51，甘肃省武威市凉州区凉州区金山乡中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份51，甘肃省武威市凉州区凉州区金山乡中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. （x2+3）2＝9B. ax2+bx+c＝0C. x2+3＝0D. x2+ ＝4
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．
【详解】解：A．（x2+3）2＝9，未知数x的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程；
B．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；
C．x2+3＝0是一元二次方程；
D．x2+ ＝4不是整式方程，所以不是一元二次方程．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3. 一元二次方程，配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．
【详解】解：∵，
∴y2+y=，
则y2+y+=+，
即（y+）2=1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k＜﹣1D. k＜﹣1或k=0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5. 关于的方程的一个根是，则它的另一个根和的值分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将x1代入代入原方程即可求解m的值，从而求得另一个根即可．
【详解】将代入原方程得：，解得： ，
即原方程为：，即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解并准确计算是解题关键．
6. 如果一元二次方程x2+12x+27=0的两个根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2的值为（ ）
A. －6 B. －12 C. 12 D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程中两根之和等于-直接进行解答即可．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+12x+27=0的两个实根，
∴x1+x2=-12．
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，即x1+x2=-，x1•x2．
7. 某种药品原价为49元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. 49（1﹣x）2=49﹣25B. 49（1﹣2x）=25
C. 49（1﹣x）2=25D. 49（1﹣x2）=25
【答案】C
【解析】
【详解】第一次降价后的价格为49×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为49×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出方程是49（1﹣x）2=25．
故选：C．
【点睛】考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
8. 二次函数y＝3(x－1)2＋2图象的顶点坐标是（ ）
A. (2，1)B. (－2，－1)C. (－1，2)D. (1，2)
【答案】D
【解析】
【分析】由顶点式y=3（x-1）2+2可得顶点坐标为（1，2）．
【详解】解：∵y=3（x-1）2+2，
∴抛物线顶点为（1，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中顶点坐标为（h，k）．
9. 已知二次函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的两个解为（ ）．

A. ，3B. ，3C. 1，3D. 3，4
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，从函数的图象可知函数的对称轴及与x轴一个交点坐标，即可求解．
【详解】解：由图象可知：二次函数的对称轴是直线x=1，
函数与x轴的一个交点为（3，0），
则该函数与x轴的另一个交点横坐标为：1-（3-1）=-1，
∴交点为（3，0）和（-1，0），
∴方程的解应为：x=-1或x=3，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（ ）
A. y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B. y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C. y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D. y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【详解】解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有实数根，则 m 取值范围是____．
【答案】m≤2且m≠1
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有实数根，
∴∆＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，且m-1≠0，
解得m≤2且m≠1．
故答案为m≤2且m≠1．
12. 将方程化为的形式是______．
【答案】
【解析】
【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．
13. 已知方程的两根为和，且，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到=-1，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：根据题意得：a+b==-1，
解得：m=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
14. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是____．
【答案】25或36．
【解析】
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【详解】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得：
∴
∴
∴x-3=2或3．
答：这个两位数是25或36．
故答案为：25或36．
【点睛】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用，掌握一个两位数的表示及根据题意列方程是解题的关键．
15. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上方，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，然后代入求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象的顶点在x轴上方，
∴，
∴函数图像开口向上，
∴图像与x轴没有交点，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出．
16. 在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为，，抛物线与线段AB始终有交点，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】把点A (-1，0)代入y=-x2+2mx-m2-m+1，求出m的值，再把点B (1， 0)代入y=-x2+2mx-m2-m+1，求出m的值，即可求解．
【详解】解：当抛物线y=-x2+2mx-m2-m+1过点A(-1，0)时，
-1- 2m- m2- m+1 = 0，解得m1=0，m2=-3，
当抛物线y=-x2+2mx-m2-m+1过点B(1，0)时，
-1+2m-m2-m+1=0，解得m1=0，m2=1，
故答案为：-3≤m≤1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，做题的关键是把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
17. 抛物线的对称轴是______．
【答案】直线##x=2
【解析】
【分析】由二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为：直线；
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质进行判断．
18. 如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D到地面的距离都是1.6米，即米，米，米，则水柱的最大高度是______米.
【答案】
【解析】
【分析】设解析式为，由题意可知点D为（0，1.6），点C为（4，1.6），点A为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．
【详解】解：设解析式为，
由题意可知点D为（0，1.6），点C为（4，1.6），点A为（5，0），
∴，
解得，
∴解析式为：，
∴当时，y有最大值为.
∴水柱的最大高度是米.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键．
三、解方程（共1题；共8分）
19. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）原方程运用因式分解法求解即可；
（2）原方程运用公式法求解即可．
【详解】解：（1）
，
，
，
∴；
（2），
，
，
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答此题的关键．
四、解答题（共58分）
20. 若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，然后解关于的一元二次方程，结合一元二次方程的定义，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，
解得：，．
，即，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
21. 已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
【答案】，方程的另一个根为．
【解析】
【分析】把一个根代入方程即可求得k值，再把k值代入方程，解方程即可求得另一个根．
【详解】是一元二次方程的一个根，
，
解得，
则原方程为，
解得
则方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及根据解求参数．充分理解使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
22. 等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，求m的值．
【答案】m＝25或16
【解析】
【分析】等腰△ABC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．
当BC是底边时，AB=AC，则方程x2-10x+m=0有两个相等的实根，即△=0，即可得到关于m的方程，求得m的值；
当BC是腰时，则方程一定有一个解是x=8，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得另一边即底边，与m的值．
【详解】解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝﹣＝10，
当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，
∴x1x2＝25＝m，
当有两边的长都为8时，有8+x2＝10，
∴x2＝2，
m＝x1x2＝2×8＝16，
∴m＝25或16．
【点睛】本题考查了：1、一元二次方程的根与系数的关系；2、等腰三角形中有两边相等的性质．
23. 求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】顶点坐标为：（1，-4），对称轴为x=1.
【解析】
【分析】把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标与对称轴．
【详解】解：∵，
把二次函数化为顶点式为：；
∴顶点坐标为：（1，-4），
∴对称轴为x=1.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练把二次函数的一般式化为顶点式．
24. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的对称轴为，且它经过点，求该二次函数的解析式和顶点坐标．
【答案】解析式为，顶点坐标为（1，-4）
【解析】
【分析】先根据抛物线对称轴求出b，再利用待定系数法求出c即可求出函数解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，
解得：．
∵二次函数的图象过点．
∴，
结合，解得：．
∴二次函数的解析式为．
∴二次函数的顶点坐标为（1，-4）
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
25. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将两点的坐标代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可．
【详解】二次函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），
解得
这个二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握求待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
26. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的2倍，请利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
【答案】每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【解析】
【分析】设每个粽子定价为元时，由于每天的利润为800元，根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可．
【详解】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得
解得，
售价不能超过进价的2倍
．即．
．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．
27. 如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）请求出点的坐标及直线的表达式；
（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）的坐标分别为或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，特殊四边形问题，待定系数法求一次函数解析式；
（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
（2），则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入，即可求解；
（3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：设函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
解：如图所示，
设中点的坐标为
即
同理，可得
则中点，
设直线的表达式为：，
将点A坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：．
【小问3详解】
解：设点、点，
①当是平行四边形的一条边时，
当点在的下方时，
点向左平移个单位、向下平移个单位得到，
同样点向左平移个单位、向下平移个单位得到
即：
解得：
故点当点在点上方时，
同理可得点的坐标为
②当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：
解得：
故点的坐标分别为
综上，的坐标分别为或或．