初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀课后作业题

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀课后作业题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为
( )
A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°
2.下列命题中，正确的是( )
A. 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C. 顶角相等的两个等腰三角形全等
D. 等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍
3.在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，BC=2，则△ABC的周长是
( )
A. 2B. 4C. 6D. 7
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，∠CAD=25°，则∠ABE的度数为( )
A. 30°
B. 15°
C. 25°
D. 20°
5.如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD=∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A. AE=ADB. BD=CE
C. ∠ECB=∠DBCD. ∠BEC=∠CDB
6.在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在( )
A. △ABC的重心处
B. AD的中点处
C. A点处
D. D点处
7.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(−6,4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=3 3，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是( )
A. 132B. 2 13−132C. 2 13−2D. 72
8.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC，若AE=4，则BD的长等于( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 52
9.已知a，b为等腰三角形的两边长，且a，b满足 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，则此等腰三角形的周长为
( )
A. 8B. 6或8C. 7D. 7或8
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是( )
A. BD=BC
B. AD=BD
C. ∠ADB=108°
D. CD=12AD
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE // BC交AC于点E.若DE=5，AE=7，则AC的长为 ．
12.一个等腰三角形的一个外角等于110∘，则这个三角形的三个角应该为 ．
13.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．
14.如图，已知△ABC中，∠B=60°，AB=AC=4，过BC上一点D作PD⊥BC，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，若CD=1，则PA= ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE．
16.(本小题8分)
已知：△ABC是等边三角形，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE，连接AD、BE，相交于点F．
(1)求证：△ABD≌△BCE；
(2)求∠AFE的度数；
(3)延长FE到点G，使FG=FA，连接AG、CG，求证AD/​/CG．
17.(本小题8分)
如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=5，PE=2．
(1)求证：AD=BE；
(2)求AD的长．
18.(本小题8分)
已知：如图△ABC是等边三角形，M，N分别在AC，BC上，且AM=CN，BM，AN交于点E，BD⊥AN于D.求证：
(1)△ANC≌△BMA；
(2)BE=2DE．
19.(本小题8分)
如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线．
(1)过点A作AE⊥BC，垂足为点E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，AE交BD于点F，求证：AF=AD．
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB // CD，AC=AD，E为CD上一点，且ED=AB，求证：BC=AE．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠AMD=60°．
【解答】
解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC,
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°，
∴∠AMD=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了定义与命题，等腰三角形的性质，平行线的判定，全等三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定定理，全等三角形的判定定理，三角形的三边关系是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和平行线的判定对A进行判断，根据等腰三角形“三线合一”对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对C进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．
【解答】
解：A.因为等腰三角形顶角的外角等于两底角的和，作顶角的外角的平分线得到的角就等于等腰三角形的底角，根据内错角相等，两直线平行就可以得到：等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，所以此命题正确；
B.应该为等腰三角形底边上的高线，底边上的中线，顶角的平分线重合，所以原命题不正确；
C.因为顶角相等的两个等腰三角形对应边不一定相等，因而不一定全等，所以原命题不正确；
D.等腰三角形的腰可以为底边的两倍，所以原命题不正确；
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键，首先根据等边三角形的判定判断出△ABC是等边三角形，然后求解周长即可．
【解答】
解：∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=2，
∴△ABC的周长=3×2=6．
故选C．
4.【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠CAD=∠FBD，
在△BDF和△ADC中
∠BDF=∠ADC∠FBD=∠CADBF=AC，
∴△BDF≌△ADC (AAS)
∴∠DBF=∠CAD=25°，
∵DB=DA，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠ABD−∠DBF=20°
故选：D．
利用全等三角形的性质即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，
故选：A．
连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
7.【答案】D
【解析】解：在Rt△OCD中，
tanD=OCOD，
则OC3 3= 33，
所以OC=3，
则点C在以点O为圆心，3为半径的圆上．
延长BA到点E，使AE=AB，连接EC，
又因为M是BC中点，
所以AM是△EBC的中位线，
则AM=12EC．
连接AO，与⊙O交于点C′，
在Rt△EBO中，
EO= 82+62=10，
所以EC′=10−3=7，
即EC的最小值为7，
所以AM的最小值为72．
故选：D．
先求出OC的长，进而可得出点C的运动轨迹，再延长BA到点E，使AE=AB，利用中位线的性质将AM的最小值转化为EC的最小值即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化−旋转，通过构造中位线将AM的长进行转化是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图所示过点E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，
∵∠BFE=90°，∠B=60°，
∴∠BEF=90°−60°=30°，
∵AB=2，AE=4，
∴BF=12BE=12(AB+AE)=12×(2+4)=3，
∵BC=5，
∴CF=BC−BF=5−3=2，
∵ED=EC，EF⊥BC于F，
∴DC=2CF=4，
∴BD=BC−DC=5−4=1，
故选：A．
如图所示过点E作EF⊥BC，根据30°所对边为斜边一半可计算BF长度，进而可计算BD的长度．
本题考查直角三角形30°所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，
∴2a−3b+5=02a+3b−13=0，
解得：a=2b=3，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8，
故选：D．
首先根据 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
10.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−36°)=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠ABD=∠A．
∴AD=BD.故选项B正确；
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
∴∠C=∠BDC．
∴BD=BC.故选项A正确；
∵∠BDC=72°，
∴∠ADB=108°.故选项C正确；
在△BCD中，CD≠12BD，
又∵AD=BD，
∴CD≠12AD.故选项D错误．
故选：D．
根据已知条件AB=AC，∠A=36°，可得△ABC是底角为72°的等腰三角形，再根据尺规作图可得BD平分∠ABC，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了顶角为36°的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查了角的平分线，等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，知道两边相等的三角形是等腰三角形，两直线平行，内错角相等．由CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD，又DE/​/BC，所以∠EDC=∠BCD，则∠ECD=∠EDC，所以△ECD是等腰三角形，CE=DE，又AE=7，DE=5，即可求得．
【解答】
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵DE/​/BC，
∴∠EDC=∠BCD，则∠ECD=∠EDC，
∴△ECD是等腰三角形，CE=DE，
又∵AE=7，DE=5，
∴AC=AE+EC=7+5=12，
故答案为12．
12.【答案】70°，55°，55°或70°，70°，40°
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据题意，分两种情况讨论，即可得解．
【解答】
解：分两种情况讨论：
①当等腰三角形顶角的外角是110°时，则这个三角形的顶角为180°−110°=70°，
∴这个等腰三角形的底角为：180°−70°2=55°，
∴这个三角形的三个角应该为70°，55°，55°；
②当等腰三角形的底角的外角是110°时，则这个三角形的底角为180°−110°=70°，
∴这个等腰三角形的顶角为180°−2×70°=40°，
∴这个三角形的三个角为70°，70°，40°．
综上：这个三角形的三个角的度数为70°，55°，55°或70°，70°，40°．
13.【答案】50°或80°
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，运用分类讨论的思想是解答本题的关键. 可知有两种情况(顶角是50°和底角是50°时)，由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】
解：如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°−50°−50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为50°或80°．
14.【答案】2
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，由△ABC中，∠B=60°，AB=AC=4，可证得△ABC是等边三角形，又由PD⊥BC，CD=1，易求得CQ的长与∠AQP=∠P=∠CQD=30°，继而可得PA=AQ=AC−CQ．
【解答】
解：∵△ABC中，∠B=60°，AB=AC=4，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=∠B=60°，
∵PD⊥BC，
∴∠CQD=∠AQP=90°−∠C=30°，
∴∠P=∠BAC−∠AQP=60°−30°=30°，
∴∠P=∠AQP，
∴PA=QA，
在Rt△CDQ中，CQ=2CD=2×1=2，
∴QA=AC−CQ=4−2=2，
∴PA=2．
故答案为2．
15.【答案】证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC(已知)，
∴BF=CF(三线合一)，
又∵AD=AE(已知)，
∴DF=EF(三线合一)，
∴BF−DF=CF−EF，即BD=CE(等式的性质)．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质；做题中用到了等量减等量差相等得到答案．此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
16.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)；
(2)解：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE+∠ABE=∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=60°；
(3)证明：∵FA=FG，∠AFG=60°，
∴△FAG是等边三角形，
∴AF=AG，∠FAG=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAF=∠CAG，
∴△ABF≌△ACG(SAS)，
∴∠AGC=∠AFB=180°−∠AFE=120°，
∴∠AGC+∠FAG=180°，
∴AD/​/CG．

【解析】(1)利用SAS证明△ABD≌△BCE即可；
(2)由全等三角形的性质得到∠BAD=∠CBE，则由三角形外角的性质可得∠AFE=∠BAD+∠ABE=60°；
(3)先证明△FAG是等边三角形，得到AF=AG，∠FAG=60°，再证明△ABF≌△ACG，得到∠AGC=∠AFB=120°，推出∠AGC+∠FAG=180°，即可证明AD/​/CG．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质与判定是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD；
(2)解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥PQ，
∴∠PBQ=30°．
∴PB=2PQ=10，
∴BE=PB+PE=12．
∴AD=BE=12．
【解析】(1)根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可；
(2)根据全等三角形的性质得出∠ABE=∠CAD，求出∠PBQ=30°，进而由直角三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，证明△ABE≌△CAD是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAM=∠C=60°，AB=AC，
在△ANC和△BMA中，
AC=AB ∠C=∠BAM CN=AM ，
∴△ANC≌△BMA(SAS)；
(2)∵△ANC≌△BMA，
∴∠CAN=∠ABM，
∴∠BED=∠ABM+∠BAN=∠CAN+∠BAN=∠BAC=60°，
∵BD⊥AN，
∴∠BED+∠DBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∴BE=2DE．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得出∠BAM=∠C=60°，AB=AC，利用SAS即可证明△ANC≌△BMA；
(2)根据全等三角形的性质及三角形外角性质求出∠BED=60°，根据直角三角形的性质求出∠DBE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图1，AE即为所求；

(2)证明：如图2，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠C，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ADF=∠C+∠CBD，∠AFD=∠BAE+∠ABD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF．
【解析】(1)以A为圆心，适当长为半径画弧交BC于M，N，以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，交于点G，连接AG，交BC于E，则AG是线段MN的垂直平分线，AE即为所求；
(2)由题意知，∠ABC+∠C=90°，由AE⊥BC，可得∠ABC+∠BAE=90°，则∠BAE=∠C，由BD是角平分线，可得∠ABD=∠CBD，由三角形外角的性质可得∠ADF=∠C+∠CBD，∠AFD=∠BAE+∠ABD，则∠ADF=∠AFD，AD=AF．
本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边．正确的作垂线，熟练掌握等角对等边是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠BAC=∠ADC，
在△ABC和△DEA中，
AB=ED∠BAC=∠ADEAC=AD，
∴△ABC≌△DEA(SAS)，
∴BC=AE．
【解析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ABC≌△DEA是解题的关键．
由平行线的性质得出∠BAC=∠ACD，根据等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ADC，证明△ABC≌△DEA(SAS)，则可得出结论．