八年级下册3 分式的加减法精品课堂检测

这是一份八年级下册3 分式的加减法精品课堂检测，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，若x为正整数，则表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在
( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
2.已知14m2+14n2=n−m−2，则1m−1n的值等于( )
A. 1B. 0C. −1D. −14
3.若x是自然数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( )
A. ①B. ②C. ③D. ①或 ②
4.已知两个不等于0的实数a，b满足a+b=0，则ba+ab的值为
( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.若x和y互为倒数，则x+1y2y−1x的值是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.化简2aa2−b2−1a−b的结果是
( )
A. a−bB. 1a−bC. a+bD. 1a+b
7.(2023·江苏扬州邗江实验、蒋王、江都实验初中期中)已知m2−3m−2=0，则2m2−3m+4m2值为
．( )
A. 10B. 11C. 15D. 16
8.如下是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是( )
2xx2−1−1x+1=2x(x+1)(x−1)−1x+1……第一步
=2x(x+1)(x−1)−x−1(x+1)(x−1)…………第二步
=2x−(x−1)………………………………第三步
=x+1.…………………………………第四步
A. 第二步运用了分式的基本性质B. 从第三步开始出现错误
C. 原分式的计算结果为1x−1D. 当x=1时，原分式的值为0
9.设M=(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−1n2)(n≥2且n为自然数)，如果6M是整数，n的值有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
10.老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知m2+3m+1=0，则m−3m2−2m÷(m+2−5m−2)= ．
12.当x满足x2+x−2=0时，则分式(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1的值为 ．
13.若3ab−3b2−2=0，则代数式1−2ab−b2a2÷a−ba2b的值为 ．
14.我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知A=x−2x−1x，B=x−1x，则化简A÷B的结果为________．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
化简：(x+2x+1)÷x2−1x．
16.(本小题8分)
求代数式(2x−1x−1−x−1)÷x−2x2−2x+1的值，其中x= 2+1．
17.(本小题8分)
观察以下等式：
第1个等式：13×(1+21)=2−11，
第2个等式：34×(1+22)=2−12，
第3个等式：55×(1+23)=2−13，
第4个等式：76×(1+24)=2−14．
第5个等式：97×(1+25)=2−15．
⋯
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示)，并证明．
18.(本小题8分)
已知Ax+1−Bx−3=x+5(x+1)(x−3)(其中A，B为常数)，求A2020B的值．
19.(本小题8分)
(2022·舟山中考)观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，…
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
20.(本小题8分)
已知x2+x−4=0，求代数式xx−1−1÷x3−xx2−2x+1的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
解：(x+2)2x2+4x+4−1x+1=(x+2)2(x+2)2−1x+1=1−1x+1=xx+1．
∵xx+1=11+1x，且x为正整数，
∴0<1x≤1，1<1+1x≤2，
∴12≤11+1x<1，即12≤xx+1<1，
故表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在段②．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：由14m2+14n2=n−m−2，得
14(m2+n2)=n−m−2
m2+n2=4n−4m−8
m2+4m+4+n2−4n+4=0
(m+2)2+(n−2)2=0，
则m=−2，n=2，
∴1m−1n=−12−12=−1．
故选：C．
把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．
考查分式的化简求值，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0．
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】B
【解析】解：∵x和y互为倒数，
∴xy=1，
∵(x+1y)(2y−1x)
=2xy−1+2−1xy
=2×1−1+2−1
=2−1+2−1
=2．
故选：B．
根据x和y互为倒数可得xy=1，再将(x+1y)(2y−1x)进行化简，将xy=1代入即可求值．
本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
6.【答案】D
【解析】解：2aa2−b2−1a−b
=2a(a+b)(a−b)−a+b(a+b)(a−b)
=2a−a−b(a+b)(a−b)
=a−b(a+b)(a−b)
=1a+b．
故选：D．
先通分，再计算，然后化简，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分式的化简求值，考查整体代入法的应用，属中档题．
由m2−3m−2=0，得m2−3m=2，m−2m=3，m2+4m2=13，原式=m2−3m+m2+4m2，代入即可得解．
【解答】
解：由m2−3m−2=0，得m2−3m=2，
则原式=m2−3m+m2+4m2=m2+4m2+2，
由m2−3m−2=0，得m2−2=3m，
因为m不为0，将上式两边除以m，得m−2m=3，
两边平方，得m2−2m⋅2m+4m2=9，故m2+4m2=13．
故原式=m2+4m2+2=13+2=15．
8.【答案】D
【解析】解：第二步运用了分式的基本性质，将两个分式的分母进行通分，故选项A判断正确，不符合题意；
从第三步运算，应为分式的分母不变，分子相加减，解答过程丢掉分母，选项B判断正确，不符合题意；
分式的计算过程如下：
2xx2−1−1x+1
=2x(x+1)(x−1)−1x+1
=2x(x+1)(x−1)−x−1(x+1)(x−1)
=2x−(x−1)(x+1)(x−1)
=1x−1
故选项C判断正确，不符合题意；
当x=1时，原分式的分母x2−1值为0，分式没有意义，故D判断错误，符合题意．
故选：D．
根据异分母分式加减运算的法则，逐项判定即可．
本题考查了异分母分式的减法运算，掌握相关运算法则，计算过程中不要丢掉分母是关键．
9.【答案】C
【解析】本题考查了平方差公式，分式的加减法，分式的值，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
根据平方差公式化简M，再求出6M，根据12n+1是整数，n≥2且n为自然数，得到n+1可以为3，4，6，12，从而得到n的值．
解：∵M=(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−1n2)
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)⋯(1−1n)(1+1n)
=12×32×23×43×34×54×⋯×n−1n×n+1n
=12×n+1n
=n+12n，
∴6M=12nn+1
=12(n+1)−12n+1
=12−12n+1，
∵12n+1是整数，n≥2且n为自然数，
∴n+1应是12的约数，即n+1可以为3，4，6，12，
∴n的值可以为2，3，5，11共4个．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
根据题目中的式子，可以写出各步之间的计算过程，从而可以解答本题．
【解答】
解：老师到甲：x2−2xx−1÷x21−x=x2−2xx−1⋅1−xx2，故选项A不符合题意；
甲到乙：x2−2xx−1⋅1−xx2=−x2−2xx−1⋅x−1x2，故选项B符合题意；
乙到丙：x2−2xx−1⋅x−1x2=x(x−2)x−1⋅x−1x2，故选项C不符合题意；
丙到丁：x(x−2)x−1⋅x−1x2=x−2x，故选项D不符合题意；
故选：B．
11.【答案】−1
【解析】解：
原式=m−3m(m−2)÷(m+2)(m−2)−5m−2
=m−3m(m−2)⋅m−2(m+3)(m−3)
=1m2+3m，
∵m2+3m+1=0，
∴m2+3m=−1，
∴原式=1−1=−1，
故答案为−1．
根据分式的减法和除法化简题目中的式子，然后根据m2+3m+1=0，即可解答本题。
解：原式=m−3m(m−2)÷(m+2)(m−2)−5m−2
=m−3m(m−2)⋅m−2(m+3)(m−3)
=1m2+3m，
∵m2+3m+1=0，
∴m2+3m=−1，
∴原式=1−1=−1，
故答案为−1．
点拨：本题考查对分式的化简，熟练运用并综合运算是解决这题的关键。
12.【答案】2
【解析】略
13.【答案】23
【解析】略
14.【答案】x−1
【解析】解：∵A=x−2x−1x，B=x−1x，
∴A÷B=(x−2x−1x)÷x−1x
=x2−2x+1x⋅xx−1
=(x−1)2x⋅xx−1
=x−1，
故答案为：x−1．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2x+2x⋅xx2−1=2(x+1)x．x(x+1)(x−1)=2x−1．
【解析】略
16.【答案】解：原式=(2x−1x−1−x2−1x−1)÷x−2(x−1)2
=−x2+2xx−1÷x−2(x−1)2
=−x(x−2)x−1⋅(x−1)2x−2
=−x(x−1)
当x= 2+1时，
原式=−( 2+1)( 2+1−1)
=−( 2+1)× 2
=−2− 2．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
17.【答案】解：(1)118×(1+26)=2−16．
(2)2n−1n+2×(1+2n)=2−1n．
证明：因为左边=2n−1n+2×n+2n=2n−1n=2−1n=右边，
所以等式成立．
【解析】【分析】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
(1)根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
(2)把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等即可．
【解答】
解：观察等式可知等式左边可以看作两个因式的积，第一个因数分子是1，3，5，7，9···分母是3，4，5，6，7···，则第六个等式左边的第一个因数的分子为11；分母为8；等式的左边第二个因式是1与一个分数的和，该分数的分子都为2，分母为1，2，3，4，5，···，则第六个等式左边的第二个因式为1+26，所以第六个等式左边为118×(1+26)；
观察等式右边为2与一个分数的差，该分数的分子均为1，分母为1，2，3，4，5，···，则第六个等式右边为2−16；
故第六个等式为118×(1+26)=2−16；
(2)由(1)分析可知第n个等式左边为2n−1n+2×(1+2n)，右边为2−1n，即第n个等式为2n−1n+2×(1+2n)=2−1n．
故答案为2n−1n+2×(1+2n)=2−1n；证明见答案．
18.【答案】解：将等式的左边相减，得：Ax+1−Bx−3=A(x−3)−B(x+1)(x+1)(x−3)=(A−B)x+(−3A−B)(x+1)(x−3)，
根据左右两边相等，可得：A−B=1−3A−B=5解得：A=−1B=−2
A2020B=(−1)2020×(−2)=−2．
【解析】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于A、B的二元一次方程，求出A、B的值，将其代入计算即可．
19.【答案】【小题1】解：12=13+16=13+12×3，
13=14+112=14+13×4，
14=15+120=15+14×5，……，
观察规律可得1n=1n+1+1n(n+1)．
【小题2】解： 1n+1+1n(n+1)=nn(n+1)+1n(n+1)=n+1n(n+1)=1n ，
故结论1n=1n+1+1n(n+1)正确．

【解析】1. 本题考查分式有关的规律问题，属基础题．
根据题意归纳得结论．
2. 本题考查分式的加减计算，属基础题．
根据分式的加法计算方法证明等式即可．
20.【答案】解：原式=1x−1÷x(x+1)(x−1)(x−1)2
=1x−1⋅(x−1)2x(x+1)(x−1)
=1x2+x．
∵x2+x−4=0，
∴x2+x=4，
∴原式=14．

【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+x=4，整体代入计算即可．