2023-2024学年湖南省长沙市长沙县省示范学校高一上学期期末检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县省示范学校高一上学期期末检测数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x−1≤x≤2,x∈N， B=1，则∁AB=( )
A. 0,2B. −1,0,2
C. 2D. x−1≤x<1或1
2.函数fx=lgx+2x−5的零点所在的区间是
( )
A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4
3.“x>1”是“lg12(x+2)<0”的 ( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P2,y，且sinα=− 55，则y=( )
A. 1B. −1C. ±1D. 2
5.已知正数x,y满足x2+y=1，则1x+2y的最小值为
( )
A. 5B. 92C. 4D. 72
6.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}，则下列结论错误的是
( )
A. a<0
B. a+b+c>0
C. c>0
D. cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−13或x>1
7.已知fx=3a−2x−4a,x<1lg12x,x≥1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是
( )
A. −2,23B. −23,2C. 23,+∞D. −∞,−2
8.设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x−2)=f(x+2)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=(12)x−1，若在区间(−2,6)内关于x的方程f(x)−lga(x+2)=0(a>1)恰好有三个不同的实数根，则a的取值范围是
( )
A. (2,+∞)B. (1,2)C. (34,2)D. (34,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a∈{−1,1,2,3}，则使函数y=xa的值域为R，且为奇函数的a的值为
( )
A. −1B. 2C. 3D. 1
10.设a，b∈R，则下列结论正确的是
( )
A. 若a> b>0，则1a2<1b2B. 若a< b<0，则(a−1)2<(b−1)2
C. 若a+ b=2，则2a+2b≥4D. 若2a+1b>2b+1a，则a> b
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2<−1”
B. 函数fx=2lg4x与gx=2x的图象关于y=x对称
C. fx=ln1−x1+x为奇函数
D. 函数fx=x2−2x+5单调递增区间为−1,0，1,+∞
12.若函数fx同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有fx+f−x=0；(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有fx1−fx2x1−x2<0，则称函数fx为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是
( )
A. fx=x2B. fx=−x3
C. fx=x−1xD. fx=−x2,x≥0x2,x<0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.cs−17π3= _.
14.当a>0且a≠1时，函数y=ax−2+4的图象一定经过定点 ．
15.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120∘，OA=3OC=3，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是 _.
16.函数fx=Asinωx+φ+b的图象如图，则S=f0+f1+f2+⋅⋅⋅+f2020+f2021+f2022+f2023的值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(1)3−43−120+0.2512×−1 2−4；
(2)lg8+lg125lg 10lg0.1−−17−2+25634−eln2．
18.(本小题12分)
集合A=x||2x−1|≤7,B=x|2k−2(1)当k=2时，求A∪B；
(2)问题：已知______，求k的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.(若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分)
①A∪B=A；②A∩B=B；③A∩B=⌀．
19.(本小题12分)
已知函数fx=2 3sinxcsx+2cs2x−1+a(a为常数)．
(1)求fx的最小正周期和单调递增区间；
(2)若fx在0,π2上有最小值1，求a的值．
20.(本小题12分)
2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向，某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n(n≤16且n∈N∗)年内的总维修保养费用为C(n)=kn2+40n(k∈R)万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入．设到第n(n≤16且n∈N∗)年年底，该项目的纯利润(纯利润=累计收入−累计维修保养费一投资成本)为L(n)万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元．
(1)求实数k的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)到第几年年底，该项目年平均利润(平均利润=纯利润÷年数)最大？并求出最大值．
21.(本小题12分)
如图，AB为半圆的直径，AB=2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP=θ, 0∘<θ<90∘，将射线OP绕O逆时针旋转90∘到OQ，过P, Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
(1)建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P,Q两点的坐标；
(2)求四边形PQNM的面积的最大值．
22.(本小题12分)
若对定义域内任意x，都有fx+a>fxa>0，则称函数fx为“隔断”增函数，a称隔断距离．
(1)若fx=x3−2x,x∈R是“隔断”增函数，求隔断距离a的取值范围；
(2)若fx=3x2+kx,x∈−1,+∞，其中k∈R，且为“隔断”增函数，隔断距离为2，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】利用集合的补集运算计算即可．
【详解】因为集合A=x−1≤x≤2,x∈N=0,1,2，
所以∁AB=0,2．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
先判断单调性，再根据零点存在性定理将端点值代入，即可判断零点所在区间．
【解答】
解：由题知fx=lgx+2x−5，
由于y=lgx,y=2x−5均为单调递增，
故fx在0,+∞上单调递增，
∵f(1)=−3<0,f(2)=lg 2−1<0,f(3)=lg 3+1>0，
根据零点存在性定理，
∴fx的零点在区间2,3内.
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【详解】试题分析：lg12(x+2)<0⇒x+2>1⇒x>−1，故正确答案是充分不必要条件，故选 B．
考点：充分必要条件．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可．
【详解】由题意得y 22+y2=− 55，解得y=−1，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】首先1x+2y乘以x2+y，然后根据基本不等式求解；
【详解】因为x2+y=1，
则1x+2yx2+y=52+yx+xy≥52+2 yx⋅xy=92，
当且仅当yx=xy，即x=y=23时取等号，
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据二次不等式的解集可得对应二次函数的开口，即可判断A；由已知可得f1>0，f0>0可判断BC；根据二次不等式可得对应方程的根，利用韦达定理可解cx2−bx+a<0的解集，判断D．
【详解】不等式ax2+bx+c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}，则函数fx=ax2+bx+c开口向下，故a<0， A正确；
不等式ax2+bx+c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}，则对于函数fx=ax2+bx+c，有f1=a+b+c>0，f0=c>0，B，C正确；
不等式ax2+bx+c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}，即方程ax2+bx+c=0的解为3,−1，
则−ba=3−1ca=−1×3,∴b=−2ac=−3a且a<0，
∴cx2−bx+a<0即为−3ax2+2ax+a<0，
∴3x2−2x−1<0，解得−13故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据x≥1的解析式fx=lg12x判断出fx在R上为减函数，从而得3a−2<0−a−2≥0，求解即可．
【详解】解：因为当x≥1时，fx=lg12x为减函数，
又因为fx在R上为单调函数，
所以fx只能为单调递减函数，
当x<1时，一次函数fx=3a−2x−4a单调递减，
当x≥1时，指数函数fx=lg12x，
所以将x=1代入得：f1=lg121=0，
又因为fx在R上为单调递减函数，
所以3a−2<0−a−2≥0,
解得：a≤−2，
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】利用已知及奇偶性求f(x)的周期和解析式，根据指对数性质画出f(x)与g(x)=lga(x+2)在−2,6内的图像，由交点情况确定参数范围．
【详解】∵对x∈R都有fx−2=fx+2，
∴f(x+4)=f(x)，即f(x)的周期为4，
∵当x∈−2,0时，fx=12x−1，
∴当x∈[0,2]时，−x∈[−2,0]则f(−x)=(12)−x−1=2x−1，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈[0,2]时f(x)=f(−x)=2x−1，
∵fx−lgax+2=0(a>1)，
∴f(x)=lga(x+2)，
∴作出在区间−2,6内f(x)的图像如下：
∵在−2,6内关于x的方程fx−lgax+2=0(a>1)恰好有三个不同的实数根，
∴f(x)与g(x)=lga(x+2)在−2,6内有三个不同的交点，
∴只需满足g(x)在A(2,3)的下方，g(x)过B(6,2)或在其上方，即{lga(2+2)<3lga(6+2)≥3,
∴34故选：D
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．
根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．
【解答】
解：当a=−1时，y=x−1=1x，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件．
当a=1时，y=x，为奇函数，值域为R，满足条件．
当a=2时，y=x2，为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件．
当a=3时，y=x3，为奇函数，值域为R，满足条件．
故选：CD．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用作差法比较大小，即可判断AB；利用基本不等式，即可判断C；利用特殊值，即可判断D，从而得解．
【解答】
解：因为：a>b>0，所以b+a>0,b−a<0，
则1a2−1b2=b2−a2a2b2=b+ab−aa2b2<0，
所以1a2<1b2，故A正确;
(a−1)2−(b−1)2=a+b−2a−b，
因为a0，
故(a−1)2>(b−1)2，故B错误;
因为a,b∈R，2a>0,2b>0,a+b=2，
所以2a+2b⩾2 2a×2b=2 2a+b=4，当且仅当a=b=1时等号成立，故C正确;
因为2a+1b>2b+1a，所以2a−1a>2b−1b，
设f(x)=2x−1x (x≠0)，有f−1>f14，而 −1<14，故D错误．
故选AC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】对于A，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C，根据奇函数定义判断即可；对于D，根据二次函数单调性判断即可；
【详解】因为命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2≤−1”，故 A错误；
函数fx=2lg4x=lg2x与gx=2x互为反函数，
故其图象关于y=x对称，故 B正确；
因为fx=ln1−x1+x，可求得定义域为−1,1关于原点对称，
又f−x=ln1+x1−x=−ln1−x1+x=−fx，故函数为奇函数，故 C正确；
因为f(x)=x2−2x+5=x2−2x+5,x≥0x2+2x+5,x<0,
所以函数的单调递增区间为−1,0，和1,+∞，故 D正确．
故选：BCD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性奇偶性，属于中档题．
满足(1)可得，fx是奇函数，满足(2)可得，fx在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果．
【解答】
解：由(1)对于定义域内的任意x，恒有fx+f−x=0，即f−x=−fx，所以fx是奇函数；
由(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有fx1−fx2x1−x2<0，所以x1fx2或x1>x2fx1对于A：由fx=x2可得f−x=−x2=x2=fx，所以fx=x2是偶函数，故不是“理想函数”；
对于B：由fx=−x3得f−x=−−x3=x3=−fx，所以fx=−x3是奇函数，又y=x3在R上是增函数，所以fx=−x3在R上是减函数，所以是“理想函数”；
对于C：由fx=x−1x得f−x=−x+1x=−x−1x=−fx，所以fx=x−1x是奇函数；又y=x在定义域上增函数，y=1x在−∞,0和0,+∞上是减函数，所以fx=x−1x在−∞,0和0,+∞上都是增函数，故不是“理想函数”；
对于D：fx=−x2,x≥0x2,x<0=−xx,f(−x)=x|x|=−f(x),
所以fx=−x2,x≥0x2,x<0是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)都是减函数，且在x=0处连续，所以fx=−x2,x≥0x2,x<0在R上是减函数，所以是“理想函数”．
故选：BD．
13.【答案】12
【解析】【分析】由于−17π3=π3−6π，进而结合诱导公式求解即可．
【详解】由诱导公式可得cs−17π3=csπ3−6π=csπ3=12．
故答案为：12．
14.【答案】(2,5)
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．
利用指数函数的性质即可求解．
【解答】
解：当a>0且a≠1时，令x−2=0得，x=2，此时y=a0+4=1+4=5，
∴函数y=ax−2+4的图象一定经过定点(2,5)．
故答案为：(2,5)．
15.【答案】8π3 或83π
【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可．
【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是12×2π3×32=3π，
扇形COD的面积是12×2π3×12=13π．
则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是3π−13π=8π3．
故答案为：8π3
16.【答案】2024
【解析】【分析】根据图象可确定fx最小正周期T=4，由此可得S=506×f0+f1+f2+f3，由此可求得结果．
【详解】由图象可知：fx最小正周期T=4，f0+f1+f2+f3=4，
∴S=506×f0+f1+f2+f3=506×4=2024．
故答案为：2024．
17.【答案】(1)
解：原式=−4−1+12×4=−3．
(2)
解：原式=lg100012×−1−49+4434−2=−6−49+64−2=7．

【解析】【分析】(1)利用指数的运算性质化简可得结果；
(2)利用对数的运算性质化简可得结果．
18.【答案】(1)
由题知，A=x||2x−1|≤7,B=x|2k−2因为|2x−1|≤7，解得−3≤x≤4，
所以A=x|−3≤x≤4，
当k=2时，B=x|2所以A∪B=x|−3≤x<5．
(2)
选①或②，由题知B⊆A，
由(1)得，A=x|−3≤x≤4，
由题得，B=x|2k−2当B=⌀时，2k−2≥k+3，解得k≥5，
当B≠⌀时，k<5−3≤2k−2综上，k≥5或−12≤k≤1．
选③，
当B=⌀时，2k−2≥k+3，解得k≥5，
当B≠⌀时，k<52k−2≥4，或k<5k+3≤−3，解得3≤k<5，或k≤−6，
综上，k≥3或k≤−6。

【解析】【分析】(1)先解得A=x|−3≤x≤4，再根据集合的并集计算即可；(2)分B=⌀，B≠⌀两种情况解决即可．
19.【答案】【详解】解：已知函数fx=2 3sinxcsx+2cs2x−1+a，
则f(x)= 3sin2x+cs2x+a，
化简可得：f(x)=2( 32sin2x+12cs2x)+a=2sin(2x+π6)+a，
(1)最小正周期为：T=π，
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
∴f(x)单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；
(2)由题意：0≤x≤π2时，π6≤2x+π6≤76π，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
∴当x=π2时，f(x)最小值为a−1=1，
解得：a=2，
故f(x)在[0,π2]上有最小值1，a的值为2．

【解析】【分析】(1)利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得f(x)的单调递增区间，利用周期公式可得最小正周期；
(2)根据x∈[0,π2]上，求出2x+π6的范围，结合三角函数的性质可得最小值，即可求解a的值．
本题考查根据三角函数的图象和性质求出函数的单调性和最值，涉及利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式进行化简，考查运算能力．
20.【答案】解：(1)由题意可知L(n)=200n−280−kn2−40n=−kn2+160n−280，
∵L(3)=128，
∴−9k+160×3−280=128，
∴k=8．
∴L(n)=−8n2+160n−280，
∴−8n2+160n−280=232，
∴n2−20n+64=0，
∴n=4或n=16；
答：该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)年平均利润为：−8n2+160n−280n=−8n−280n+160=−8(n+35n)+160≤−16 n⋅35n+160=−16 35+160，
当且仅当n=35n，即n= 35时取等号，又因为n为正整数，
所以当n=6时，取得最大值为−8×(6+356)+160=1963．
故当n=6时年平均利润最大，此时最大值为1963．
【解析】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于中档题．
(1)利用题中的条件列出纯利润的代数式，由已知求出k，再令L(n)=232，即可解出答案；
(2)列出平均利润，利用基本不等式，即可得到答案．
21.【答案】解：(1)如图，以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，
∵ ∠BOP=θ，圆的半径为1，
∴ 点P坐标为(csθ,sinθ)，
点Q的坐标为(cs(θ+π2),sin(θ+π2))，
∴ Q坐标为(−sinθ,csθ)．
(2)四边形PQNM的面积S=12(MP+NQ)×MN=12(sinθ+csθ)×(sinθ+csθ)
∴S=12(1+2sinθcsθ)
=12(1+sin2θ)
∵ 0∘<θ<90∘，∴ 0∘<2θ<180∘
∴ 当2θ=90∘时，即θ=45∘时， Smax=1，
∴ 四边形PQNM的面积的最大值为1．

【解析】【分析】(1)如图，以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示P,Q两点的坐标；
(2)把四边形PQNM的面积表示出θ的函数，利用三角函数求最值即可．
22.【答案】(1)
fx+a−fx=3ax2+3a2x+a3−2a，因为fx是“隔断”增函数，
所以3ax2+3a2x+a3−2a>0恒成立，由a>0，所以Δ=9a4−12aa3−2a<0⇒a2>8⇒a>2 2；
所以隔断距离a的取值范围是2 2,+∞；
(2)
因为fx=3x2+kx,x∈−1,+∞，其中k∈R，且为“隔断”增函数，隔断距离为2，即x>−1时，
3x+22+kk+2>3x2+kx恒成立，所以x+22+kx+2>x2+kx，
当x≥0时，即4x+4+2k>0⇒k>−2，
当−1x2−kx，所以x+1k+2>0⇒k>−2，
综上所述，实数k的取值范围是−2,+∞．

【解析】【分析】(1)根据题意转化为一元二次不等式恒成立问题，利用根的判别式进行求解；(2)根据题意转化为x+22+kx+2>x2+kx，分x≥0与−1

相关试卷

湖南省长沙市长沙县省示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题： 这是一份湖南省长沙市长沙县省示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题，共11页。试卷主要包含了经过两点的直线的倾斜角为，在数列中，若，则其公差，拋物线的焦点坐标为，关于函数说法正确的是，若，则，下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

34，湖南省长沙市长沙县市示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷： 这是一份34，湖南省长沙市长沙县市示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷，共8页。

31，湖南省长沙市长沙县省示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题： 这是一份31，湖南省长沙市长沙县省示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题，共8页。