14，陕西省西安市第三中学名校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份14，陕西省西安市第三中学名校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 分值：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列实数0，，，，，，， （每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴0，，，，是有理数，，， （每两个1之间依次多一个2）是无理数，
故选：C．
2. 由线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是否构成直角三角形，涉及三角形三边关系、勾股定理的逆定理，根据三角形三边关系及勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于，则线段不能组成三角形，不符合题意；
B、由于，则线段组成的三角形不是直角三角形，不符合题意；
C、由于，则线段不能组成三角形，不符合题意；
D、由于，则线段组成的三角形是直角三角形，符合题意；
故选：D．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载3. 一组数据：，，，，如果再添加一个数据，那么会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【详解】原数据的3、4、4、5的平均数为，中位数为，众数为4，方差为 ；
新数据3、4、4、4、5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
∴添加一个数据4，方差发生变化．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解题的关键．
4. 在下面的四个图形中,已知∠1=∠2,那么能判定AB∥CD的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A选项∠1和∠2是内错角，根据内错角相等，两直线平行能够判定AB∥CD；
B选项∠1和∠2不是内错角，也不是同旁内角，不能够判定AB∥CD；
C选项∠1和∠2不是内错角，也不是同旁内角，不能够判定AB∥CD；
D选项∠1和∠2是内错角，能够判定AD∥CB，不能够判定AB∥CD；
故选A ．
5. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.
【详解】解：A、若函数图象经过第一、三、四象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、三象限；若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意；
B、若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意；
C、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、四象限；若函数图象经过第二、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意；
D、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、三、四象限；若函数图象经过第一、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键.
6. 如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，则的长度为（ ）
A. 15B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：，，
，
，
，
则在中，，
故选：D．
7. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x、y的二元一次方程组，继而求解．
【详解】解：设共有x辆车，y人，
根据题意得出：
故选A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 如图，在等边中，边在轴上，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向右平移3个单位，当点恰好落在直线上时，点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质求得B点坐标，然后根据平移的性质求得B′坐标，代入解析式求解．
【详解】解：过点B作BE⊥x轴，
∴在等边△ABC中，点的坐标为
∴，，
∴B点坐标为，点的对应点的坐标为
将代入中，
，解得：
∴的坐标为
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像特点及等边三角形性质，利用数形结合思想解题是关键．
9. 如图，已知中，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，点为垂足，若，，，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接AD，AE，

∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD=BD=，AE=EC=，
∵DE=2，
∴AD2+DE2＝+4＝＝AE2，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADE=90°，
由勾股定理可得：.
【点睛】考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．
10. 如图，正方形纸片的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得AE=DF=5，进而利用三角形的面积公式可求DO的长，即可求解．
【详解】解：设CF与DE交于点O，
将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
GO=DO， CF⊥DG，
四边形ABCD是正方形，
AD=CD，∠A=∠ADC=90°=∠FOD， ，
∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE，
∠ADE=∠FCD，
在△ADE和△DCF中，

( ASA )，
AE=DF=5，
AE=5， AD=12，
DE=，
CF⊥DG， ，
，
，
DO==GO，
EG=
故答案为：C
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE≌△DCF是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若a、b，c为三角形的三边，则________．
【答案】2a
【解析】
【分析】根据三角形三条边的长度关系，可以得到两个括号内的正负情况；再根据一个数先平方，后开方，所得的结果是这个数的绝对值，来计算这个式子.
【详解】∵a，b，c是三角形的三边，
三角形任意两边之和大于第三边，任意两条边之差小于第三边，
∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0，
所以＝＝.
【点睛】本题主要考查了三角形三边的边长关系：三角形任意两条边之和大于第三边，任意两条边之差小于第三边.解决本题，还需要清楚地明白一个数先平方后开方，所得的就是这个数的绝对值.
12. 如图，长方形中，在数轴上，，若以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，则点的表示的数为_________________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．勾股定理求出的长，进而得到的长，进而利用两点间的距离公式，得到点表示的数即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∵点表示的数为，
∴点表示的数为：；
故答案为：．
13. 如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为_____________．
【答案】##16度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点E，F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
14. 如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是_____________________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，数形结合的思想是解题的关键，把点的坐标求得后即可确定方程组的解．
【详解】函数可通过移项得到：
函数可通过移项得到：
关于的方程组的解即为两函数的交点
点是函数与函数的交点，且点的横坐标为
点的纵坐标为
点坐标为
方程组的解为：
故答案为：
15. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
【详解】解：如图所示．
点、的坐标分别为、，
．
，，
∴由勾股定理可得：．
．
点在直线上，
，解得．
即．
．
．
即线段扫过的面积为16．
故选：C．
【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．
16. 如图，四边形，，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，证明是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得，即可求出最大值．
【详解】解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，
由翻折可知：，，
，，
∵E是中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当D，M，N，C共线时，取得最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明是等边三角形是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17. 计算、解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）分别求算术平方根，零指数幂，绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，计算求解，然后合并同类项即可；
（3）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（4）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴；
【小问4详解】
解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了算术平方根，零指数幂，绝对值，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握算术平方根，零指数幂，绝对值，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，依已知，，．

（1）作出关于轴对称的；
（2）求的面积；
（3）若点在轴上，求的最小值．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，
（）根据轴对称的性质作图即可；
（）利用割补法求三角形的面积即可；
（）连接，与轴的交点即为所求的点，则的最小值即为的长，由勾股定理可得出答案；
熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
的面积为：
；
【小问3详解】
如图，连接，
∴的最小值即为的长，
由勾股定理得，，
∴的最小值为．
19. 如图，在中，，，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点．且．
（1）求证：．
（2），求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质得出AD=BC=BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，由全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）由（1）得∠BDE=∠ADF，利用各角之间的数量关系得出△EDF为等腰直角三角形.再由勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，DBC中点，
∴AD=BC=BD=CD，
且AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
在△BDE和△ADF中，
BD=AD ，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF；
【小问2详解】
由（1）得△BDE≌△ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即：∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形.
∵ED=2，
∴EF=．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
20. 为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生，并补全上面条形统计图：
（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为___________；众数为___________；
（3）我校八年级有1200名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？
【答案】（1）100；条形统计图见详解；
（2）1.5，1.5；
（3）八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出缺少的数据，并补全条形统计图即可；
（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；
（3）根据样本计算出每天完成作业所用时间为小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生．
小问1详解】
解：本次调查的人数为：（人），
完成作业时间为1.5小时的有：（人），
补全的条形统计图如图所示：
；
【小问2详解】
解：由（1）中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时，
∵，则中位数是1.5小时，
故答案为：1.5，1.5；
【小问3详解】
解：，
（人），
答：八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有人．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键．
21. 如图，某小区有两个喷泉，，一条小路，已知两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求：

（1）供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
（2）喷泉到小路的最短距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解；
（2）勾股定理的逆定理证明，根据点到直线的距离即可求解．
【小问1详解】
由题意可知
在中，
∴．
在中，
∴供水点到喷泉，需要铺设的管道总长为；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴，
喷泉到小路的最短距离是．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
【答案】（1）
（2）方案甲更省钱 （3）学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可；
（2）将分别代入，计算求解，然后比较作答即可；
（3）当元，当元，分别计算对应的的值，然后比较作答即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，当时，（元），
（元），
∵，
∴方案甲更省钱；
【小问3详解】
解：由题意知，当元时，，解得：，
当元时，，
解得：，
∵，
∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
23. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：

（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）25
【解析】
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图1所示：

大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
【小问2详解】
解：如图2所示：

在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
【小问3详解】
解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即的值为25．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
24. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出m，n的值；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）一辆型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；
（2）或或；该物流公司共有以下三种租车方案；方案一：租型车1辆，B型车7辆；方案二：租型车5辆，B型车4辆；方案三：租型车9辆，B型车1辆；
（3）方案一：租型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元.
【解析】
【分析】（1）设一辆型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨；由用辆型车和辆型车装满货物一次可运货10吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货11吨．再建立方程组即可；
（2）由租用型车辆，型车辆，运送31吨货物，建立二元一次方程，再利用方程整数解解决问题即可；
（3）由型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，再列式计算进行比较即可.
【小问1详解】
解：设一辆型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨；
由题意可得：，
解得：
答：一辆型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∵均为正整数，
∴或或；
∴该物流公司共有以下三种租车方案；方案一：租型车1辆，B型车7辆；方案二：租型车5辆，B型车4辆；方案三：租型车9辆，B型车1辆；
【小问3详解】
解：方案一费用：（元）
方案二费用：（元）
方案三费用：（元）
∵
∴方案一：租型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键.
25. （1）模型建立：如图1，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除）；
（2）模型应用：如图2，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线的表达式；
（3）探究提升：如图3，在平面直角坐标系中，，点B在y轴上运动，将绕点A顺时针旋转至，连接，求的最小值，及此时点B坐标．
【答案】（1）；（2）点C的坐标为，直线的解析式为或点C的坐标为，直线的解析式为；（3），
【解析】
【分析】（1）只需要利用证明，得到即可得到结论；
（2）以点A为直角顶点时，如图，过点C作于点D．先求出．证明，得到，则，即可求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为；当以点B为直角顶点时，过点C作于点D．如图，同理可求： ，出直线的解析式为；
（3）如图所示，取，，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，即可得到，则点C在直线上运动，作点O关于直线的对称点H，连接，则，故当三点共线时，最小，即最小，此时点C运动到点G，则的最小值为，求出直线的解析式为，进而求出，得到，则．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图所示，以点A为直角顶点时，如图，过点C作于点D．
在中，当时，；当时，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为；
当以点B为直角顶点时，过点C作于点D．如图，
同理可求：，
∴，
∴．
同理可求出直线的解析式为；
综上所述，点C的坐标为，直线的解析式为或点C的坐标为，直线的解析式为；
（3）如图所示，取，，连接，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
作点O关于直线的对称点H，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，此时点C运动到点G，
∴的最小值为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．