16，安徽省淮北市市直初中期末联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份16，安徽省淮北市市直初中期末联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。

1．本试卷共150分，考试时间120分钟．
2．请将本试卷答案写在答题卡上指定位置，否则不计分．
一、单选题（共10题，每小题4分，满分40分）．
1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行判断即可．
【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选A．
3. 已知，则的值等于（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据比例的性质可得，然后将其代入，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
4. 如图，在中，为上一点，且，，，则（ ）
A. 6B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．易证，然后运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5. 已知的三边长分别为1，，，的两边长分别为和．若，则的第三边长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质：对应边相互成比例，即可得出答案．
【详解】解：设的第三边的长为，
①当时，
，
此情况不存在；
②当时，
，
解得：；
③当时，
，
此情况不存在，
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握对应边成比例是解题关键．
6. 某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据45度角的正切值为1即可求得锐角的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选：C．
7. 已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了两圆相交的性质，根据题意分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．能找出圆的圆心是解此题的关键．
【详解】解：分别以A、B圆心，以为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，

得以C为圆心，以为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
8. 如图，四边形内接于，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质；过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，设，证明，求得的值，即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则；
设，
则，；
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴；
故选：B．
10. 如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 的最大值为2D. 周长的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出直线解析式；设，则可得点H的坐标，从而可求得及其最大值；由已知可得，，由勾股定理得，周长为，因而可作出判断．
【详解】解：设直线解析式为，则有，解得，
∴直线解析式为；
设，则点H的坐标为，
∴，
配方得：，
当时，有最大值；
∵，，
∴；
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，故选项C错误；
∴由勾股定理得；
∵，
∴，由勾股定理得，
即
∴的最大值均为，
故选项A、B错误；
∵周长为，
∴当最大时，周长也最大，且最大值为：，
故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键．
二、填空题（共4题，每小题5分，满分20分）．
11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题关键．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
12. 已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为________．
【答案】32
【解析】
【分析】本题考查了成比例线段，根据，列式计算即可．
【详解】∵，，，是比例线段，其中，，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：32．
13. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
14. （1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为________．
图1
（2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为________．
图2
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，90度圆周角对的弦是直径，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．
（1）连接，由垂径定理得，由勾股定理即可求得半径；
（2）过点D作交于F，连接，过O作交于点G；首先证明，再证明；其次有，即为的直径，则由已知得，从而求得半径．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵为直径，且，
∴，
在中，由勾股定理得：；
故答案：5．
（2）如图，过点D作交于F，连接，过O作交于点G；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
即四边形是等腰梯形，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
即为的直径；
∴；
∵，
∴，
∴，
∴的半径为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分．满分16分）．
15. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．代入特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 某二次函数的图像的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算出a的值即可．
【详解】解：根据题意，设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
所以二次函数解析式为．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）．
17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为；
（2）做出绕点O逆时针旋转后的图形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换．
（1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到；
（2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到．
【小问1详解】
如图，为所求．
【小问2详解】
如图，为所求．
18. 如图，已知点D在边上，点E在外，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例，是解题的关键．
（1）根据得出，根据三角形的外角定理得出，则，即可求证；
（2）根据相似三角形对应边成比例，得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵， ，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴
∵，，，
∴
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）．
19. 小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数）
【答案】楼房的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得,再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴,
在中，，
∴．
答：楼房的高度约为．
20. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接，．
（1）求直线与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）8 （3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）利用分割法求的面积即可；
（3）图象法解不等式即可．
正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
把，代入一次函数解析式，得：
，解得：，
∴直线的解析式为：
【小问2详解】
∵，当时，，当时，，
∴，
∵，，
∴的面积为；
【小问3详解】
由图象可知，的解集为：．
六、（本题满分12分）．
21. 如图1，，，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，
（1）根据题意和圆周角定理得，即可证得结论成立；
（2）根据垂径定理得，则有，结合（1）得，即有，利用勾股定理可求得和即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
，
∴．
．
由（1）得，，
．
，，
，．
在中，由勾股定理得．
．
在中，．
．
七、（本题满分12分）．
22. 二次函数，其中为实数．
（1）判断点是否在该拋物线上．
（2）求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）．
（3）若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案）
【答案】（1）在 （2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入求解，即可判断；
（2）将利用配方法配成顶点式即可求解；
（3）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，可表达顶点的纵坐标，再求最小值．
【小问1详解】
解：当时，，
∴点在该拋物线上；
【小问2详解】
，
∴该二次函数顶点的纵坐标为；
【小问3详解】
将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线为，
则抛物线顶点纵坐标为，
∵，
∴，
故：所得抛物线顶点的纵坐标的最小值是．
故答案为：．
八、（本题满分14分）．
23. 如图，中，，，以为斜边在内部作等腰直角三角形，为边上的高，经过，的直线交于点．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据角度之间互余关系可知，进而可证，即可证明结论；
（2）设，则，，由（1）的结论知，可得，，进而可得；
（3）过点作的平行线分别交，于点，，可知，，由，可知为的中点，则，进而可知，故为的中点，设，由（2）的结论知，，易知，，得，由平行线分线段成比例可得，进而可得答案．
小问1详解】
证明：，，
，，
故，
又，
，
；
【小问2详解】
设，则，，
由（1）的结论知，
故，，
所以；
【小问3详解】
过点作的平行线分别交，于点，，
，，
，，
又，
为的中点，则，
∴，故为的中点，
设，由（2）的结论知，，
为的中点，
∴，，
所以，
，
，
，所以为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．