北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线精品练习题

这是一份北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线精品练习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=6cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为( )
A. 32cmB. 38cmC. 44cmD. 50cm
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是( )
A. BD平分∠ABC
B. 点D是线段AC的中点
C. AD=BD=BC
D. △BCD的周长等于AB+BC
4.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为
( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
5.下列命题中正确的是( )
A. 形如“ a”的式子叫做二次根式
B. 到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
C. 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
D. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
6.如图，△ABC的周长为20，底边BC=6，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
7.如图，在△ABC中，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，连接两弧的交点与AB，AC分别交于点D、点E，连接CD，若BD=CD，则∠ACB的度数为
( )
A. 110°B. 100°C. 90°D. 80°
8.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB=8，则△ABC的周长为( )
A. 8B. 10C. 18D. 20
9.已知如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是( )
A. 取AB中点H，连接PH
B. 作∠APB的平分线PH交AB于点H
C. 过点P作PH⊥AB于点H且AH=BH
D. 过点P作PH⊥AB，垂足为H
10.如图，已知a/​/b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b于点C，连接AC，若∠ACB=110°，则∠1的度数是( )
A. 55°
B. 50°
C. 40°
D. 35°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 ．
12.在锐角△ABC中，AB=AC，AB垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______．
13.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是______cm．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F.若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为____．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=100°，AB=AC=AD=AE，BC与AD，DE分别交于点F，H，AC和DE交于点G，连接BD，CE．
(1)若∠DBA=70°，求∠DAC的度数；
(2)如图2，连接BE，AH，求证：AH垂直平分BE．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，直线MN垂直平分AB，点E为线段MN上一动点，若BC=6，等腰△ABC面积为21，求△BDE周长的最小值．
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．
(1)求∠CAD的大小；
(2)若BC=3，求DE的长．
18.(本小题8分)
已知等腰直角△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，以D为直角顶点在DE右侧作等腰直角△DEF，连接FC．
(1)如图1，点D与点B重合时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
(2)如图2，BD=CD时，点M、N分别为EF和AC的中点，
①探究AE、FC和AC三条线段之间的数量关系并证明；
②若BC=10，直接写出MN的最小值．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC，AD于点E，F，连接CF．
(1)判断△BCF的形状，并说明理由；
(2)若AF=BC，求证：BF2+EF2=AE2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线定义、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到AD=CD，进而得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°．
故选B
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查线段垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】
解：由题意得DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=26(cm)，
∴AB+BD+DC=26(cm)，
∴△ABC的周长=AB+BD+DC+AC
=26+6+6
=38(cm)．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=72°−36°=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故D正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故C正确；
∵BD>CD，
∴AD>CD，
∴点D不是线段AC的中点，故B错误．
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键，据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°−50°=80°，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：A、形如“ a(a≥0)”的式子叫做二次根式，故不符合题意；
B、到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三条垂直平分线的交点，故不符合题意；
C、两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，故符合题意；
D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的定义、三角形的外心、平方差、等腰三角形的性质判断求解即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的周长为20，底边BC=6，AB=AC，
∴AC=12×(20−6)=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△BEC的周长=BE+CE+BC
=AE+CE+BC
=AC+BC
=7+6
=13．
故选：A．
先求出腰AC的长，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BEC的周长=AC+BC．
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟记性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，，先根据线段垂直平分线的性质得出∠ACD=∠A，再由BD=CD得出∠BCD=∠B，再利用三角形内角和定理求解
【解答】
解：∵由作图可知，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A
∵CD=BD，
∴∠BCD=∠B
∴∠BCD+∠ACD=∠B+∠A
∵∠BCD+∠B+∠ACD+∠A=180°
∴∠BCD+∠ACD=90°
∴∠ACB=90°
故选C
8.【答案】C
【解析】解：由作图的方法可知MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=8，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+8=18．
故选：C．
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．解题关键是根据作法判断出MN是AB的垂直平分线．
首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=8可得△ABC的周长．
9.【答案】C
【解析】解：A、取AB中点H，连接PH，得AH=BH，依据“SSS”证△APH≌△BPH可得；
B.作∠APB的平分线PH交AB于点H知∠APH=∠BPH，依据“SAS”证△APH≌△BPH可得；
C.过点P作PH⊥AB于点H或作AH=BH，当不能一次作图达到两个目的，此作法错误；
D.过点P作PH⊥AB，垂足为H知∠AHP=∠BHP=90°，利用“HL”可证Rt△APH≌Rt△BPH可得；
故选：C．
利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
此题主要考查了作图、全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵a/​/b，∠ACB=110°，
∴∠CAD=180°−110°=70°，
根据作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵a/​/b，
∴∠ABC=∠1，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1+∠CAB=∠CAD=70°，
∴∠1=12×70°=35°，故D正确．
故选：D．
根据a/​/b，∠ACB=110°，得出∠CAD=180°−110°=70°，根据垂直平分线的性质得出AC=BC，根据等腰三角形的性质，得出∠ABC=∠BAC，根据平行线的性质，得出∠ABC=∠1，从而得出∠1=∠CAB，即可求出∠1=12×70°=35°．
本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
11.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△OCD≌△OBD，△AOC≌△AOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．
【解答】
解：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，
∴OC=OB，
在△ACD和△ABD中，
AC=AB∠CAD=∠BADAD=AD，
∴△ACD≌△ABD(SAS)；
同理：△COD≌△BOD，
在△AOC和△AOB中，
OA=OAOC=OBAC=AB，
∴△OAC≌△OAB(SSS)；
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，
在Rt△OAE和Rt△OCE中，
OA=OCOE=OE,
∴Rt△OAE≌Rt△OCE(HL)．
因此共有4对全等三角形．
故答案为4．
12.【答案】70°
【解析】解：如图1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠DEA=90°，
∵∠EDA=50°，
∴∠A=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠B=70°．
故答案为：70°．
根据题意画出图形，求出∠BAC的度数，求出∠B=∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是求出∠BAC的度数和得出∠B=∠ACB．
13.【答案】16
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=AB+BC=16(cm)，
故答案为：16．
由题意知AE=BE，根据△BCE的周长为BE+CE+BC=AB+BC，计算求解即可．
本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查的是轴对称−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8．
故答案为8．
15.【答案】解：(1)∵AB=AD，∠DBA=70°，
∴∠BDA=∠ABD=70°．
∴∠BAD=180°−2×70°=40°，
∵∠BAC=100°，
∴∠DAC=100°−40°=60°，
(2)证明：∵AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=100°．
∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=40°，
∠BAC−∠DAC=∠DAE=∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，
∴∠DBH=∠CEH，
∠DBH=∠CEHBD=CE∠DHB=∠CHE，
∴△DBH≌△CEH(AAS)，
∴BH=EH，
又∵AB=AE，
∴点A，H在线段BE的垂直平分线上，
即AH垂直平分BE．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；
(2)根据条件证明△ABD≌△AEC(SAS)和△DBH≌△CEH(AAS)，等量代换即可证明结论．
本题是三角形的综合题，主要涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键．
16.【答案】解：连接AD、AE，
∵AB=AC，点D为BC的中点，BC=6，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=3，
∵S△ABC=12BC⋅AD，且S△ABC=21，
∴12×6AD=21，
解得AD=7，
∵直线MN垂直平分AB，
∴点A与点B关于直线MN对称，
∴点E在线段MN上，
∴BE=AE，
∴BE+DE=AE+DE，
∵AE+DE≥AD，
∴BE+DE≥7，
∴BE+DE+BD≥7+3，
∴BE+DE+BD≥10，
∴BE+DE+BD的最小值为10，
∴△BDE周长的最小值为10．
【解析】连接AD、AE，由AB=AC，BC=6，点D为BC的中点，得AD⊥BC，BD=CD=3，则S△ABC=12×6AD=21，求得AD=7，因为直线MN垂直平分AB，点E在线段MN上，所以BE=AE，则BE+DE=AE+DE，由AE+DE≥AD，得BE+DE≥7，则BE+DE+BD≥10，所以△BDE周长的最小值为10．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的面积公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠EAD，
又∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠EAD=∠B，
设∠CAD=x，则3x=90°，
∴x=30°，
∴∠CAD=30°；
(2)∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
设DC=y，则DE=y，BD=3−y，
又∵∠B=30°，
∴y=3−y2，解得y=1，
∴DE=1．
【解析】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．
(1)先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；
(2)设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．
18.【答案】解：(1)AE=CF，AE⊥CF.理由如下：
由题意得∠ABC=∠EBF=90∘，
∴∠ABE=∠CBF，
又BA=BC，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴AE=CF，∠A=∠BCF=45∘，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=90∘，
∴AE⊥CF，
(2)①连结DN、BN，
∵D，N分别是BC、AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN//AB，DN=12AB，
∴∠NDC=∠ABC=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDN=∠CDF，
∵BA=BC，D是BC中点，
∴DN=DC，
∵DE=DF∠EDN=∠FDCDN=DC,
∴△DEN≌△DFC(SAS)，
∴EN=FC，
∴AE+CF=AE+EN=AN=12AC．
②∵DN//AB，∠A=45°，
∴∠AND=135°，
∵△DEN≌△DFC，
∴∠DNE=∠DCF=135°，
又∠ACB=45°，
∴∠ECF=90°，
又M是EF中点，
∴MD=MC，
易得M一直在CD的垂直平分线上，
过N作NG垂直于CD的垂直平分线，垂足为G，
则MN的最小值即为NG=12CD=14BC=52．
故MN的最小值为52．
【解析】本题考查全等三角形的判定，垂直平分线的性质，属于难题．
(1)求证△ABE≌△CBF即可；
(2)①连结DN、BN，求证△DEN≌△DFC即可；
②证明MN的最小值即为NG=12CD=14BC即可得解．
19.【答案】(1)证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE．
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：连接CD，
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
又∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．

【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解(1)的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解(2)的关键，
(1)连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A，进而求出∠CBE=30°，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第(1)问的结论；
(2)连接CD，根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
20.【答案】(1)解：△BCF为等腰直角三角形． 理由：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BCF=∠CBF=45°，∴∠CFB=180°−45°−45°=90°，∴△BCF为等腰直角三角形．
(2)证明：如图，在BF上取一点H，使BH=EF，连接CH．
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.∵∠CBE=45°，∴∠AFE=∠BFD=∠CBE=45°. 在△CHB和△AEF中， BH=EF,∠CBH=∠AFE,BC=AF,∴△CHB≌△AEF(SAS)，∴AE=CH，∠AEF=∠BHC，∴∠CEF=∠CHE，∴CE=CH.∵BD=CD，FD⊥BC，∴CF=BF，∴∠CFD=∠BFD=45°，∴∠CFB=90°，∴EF=FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2=CH2，∴BF2+EF2=AE2．

【解析】略