江苏省南通市崇川区田家初级炳中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试卷+

这是一份江苏省南通市崇川区田家初级炳中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试卷+，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.把抛物线y=x2向右平移1个单位，然后向下平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A. y=(x+1)2+5B. y=(x−1)2+5C. y=(x−1)2−5D. y=(x+1)2−5
2.如果4x=3y，那么下列结论正确的是( )
A. x3=y4B. x4=y3C. xy=43D. x=4, y=3
3.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( )
A. 12sinα米
B. 12csα米
C. 12sinα米
D. 12csα米
4.下列命题正确的是( )
A. 三个点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C. 圆内接平行四边形一定是矩形
D. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
5.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为
( )
A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°
6.如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P.则小虫爬行的最短路径是( )
A. 3
B. 3 5
C. 3 3
D. 4
7.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏.若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是( )
A. 13B. 16C. 25D. 19
8.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图2是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数的图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法不正确的是( )
A. I与R的函数关系式是I=220R(R>0)
B. 当I=0.5时，R=440
C. 当R>1000时，I>0.22
D. 当8809.如图，已知△ABC．
(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
(2)分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
(3)作射线AP交BC于点D．
(4)分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
(5)作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF=2，CE=3，BD=32，则CD的长是( )
A. 910B. 1C. 94D. 4
10.当−2≤x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为( )
A. −74B. 3或− 3C. 2或− 3D. 2或− 3或−74
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知⊙O的半径为6，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙O的位置关系是______．
12.对于反比例函数y=6x，当x>2时，y的取值范围是______．
13.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，盒子中白色球的个数可能是______．
14.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为______米.
15.如图，在平面直角坐标系中，AB=3 5，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=2，则点C的坐标为______．
16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如下表所示：
则方程ax2+bx+1.37=0的根是______．
17.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=2 2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好过MN的中点，则MN的长为______．
18.如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB=90°，∠ABC=30°，连接OC，若⊙O的半径是6，则OC长的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算下列各题：
(1)sin230°−cs45°⋅tan60°−tan45°．
(2)若α是锐角，sin(α+15°)= 32，求 8−4csα−(π−3.14)0+tanα+(13)−1的值．
20.(本小题8分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是(0,0)．
(1)以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′与△ABC相似比为2：1，且△A′B′C′在第二象限；
(2)在上面所画的图形中，若线段AC上有一点D，它的横坐标为k，点D在A′C′上的对应点D′的横坐标为−2−k，则k= ______．
21.(本小题8分)
2022年3月23日15：40，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约45分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验.为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量.学校教务处决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A.书写观后感；B.演示科学实验；C.绘制手抄报；D.开展主题班会.王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求：
(1)小强从中随机抽取一张卡片是“书写观后感”的概率是______．
(2)由九年级一名学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验(B)另一个是开展主题班会(D)的概率．
22.(本小题8分)
如图，反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2,4)，点B的坐标为(n,1)．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
(2)求不等式kx+b−mx>0的解集(直接写出答案)；
(3)线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AB1，求点B经过的路径长．
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
(1)求证：FD是⊙O的一条切线；
(2)若AB=15，BC=9，求DF的长．
24.(本小题8分)
如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为43米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
(2)记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1−y2的最大值；
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
25.(本小题8分)
四边形ABCD为正方形，边长为6，点M为对角线BD上一动点(不与点B，D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交射线AB于点N．
(1)如图1，求证：MC=MN；
(2)如图2，作射线CN交射线DB于点P．
①当点N在边AB上时，设BN的长为x，△CMN的面积为y，求y关于x的函数解析式；
②当BN=3时，请直接写出MP的长．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点M(x1,y1)，给出如下定义：当点N(x2,y2)，满足x1⋅x2=y1⋅y2时，称点N是点M的等积点．已知点M(1,2)．
(1)在Q1(6,3)，Q2(3,−1)，Q3(−4,−2)中，点M的等积点是______；
(2)如果点M的等积点N在双曲线
上，求点N的坐标；
(3)已知点P(6,2)，Q(2,a)，⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=x2向右平移1个单位，然后向下平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为y=(x−1)2−5，
故选：C．
根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【解答】
解：A.若x3=y4，等式两边同时乘以12得：4x=3y，A项正确，
B.若x4=y3，等式两边同时乘以12得：3x=4y，B项错误，
C.若xy=43，等式两边同时乘以3y得：3x=4y，C项错误，
D.若x=4，y=3，则3x=4y，D项错误，
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC中，sinα=BCAB，
∵AB=12米，
∴BC=12sinα(米)．
故选：A．
直接根据∠A的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、圆内接平行四边形一定是矩形正确，符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦相等则所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BCD=40°，
∴∠A=∠BCD=40°，
∴∠ABD=90°−40°=50°．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则：nπr180=6π，其中r=6
∴n=180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点D为AC的中点，
在Rt△ABD中，AB=6，AD=3，
∴BD= AB2+AD2= 62+32=3 5(米)
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3 5米，
故选：B．
将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程．
本题考查了平面展开−最短路径问题，用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
7.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是39=13，
故选：A．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】C
【解析】解：设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，
∵该图象经过点P(880,0.25)，
∴U880=0.25，
∴U=220，
∴I与R的函数关系式是I=220R(R>0)，故选项A正确不符合题意；
当I=0.5时，R=444，故选项B正确，不符合题意；
∵反比例函数I=UR(R>0)I随R的增大而减小，
当R>1000时，I<0.22，故选项C错误，符合题意；
∵R=0.25时，I=880，当R=1000时，I=0.22，
∴当880故选：C．
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠FAD=∠EDA，
∴DE/​/AF，
同理可得AE/​/DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA=ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE=AF=2，
∵DE//AB，
∴CDDB=CEEA，即CD32=32，
∴CD=94．
故选：C．
利用作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，所以∠EAD=∠FAD，EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例定理计算CD的长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．
10.【答案】C
【解析】解：二次函数对称轴为直线x=m，
①m<−2时，x=−2取得最大值，−(−2−m)2+m2+1=4，
解得m=−74，不合题意，舍去；
②−2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得m=± 3，
∵m= 3不满足−2≤m≤1的范围，
∴m=− 3；
③m>1时，x=1取得最大值，−(1−m)2+m2+1=4，
解得m=2．
综上所述，m=2或− 3时，二次函数有最大值4．
故选：C．
求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<−2，−2≤m≤1，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．
11.【答案】点A在圆内
【解析】解：∵OA=5，R=6，
∴OA∴点A在圆内，
故答案为：点A在圆内．
根据当d本题考查的是点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d12.【答案】0【解析】解：当x=2时，y=3，
∵反比例函数y=6x中，k=6>0，
∴在第一象限内y随x的增大而减小，
∴0故答案为：0先求出x=2时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=kx(k≠0)中，当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
13.【答案】18
【解析】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：60×(1−30%−40%)=60×30%=18(个)，
故答案为：18．
根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
14.【答案】127
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥BE，交AF于点M，由于3FD=2FA，可是AF=x米，则DF=23x米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF/​/CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴AFBE=PMPQ，
即x6=1.6−23x1.6．
解得x=127，
即AF=127米，
故答案为：127．
通过作高，利用相似三角形的判定和性质，列比例解答即可．
本题考查视角与盲区，掌握相似三角形的判定和性质以及矩形的性质是正确解答的前提．
15.【答案】(−2,4)
【解析】解：∵∠C=∠C，
∵OC2=BC⋅AC，
即OCBC=ACOC，
∴△OBC∽△OAC，
∴∠A=∠COB，
∵α+∠COB=90°，∠A+∠ABO=90°，
∴∠ABO=α，
∵tanα=2，
∴tan∠ABO=OAOB=2，
∴OA=2OB，
∵AB=3 5，
由勾股定理可得：OA2+OB2=AB2，
即4OB2+OB2=(3 5)2，
解得：OB=3，
∴OA=6．
∴tanA=OBOA=12．
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵tanα=2，
∴设C(−m,2m)，m>0，
∴AD=6+m，
∵tan∠A=12，
∴CDAD=12，
∴2m6+m=12，
解得：m=2，
经检验，m=2是原方程的解．
∴点C坐标为：(−2,4)．
故答案为：(−2,4)．
根据相似三角形的判定和性质得出∠A=∠COB，进而得出∠ABO=α，利用tanα=2，得出OA=2OB，利用勾股定理解得OB，从而可知OA的长，进而可知tan∠A的值，由tanα=2，设C(−m,2m)，m>0，tan∠A的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标．
本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．
16.【答案】x1= 6，x2=4− 6
【解析】解：由表格可知：c=0.37，对称轴为x=2，
∴ax2+bx+1.37=ax2+bx+c+1=0，
∴ax2+bx+1.37=0可整理为ax2+bx+c=−1，
由表格可知当y=−1时x= 6，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−1的一个交点坐标为( 6,−1)，
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线y=−1的另一交点坐标为(4− 6,−1)，
∴ax2+bx+c=−1的根是x1= 6，x2=4− 6．
即ax2+bx+1.37=0的根是x1= 6，x2=4− 6．
故答案为：x1= 6，x2=4− 6．
由表格可知c=0.37，对称轴为x=2，将ax2+bx+1.37=0整理为ax2+bx+c=−1，根据表格可得抛物线与直线y=−1的交点，再由抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
17.【答案】 3
【解析】解：连接OB，交MN于点Q，
∵将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，
∴QB=QO，OM=MB，
设B(a,b)，
∴Q(12a,12b)，OA=a，AB=b，
∵AB/​/CO，
∴∠ABQ=∠NOQ，
∵∠MQB=∠NQO，
而QB=QO，
∴△BQM≌△OQN，
∴QM=QN，即点Q是MN的中点，
∵S矩形OABC=2 2，
∴S矩形OABC=ab=2 2，
∵Q(12a,12b)在y=kx(k≠0)上，
∴k=14ab= 22，
∴S△AMO=12k= 24，
∵S△ABO=12S矩形OABC= 2，
∴S△AMO=14S△ABO，
∴AM=14AB=14b，
∴OM=BM=AB−AM=34b，
∵在△AMO中OM2=AM2+OA2，
∴(34b)2=(14b)2+a2，解得a= 22b或a=− 22b(负数关系舍去)，
∵S矩形OABC=ab=2 2，
∴b=2,a= 2，
∴M(12, 2)，N(32,0)，
∴MN= (12−32)2+( 2)2= 3，
故答案为： 3．
连接OB，交MN于点Q，首先证明点Q是MN的中点，根据折叠可得Q是OB中点，OM=MB，设B(a,b)，则Q(12a,12b)，S矩形OABC=ab=2 2，再由Q(12a,12b)在y=kx(k≠0)上可得k=14ab= 22，S△AMO=14S△ABO求得AM=14AB=14b，再在△AMO中根据勾股定理求出a= 22b即可求出a、b的值，进而求出M、N的坐标，最后求出MN的长．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，两点的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大．
18.【答案】3 3−3
【解析】解：如图，延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AO=DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA=6，
∴AD=6，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∵EO⊥AD，
∴AE=DE，
∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，
在Rt△DEO中，DO=6，DE=3，
∴EO=3 3，
∴CO的最小值为3 3−3，
故答案为：3 3−3．
延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，则△AOD是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，则OC的最小值为EO−DE，再求解即可．
本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
19.【答案】解：(1)sin230°−cs45°⋅tan60°−tan45°
=(12)2− 22× 3−1
=14− 62−1
=−3+2 64；
(2)∵sin(α+15°)= 32，
∴α+15°=60°，
∴α=45°，
8−4csα−(π−3.14)0+tanα+(13)−1
= 8−4cs45°−(π−3.14)0+tan45°+(13)−1
=2 2−4× 22−1+1+3
=3．
【解析】(1)先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
(2)根据特殊角锐角三角函数值，可得α=45°，再根据二次根式，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解．
本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】2
【解析】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)由题意可得：−2k=−2−k，
解得：k=2
故答案为：2．
(1)直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置，进而得出答案；
(2)利用位似图形的性质以及对应点的坐标关系得出答案．
此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)小强从中随机抽取一张卡片是“书写观后感”的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验(B)另一个是开展主题班会(D)的结果有2种，
∴九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验(B)另一个是开展主题班会(D)的概率为212=16．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验(B)另一个是开展主题班会(D)的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)把点A的坐标为(2,4)，代入反比例函数y=mx得，4=m2，解得m=8，
∴反比例函数的关系式为y=8x，
点B的坐标为(n,1)代入y=8x得，n=8，
∴反比例函数的关系式为y=8x，n=8；
(2)根据两个函数的图象，可得，
不等式kx+b−mx>0的解集为：2(3)∵线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AB1，
∴点B经过的路径是以A为圆心，AB长为半径的圆上圆心角为90°的一条弧，
∵点A的坐标为(2,4)，点B的坐标为(8,1)，
∴AB= (2−8)2+(4−1)2=3 5，
∴点B经过的路径长为90°×2π⋅AB360∘=90°×2π⋅3 5360°=3 5π2．
【解析】(1)把点A的坐标为(2,4)，代入可求出反比例函数的关系式，进而确定点B的坐标，得出答案；
(2)根据图象直接得出答案；
(3)直接用弧长公式求点B经过的路径长．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质、弧长公式等知识，把点的坐标代入是常用的方法，旋转前后线段之间的关系以及线段与坐标之间的相互转化是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD/​/AC(同位角相等，两直线平行)，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=15，BC=9，
∴AC= AB2−BC2=12，
∵DO⊥AC，
∴AE=EC=6，AO=7.5，
∴EO=4.5，
∵AE/​/FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴AEFD=EODO，
∴6FD=4.57.5
解得：FD=10．
【解析】(1)利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
(2)利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知：抛物线的顶点为(12,7)，
设水流形成的抛物线为y=a(x−12)2+7，
将点(0,1)代入可得a=−124，
∴抛物线为y=−124(x−12)2+7，
当x=18时，y=−124×36+7=5.5>43+3，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
(2)由题意可知A点坐标为(18,3)，
则直线OA为y=16x，
∴y=−124(x−12)2+7−16x=−124(x−10)2+316，
答：y1−y2的最大值为316；
(3)设喷射架向后平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为y=−124(x−12+m)2+7，
将点B(18,43+3)代入得：m=2或m=−14(舍去)，
答：喷射架应向后移动2米．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x−12)2+7，用待定系数法求得解析式；
(2)先求出直线OA的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
(3)设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为y=−124(x−12+m)2+7，将点B的坐标代入可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)如图1，过M分别作ME/​/AB交BC于E，MF/​/BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°，
∴ME=BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME=MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90°，
∵∠FME=90°，
∴∠CME=∠FMN，
∴△MFN≌△MEC(ASA)，
∴MN=MC；
(2)①由(1)可知：△MFN≌△MEC，
∴CM=MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CN= 2CM，
∴S△CMN=12CM2=14CN2，
∵CN2=BC2+BN2=36+x2，
∴y=14x2+9；
②当点N在线段AB上时，如图2，过点M作MF⊥AB于F，

由①可知：CN2=BC2+BN2=36+9=45，
又∵2CM2=CN2，
∴CM2=MN2=452，
∵∠DBA=45°，MF⊥AB，
∴MF=FB，
∴MF2+(MF−3)2=MN2，
∴MF=FB=92，MF=−32(舍去)，
∴MB=9 22，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=6，BD= 2AD=6 2，AB/​/CD，
∴DM=3 22，
∵AB/​/CD，
∴△BPN∽△DPC，
∴BPDP=BNCD=36=12，
∴DP=DB×21+2=6 2×23=4 2，
∴MP=DP−DM=5 22；
当点N在线段AB的延长线上时，如图3，

同理可求MB=3 22，
∵AB/​/CD，
∴△BPN∽△DPC，
∴BPDP=BNCD=36=12，
∴BPBP+6 2=12，
∴BP=6 2，
∴MP=MB+BP=15 22．
综上所述：MP的值为5 22和15 22．
【解析】(1)作ME/​/AB、MF/​/BC，证四边形BEMF是正方形得ME=MF，再证∠CME=∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
(2)①由全等三角形的性质可得CM=MN，可证△CMN是等腰直角三角形，可得CN= 2CM，由勾股定理和三角形的面积公式可求解；
②分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求BM的长，由相似三角形的性质可求BP的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26.【答案】Q1，Q3
【解析】解：(1)∵1×6=2×3，
∴Q1(6,3)是点M(1,2)的等积点；
∵1×3≠2×(−1)，
∴Q2(3,−1)不是点M(1,2)的等积点；
∵1×(−4)=(−2)×2，
∴Q3(−4,−2)是点M(1,2)的等积点，
故答案为：Q1，Q3；
(2)设N(m,)，
∵点N是点M(1,2)的等积点，
∴m×1=×2，
解得m=2或m=−2，
∴N(2,1)或(−2,−1)；
(3)∵点M(1,2)，P(6,2)，且点A在线段MP上，
∴点A的纵坐标为2，
设A(t,2)(1≤t≤6)，点A的等积点H(x,y)，
∴tx=2y，即y=x，
∴点A的等积点H在直线y=x上，
∴在⊙Q上存在点A的等积点即是⊙Q与直线y=x有公共点，
当t=1，即A与M重合时，H在直线y=x上，如图：
设H(p,p)，
∵Q(2,a)，HQ=1，
∴(p−2)2+(p−a)2=1，
化简整理得：p2−(a+4)p+a2+3=0，
∵⊙Q与直线y=x有公共点，
∴关于p的一元二次方程p2−(a+4)p+a2+3=0总有实数根，
∴[−(a+4)]2−4×(a2+3)≥0，
解得2− 52≤a≤2+ 52，
当t=6，即A与P重合时，H在直线y=3x上，如图：
设H(q,3q)，
∵Q(2,a)，HQ=1，
∴(q−2)2+(3q−a)2=1，
化简整理得：10q2−(6a+4)p+a2+3=0，
∵⊙Q与直线y=3x有公共点，
∴关于q的一元二次方程10q2−(6a+4)p+a2+3=0总有实数根，
∴[−(6a+4)]2−4×10(a2+3)≥0，
解得6− 10≤a≤6+ 10，
∴在⊙Q上存在点A的等积点，a的范围是2− 52≤a≤6+ 10．
(1)根据定义通过计算可知：点Q1，Q3是点M的等积点；
(2)设N(m,)，由点N是点M(1,2)的等积点，有m×1=×2，解方程即可得点N的坐标；
(3)设A(t,2)(1≤t≤6)，点A的等积点H(x,y)，有tx=2y，即y=x，故在⊙Q上存在点A的等积点即是⊙Q与直线y=x有公共点，分两种情况：当t=1，设H(p,p)，可得(p−2)2+(p−a)2=1，由一元二次方程根的判别式得[−(a+4)]2−4×(a2+3)≥0，即得2− 52≤a≤2+ 52，当t=6，同理可得[−(6a+4)]2−4×10(a2+3)≥0，从而6− 10≤a≤6+ 10，故a的范围是2− 52≤a≤6+ 10．
本题考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、圆的性质及应用等知识与方法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义，此题难度较大，属于考试压轴题．x
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6
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y
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