标为（，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，﹣，
故答案为：2或0或﹣；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积＝OB•PF＝＝6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
7．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式：y＝﹣x2+x+2，直线BC：y＝﹣x+2．
（2）m＝1或m＝或m＝2．
（3）P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m＝，（负值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
二．圆的综合题（共1小题）
8．（2023•荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．
【答案】（1）①②证明见解答过程；
（2）sin∠DFE＝．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵DH⊥AB，
∴∠CDH＝∠DHA＝90°，
∴CD⊥OD，
∵D为⊙O的半径的外端点，
∴CD是⊙O的切线；
②连接HF，
∴∠DEF＝∠DHF，
∵DH为⊙O直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，
∵∠DHB＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，
∵∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA；
（2）解：连接AC交BD于G．
∵菱形ABCD，BD＝6，
∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，
在Rt△AGB中，AG＝＝4，
∴AC＝2AG＝8，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，
∴DH＝＝，
由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，
∴sin∠DFE＝sin∠DAH＝＝＝．
三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2023•恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F．
（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数；
（2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠DAD′＝35°；
（2）四边形C′D′EF是矩形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
由翻折可知：D′E＝DE，
∴AE＝D′E，
∴∠EAD′＝∠ED′A，
∵∠DED′＝∠EAD′+∠ED′A＝70°，
∴∠DAD′＝35°；
（2）四边形C′D′EF是矩形，理由如下：
如图，连接EF，
由翻折可知：∠EBC＝∠EBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC＝∠GEB，
∴∠GBE＝∠GEB，
∴GE＝GB，
∵ED′∥BC′，
∴∠AFG＝∠AD′E，
∴∠AFG＝∠GAF，
∴GF＝GA，
∴AE＝BF，
∵AD＝2AE＝BC′，
∴BC′＝2BF，
∴F是BC′的中点，
∴FC′＝BC′，
∵ED′＝ED＝AD，
∴FC′＝ED′，
∵ED′∥BC′，
∴四边形C′D′EF是平行四边形，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴四边形C′D′EF是矩形．
四．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；
（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．
​
【答案】图形见解答．
【解答】解：（1）如图（1），线段BF和点G即为所求；
理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°，
∴△BCF≌△BAE（SAS），
∴∠CBF＝∠ABE，
∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°，
∴线段BE绕点B顺时针旋转90° 得BF，
∵PE∥FC，
∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ，
∵PE＝FC，
∴△PEQ≌△CFO（ASA），
∴EQ＝FQ，
∴∠GBE＝EBF＝45°；
（2）如图（2）所示，点N与点H即为所求，
理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE，
∴△BCF≌△BAE（SAS），
∴BF＝BE，
∵DF＝DE，
∴BF与BE 关于BD对称
∵BN＝BM，
∴M，N关于BD对称，
∵PE/FC，
∴△POE∽△QOF，
∴，
∵MG∥AE
∴，
∴，
∵∠MEO＝∠BEF，
∴△MEO∽△BEF，
∴∠EMO＝∠EBF，
∴OM∥BF，
∴∠MHB＝∠FBH，
由轴对称可得∠FBH＝∠EBH，
∴∠BHM＝∠MBD．
五．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，
由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为 等边 三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，
由 两点之间线段最短 可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝ 120° ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 A 点．
（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元．（结果用含a的式子表示）
【答案】（1）等边；两点之间线段最短；120°；A；
（2）5；
（3）a．
【解答】解：（1）∵PC＝P'C，∠PCP'＝60°，
∴△PCP'为等边三角形，
∴PP'＝PC，∠P'PC＝∠PP'C＝60°，
又∵P'A'＝PA，
∴PA+PB+PC＝PA'+PB+PP'≥A'B，
根据两点之间线段最短可知，当B、P、P'、A'在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴∠BPC+∠P'PC＝180°，∠A'P'C+∠PP'C＝180°，
∴∠BPC＝120°，∠A'P'C＝120°，
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，
∴△APC≌△A'P'C，
∴∠APC＝∠AP'C'＝120°，
∴∠APB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠APC＝∠BPC＝∠APB＝120°，
∵∠BAC≥120°，
∴BC＞AC，BC＞AB，
∴BC+AB＞AC+AB，BC+AC＞AB+AC，
∴三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小，
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点，
∴该三角形的“费马点”为点A．
故答案为：等边；两点之间线段最短；120°；A；
（2）如图4，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由（1）可知当B、P、P'、A'在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
∵∠ACP＝∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP＝∠A'CP'+∠BCP＝∠ACB＝30°，
又∵∠PCP'＝60°，
∴∠BCA'＝90°，
根据旋转的性质可知：AC＝A'C＝3，
∴A'B＝，
即PA+PB+PC的最小值为5；
（3）∵总铺设成本＝PA×a+PB×a+PC×a＝，
∴当PA+PB+PC最小时，总铺设成本最低，
将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，连接PP'，A'B，
由旋转性质可知：P'C＝PC，∠PCP'＝∠ACA'＝90°，P'A'＝PA，A'C＝AC＝4km，
∴PP'＝PC，
∴PA+PB+PC＝P'A'+PB+PP'，
当B、P、P'、A'在同一条直线上时，P'A'+PB+PP'取最小值，
即PA+PB+PC取最小值为A'B，
过点A'作A'H⊥BC于H，
∵∠ACB＝60°，∠ACA'＝90°，
∴∠A'CH＝30°，
∴A'H＝A'C＝2km，
∴HC＝＝（km），
∴BH＝BC+CH＝（km），
∴A'B＝＝＝2（km），
即PA+PB+PC的最小值为km，
总铺设成本为：总铺设成本＝＝a（元）．
故答案为：a．
六．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k＝ 1 ；
②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
【答案】（1）①1；
②证明见解答；
（2）＝k．理由见解答；
（3）k的值为3．
【解答】（1）①解：∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，
∴k＝＝＝1，
故答案为：1；
②证明：
方法一：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APB＝∠MPN＝90°，∠PAB＝∠PBC＝45°，PA＝PB，
∴∠APB﹣∠BPM＝∠MPN﹣∠BPM，
即∠APM＝∠BPN，
∴△PAM≌△PBN（ASA），
∴PM＝PN．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图1，
则∠PGM＝∠PHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴PG＝PH，∠HPG＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴△PMG≌△PNH（ASA），
∴PM＝PN．
（2）解：＝k．理由如下：
方法一：过点P作PG∥BD交BC于G，如图2（i），
∴∠AOB＝∠APG，∠PGC＝∠OBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM＝∠OCB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠APG＝∠MPN＝∠AOB＝90°，∠PGC＝∠PCG＝∠PAM，
∴PG＝PC，
∠APG﹣∠MPG＝∠MPN﹣∠MPG，
即∠APM＝∠GPN，
∴△PAM∽△PGN，
∴＝＝k．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图2（ii），
则∠PGM＝∠PGB＝∠PHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，
∵∠PGA＝∠CHP＝90°，
∴△APG∽△CPH，
∴＝，
∵∠GPH＝∠MPN＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴△PMG∽△PNH，
∴＝＝＝k．
（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如图3，
则∠MPN＝∠GPH＝∠PGM＝∠ECN＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴∠PMG＝∠PNH，
由（2）和已知条件可得：PM＝kPN，EN＝kPN，
∴PM＝EN，
∴△PGM≌△ECN（AAS），
∴GM＝CN，PG＝EC，
∵∠BPN＝∠PCB＝45°，∠PBN＝∠CBP，
∴△BPN∽△BCP，
∴＝，
∴PB2＝BC•BN，
同理可得：PB2＝BA•BM，
∵BC＝BA，
∴BM＝BN，
∴AM＝CN，
∴AG＝2CN，
∵∠PAB＝45°，
∴PG＝AG，
∴EC＝2CN，
∴tan∠ENC＝＝＝2，
令HN＝a，则PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，
∴EN＝＝3a，
PN＝＝a，
∴k＝＝＝3．