四川省成都市树德中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学（文）试题

这是一份四川省成都市树德中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学（文）试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2. 已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A.A，B，C，D四点中必有三点共线 B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行
5. 双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
6.执行如图所示的程序框图，其中表示在区间上随机产生一个实数，输出数对的概率为（ ）
A．B．C．D．
7.已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上 B． 一个离心率为的双曲线上
C． 一个离心率为的椭圆上 D． 一个离心率为的双曲线上
8. 已知函数f(x)＝ex－eq \f(1,ex)，g(x)＝sin x＋eq \f(1,6)x3－ax.对于任意x1，x2，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,gx1－gx2)>0，则实数a的取值范围是( )
A．a<0 B．a≤0C．a<1 D．a≤1
9.已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程eq \(z,\s\up6(^))＝－4x＋eq \(a,\s\up6(^))，则c等于( )
A．－4 B．e－4 C．109 D．e109
10. 函数在上的所有零点之和为( )
A.eq \f(5π,3)B.eq \f(10π,3) C．5π D.eq \f(20π,3)
11. 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
12.要在棱长为的正方体盒子内部放一种圆柱体物件，且此物件恰好以盒子体对角线所在直线为轴，则能放下这样的圆柱体物件的侧面积最大值是（）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 平面向量，若的夹角为钝角，则t的取值范围是________.
14. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙
说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
15.已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为________．
16.若不等式xex－a≥ln x＋x－1恒成立，则实数a的最大值为________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. （12分）如图，在四棱锥中，，，，，与的交于点，平面，记线段的中点为.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19. （12分）某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.参考数据：，.
20. （12分）已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围.
21. （12分）已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点是半椭圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4─4：坐标系与参数方程
22.(10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsin(θ−)= QUOTE ．
(1)写出直线的参数方程；
(2)设直线与圆ρ=2相交于A，B两点，求点P(1，1)到A，B两点的距离之积．
选修4─5：不等式选讲
23.(10分)已知关于的不等式的解集为
（1）求实数的值；
（2）求的最大值.
成都树德中学高2021级高三下入学考试试题
文科数学参考答案
选择题：BDCBC CADDD CD
填空题：13. 14.1和3 15..eq \f(56,5) 16.2
解答题
17.（Ⅰ）当时， ，
当时由可得
，
两式相减得，即，————4分
且上式对于时成立．————5分
所以数列的通项公式，————6分
（Ⅱ），————10分
所以
…————12分
18.（1）设是的中点，连接，，由于，是的中点，
所以，，
由于，，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则，————4分
又平面，平面，所以平；————6分
（2）由于是的中点，所以到底面的距离是的一半，即三棱锥的高为，
又，
由于，，所以，所以，所以，
所以，
所以————12分
19.（1），，————2分
因为，，所以，————4分
，故y关于x的线性回归方程为．————6分
当时，，————8分
则，故可以认为所得到的线性回归方程是理想的．————12分
20.（1）当，时，，
∴，————2分
∵，令，则或，
令，则，
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为；————4分
（2）证明：由题可得，
∵函数有两个不同的极值点，，
∴方程有两个不相等的正实数根，————5分
于是有解得．————6分
∵不等式有解，∴．
∴
．————10分
设，，
故在上单调递增，故，
∴．故实数的取值范围为．————12分
21.（Ⅰ）由题可知，抛物线的准线为，则有得，
所以.————4分
（Ⅱ）设点坐标为，且满足.
由题意可知切线斜率不会为0，即设切线为，
代入得，
由可得①，
设切点，抛物线的上半部曲线函数关系式为，则，
故，将其代入①可得②.
设切线为，切点，同理可得③.
由②③可知是方程的两根，所以，，
又，，所以代入②③可知，是的两点，即直线方程为————8分（由代半留半得出切点弦方程扣2分）
故
又因为且，所以.————10分
令，由二次函数性质可知，其在上单调递减，故，
所以————12分
22.因为直线的极坐标方程可化为为.
所以直线的普通方程是．————3分
参数方程为（t为参数）————4分
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别.————6分
圆化为直角坐标系的方程． 以直线的参数方程代入圆的方程整理得到 ①————8分
因为和是方程①的解，从而＝－2．所以|PA|·|PB|= ||＝|－2|＝2．————10分
23.（1）由，得
则解得,————4分
（2）————8分
当且仅当，即时等号成立，故．————10分
x
16
17
18
19
z
50
34
41
31
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价
销售量