北师大版八年级下册2 直角三角形精品测试题

这是一份北师大版八年级下册2 直角三角形精品测试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是
( )
A. AB=ACB. ∠BAC=90°C. BD=ACD. ∠B=45°
2.如图，在△ABC中，AB=AC>BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I.则下列说法正确的是( )
A. △ACE一定为等腰三角形
B. △ABF一定为等腰三角形
C. △CFG一定为等腰三角形
D. △GHI一定为等腰三角形
3.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为
( )
A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°
4.如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且∠AOD=∠AOP，则△AOD与△AOP全等的理由是
( )
A. ASAB. SASC. AASD. HL
5.如图，EA⊥AB，CB⊥AB，AE=AB=2BC，D是AB的中点，那么下列结论不正确的是( )
A. DE=AC
B. DE⊥AC
C. ∠CAB=30°
D. ∠EAF=∠ADE
6.下列命题属于真命题的是( )
A. 两个角对应相等的两个三角形全等B. 两条边相等的两个直角三角形全等
C. 腰相等的两个等腰三角形全等D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
7.已知a，b，c是△ABC的三条边长，则下列等式不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. a2−b2=c2
C. ∠A−∠B=∠CD. (a−b)(a2+b2−c2)=0
8.如图，直线a/​/b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1=15°，∠2=25°，则∠ABC的大小为( )
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
9.以下说法：
①如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形；
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
④如果∠A=∠B=12∠C，那么△ABC是直角三角形；
⑤在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形是直角三角形.其中说法正确的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
10.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A. AB=DCB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AE=BF
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD= 3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为______．
12.如图，Rt△ABC中，∠B=30°，D是AB边上一动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，当ED平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的度数为______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=70°，AF平分∠CAB，交BC于点D，过点C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为 ．
14.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=2 6，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，则DF的长度为
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA=50°.求∠DAE的度数．
16.(本小题8分)
如图，已知∠A=∠D=90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.求证：△ABF≌△DCE．
17.(本小题8分)
如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE；
(2)若BC=10，DE=6，求△MDE的面积．
18.(本小题8分)
将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．
(1) ①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为__________．②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为__________．
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
(3)当∠ACEBC，
若△ABF为等腰三角形，则FA=FB，
∴∠FAB=∠FBA=∠1，
∵角平分线BF，
∴∠1=∠2，∠ABC=∠ACB=2∠1，
∴5∠1=180°，
∴∠1=36°=∠BAC，
而题设中∠BAC并不一定是36°，
故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意；
∵AB=AC，中线AD，
∴AD⊥BC，
∵角平分线BF，CE是高线，
∴∠IGH=∠EGB=90°−∠1，∠GIH=90°−∠2=90°−∠1，
即∠IGH=∠GIH，
∴IH=HG，
∴△GHI一定为等腰三角形，
故选项D符合题意．
故选：D．
根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得∠IGH=∠EGB=90°−∠1，∠GH=90°−∠2=90°−∠1，推出∠IGH=∠GIH，即可判断选项D符合题意．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，平角的定义．关键是根据两直线平行，同位角相等进行解答．利用直角三角形的两锐角互余先求出∠2和∠3的度数，再根据平角的定义求出∠4的度数，最后由平行线的性质即可得出答案．
【解答】
解：如图，
∵∠2=90°-60°=30°，∠3=90°-45°=45°，
∴∠4=180°-30°-45°=105°，
，
∴∠1=∠4=105°．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判别方法可证△AOD≅△AOP
【详解】
解：∵OD⊥AB且OP⊥AC
∴△AOD和△AOP是直角三角形
又∵∠AOD=∠AOP，∠ADO=∠APO=90∘且AO=AO
∴△AOD≅△AOP(AAS)
故选：C．
【点睛】
本题考查直角三角形全等的判定方法AAS．
5.【答案】C
【解析】解：∵点D是AB的中点，
∴AD=DB，
∵AE=AB=2BC，
∴AD=BC，
∵EA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EAD=∠B=90°，
在△EAD和△ABC中，
AE=BA∠EAD=∠B=90°AD=BC，
∴△EAD≌△ABC(SAS)，
∴ED=AC，∠ADE=∠C，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，
∴AC⊥DE，
∵∠EAF+∠CAB=90°，∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠EAF=∠ADE，
故选项A，B，D正确．
故选：C．
用SAS证明△EAD≌△ABC，得∠ADE=∠C，可证∠AFD=90°，从而说明A、B、D正确．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△DAE≌△ABC是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、两三角形全等，至少需要一边相等的条件，原命题是假命题，故A不符合题意；
B、有可能两个直角三角形的斜边和直角边相等，此时两个直角三角形不全等，原命题是假命题，故B不符合题意；
C、腰相等的两个等腰三角形的顶角或底边不一定相等，因此腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，正确，故D符合题意．
故选：D．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
如图，作CK/​/a，利用平行线的性质可得∠ACB=∠1+∠2=40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：如图，作CK/​/a．
∵a/​/b，CK/​/a，
∴CK/​/b，
∴∠ACK=∠1=15°，∠BCK=∠2=25°，
∴∠ACB=∠ACK+∠BCK=∠1+∠2=15°+25°=40°，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABC=90°−40°=50°，
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：①如果三角形三个内角的比是1：2：3，则最大角的度数为：180°×36=90°，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，根据外角与它相邻的内角互补，得到这个内角是90°，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；说法正确，符合题意；
④如果∠A=∠B=12∠C，根据∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，得到∠C=90°，那么△ABC是直角三角形；说法正确，符合题意；
⑤在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，根据∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，得到∠C=90°，则此三角形是直角三角形．说法正确，符合题意；
综上：说法正确的个数有5个；
故选：D．
根据三角形的内角和判断①④⑤，根据外角的定义判断②，根据直角三角形的三条高线交于直角顶点，判断③．
本题考查三角形分类，三角形的内角和，三角形的外角的定义，三角形的高线．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是AB=DC，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=DCBE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选A．
11.【答案】2 3或2 7
【解析】【分析】
本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．
分两种情况：①△ABC是锐角三角形；②△ABC是钝角三角形，分别根据勾股定理求出BC即可．
【解答】
解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CD= 3，AD=1，
∴AC=2，
∵AB=2AC，
∴AB=4，
∴BD=4−1=3，
∴BC= CD2+BD2= 32+( 3)2=2 3；
②当△ABC是钝角三角形，如图，
同理得：AC=2，AB=4，
BD=AB+AD=5，
∴BC= CD2+BD2= ( 3)2+52=2 7，
综上所述，BC的长为2 3或2 7．
故答案为：2 3或2 7．
12.【答案】60°或105°
【解析】解：当DE/​/AC时，如图，
由折叠的性质得：∠CDE=∠CDA，
∵DE/​/AC，
∴∠CDE=∠ACD，
∴∠CDA=∠ACD，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∴∠ADC=12×(180°−60°)=60°；
当DE/​/BC时，如图，
由折叠的性质得：∠E=∠A，∠ACD=∠ECD，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∴∠E=60°
∵DE/​/BC，
∴∠BCE=∠E=60°，
∴∠ACE=90°−60°=30°，
∴∠ACD=12∠ACE=15°，
∴∠ADC=180°−60°−15°=105°．
∴∠ADC的度数为60°或105°．
故答案为：60°或105°．
当DE/​/AC时，由折叠的性质得：∠CDE=∠CDA，由平行线的性质推出∠CDE=∠ACD，得到∠CDA=∠ACD，求出∠A=60°，即可得到∠ADC=60°；当DE/​/BC时，由折叠的性质得：∠E=∠A，∠ACD=∠ECD，求出∠A=60°，得到∠E=60°，由平行线的性质推出∠BCE=∠E=60°，求出∠ACE=30°，得到∠ACD=12∠ACE=15°，即可求出∠ADC=105°.于是得到∠ADC的度数为60°或105°．
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是要分两种情况讨论．
13.【答案】25°
【解析】【分析】
本题考查直角三角形的性质，解题关键掌握直角三角形两个锐角互余．
先根据角平分线定义求出∠CAD=∠BAD=12∠CAB=45∘，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB及∠ACE，再通过∠ECD=∠ACE−∠ACB求解．
【解答】
解：∵∠CAB=90∘，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=45∘，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE=90∘−∠CAD=45∘，
∵∠ACB=90∘−∠ABC=20∘，
∴∠ECD=∠ACE−∠ACB=25∘，
故答案为：25∘．
14.【答案】2
【解析】∵E是AD的中点，∴AE=DE.∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG.∵在长方形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°.在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，∴DF=FG.设DF=x，则CF=3−x，BF=3+x.在Rt△BFC中，∵BF2=BC2+CF2，∴2 62+3−x2=3+x2，解得x=2，∴DF=2．
15.【答案】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，
∴∠BAC=90°−38°=52°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×52°=26°，
∵∠CEA=∠B+∠BAE，∠CEA=50°，
∴∠BAE=50°−38°=12°，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=26°−12°=14°．
【解析】根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再根据三角形的外角性质即可解答．
本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是解题的关键．
16.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CEAB=DC,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
【解析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．
由BE=CF通过等量代换得到BF=CE，结合AB=CD，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
17.【答案】(1)证明：
连接ME、MD，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵M是BC的中点，
∴DM=12BC，
同理可得EM=12BC，
∴DM=EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
(2)解：
∵BC=10，ED=6，
∴DM=12BC=5，DN=12DE=3，
由(1)可知∠MND=90°，
∴MN= MD2−DN2= 52−32=4，
∴S△MDE=12DE⋅MN=12×6×4=12
【解析】(1)连接ME、MD，由直角三角形的性质可求得DM=EN，则由等腰三角形的性质可证明MN⊥DE；
(2)由条件可求得MD、ND，在Rt△MND中可求得MN，则可求得△MDE的面积．
本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM=EM是解题的关键．
18.【答案】【小题1】
①135°
②40°
【小题2】
(2)猜想：∠ACB+∠DCE=180°．
理由如下：∵∠ACE=90°−∠DCE，
又∵∠ACB=∠ACE+90°，
∴∠ACB=90°−∠DCE+90°=180°−∠DCE，
即∠ACB+∠DCE=180°；
【小题3】
解：①如图1，当CB // AD时，∠BCD=∠D=30°，
∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE=∠BCD=30°．
②如图2，当BE // AC时，∠ACE=∠BEC=45°，
综上所述，∠ACE=30°或45°．

【解析】1. 解：(1)①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=45°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=90°+45°=135°．
故答案为：135°；
②∵∠ACB=140°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°−90°=50°，
∴∠DCE=90°−∠ACE=90°−50°=40°，
故答案为：40°；
本题主要考查了平行线的判定解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
(1)①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACE求得∠DCE的度数．
2. 本题主要考查了余角和补角，根据∠ACE=90°−∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
3. 本题考查平行线的性质，分两种情况进行讨论：当CB/​/AD时，当EB/​/AC时，分别求得∠ACE角度．
19.【答案】解：(1)△ABC≌△DEC，理由如下：
∵DC⊥AE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在△ABC与△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠DCECB=CE，
∴△ABC≌△DEC(SAS)；
(2)∵△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠D=20°，
∴∠E=90°−∠D=90°−20°=70°．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABC≌△DEC；
(2)由全等三角形的性质和直角三角形的性质可得∠E的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】【小题1】
DA=DB+DC
【小题2】
2DA=DB+DC.理由略．
【小题3】
6+ 22

【解析】1. 略
2. 略
3. 略