初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定优秀课后复习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定优秀课后复习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A. ∠ABD=∠DCEB. DF=CF
C. ∠AEB=∠BCDD. ∠AEC=∠CBD
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90∘，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为( )
A. 6B. 12C. 20D. 24
3.如图，在平面直角坐标系中，以O(0,0)、A(1,−1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是
( )
A. (3,−1)B. (−1,−1)C. (1,1)D. (−2,−1)
4.如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB=AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是( )
A. 嘉琪推理严谨，不必补充B. 应补充：且 AB=CD
C. 应补充：且AB/​/CDD. 应补充：且OA=OC
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB>AD，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，交边AB于点E；②分别以点D和点E为圆心、大于线段DE长的一半为半径作圆弧，两弧交于点P；③作射线AP，交边CD于点F；④连结EF，下列结论不一定成立的是( )
A. AE=ADB. AF=ABC. EF=BCD. AD=DF
6.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE=4，CF=3，EF=1，则AB的长为
( )
A. 3B. 2.5C. 3.5D. 4
7.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠D=( )
A. 80°B. 40°C. 70°D. 140°
8.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列4个条件：①AB // CD②AB=CD③AD=BC④∠A=∠C；从以上条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有( )
A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组
9.如图，在▱ABCD中，AD>AB，以点A为圆心，AB为半径画弧与AD交于点F，然后分别以B，F为圆心，大于12BF为半径画弧交于点G，连接AG交BC于点E，若BF=6，AB=4，则AE的长为( )
A. 7
B. 2 7
C. 5
D. 10
10.在同一平面内，直线b，c是通过直线a平移得到的，已知a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离为
．( )
A. 7 cmB. 3 cmC. 7 cm或3 cmD. 2 cm或3 cm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF=BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB=4AG.其中正确结论的序号是______．
12.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB=2，BC=2 3，则AH的长为 ．
13.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为_______．
14.如图，在方格棋盘上有三枚棋子，位置分别为(4,4)，(8,4)，(5,6)，请你再放下一枚棋子，使这四枚棋子组成一个平行四边形，这枚棋子的坐标可以是______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知□ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2.若点A的坐标为(a,b)，求点D的坐标．
16.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
(1)求证：CF=CD；
(2)若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．
17.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB/​/CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，AE=CE．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若BC=8，∠BAC=60°，∠DCB=135°，求AC的长．
18.(本小题8分)
已知：如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形．
19.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
20.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
(1)若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE=DF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB//CD，求得DE//BC，∠ABD=∠CDB，推出BD//CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形，故C错误；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，接着得到BD/​/CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB/​/CD，
∴DE/​/BC，∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE/​/BC，
∴∠DEF=∠CBF，
在△DEF与△CBF中，
∠DEF=∠CBF∠DFE=∠CFB,DF=CF
∴△DEF≌△CBF(AAS)，
∴EF=BF，
∵DF=CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE//BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形，故C错误；
∵AE/​/BC，
∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180∘，
∵∠AEC=∠CBD，
∴∠BDE=∠BCE，
∴∠BDE+∠DEC=180∘，
∴BD/​/CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，关键是利用勾股定理得出CE的长，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式.根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】
解：在Rt△CBE中，CE= BE2+BC2=5，∴AE=AC−CE=5，
∴AE=CE=5，
又BE=DE=3，∴四边形ABCD为平行四边形．
∴S▱ABCD=2S△CBD=2×12⋅BD⋅BC=6×4=24．
故选D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，理解平行四边形的对边平行且相等，是判断本题的关键．根据以O(0,0)、A(1,−1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，根据平行四边形的判定分别对答案A，B，C，D进行分析即可得出符合要求的答案．
【解答】
解：A.∵以O(0,0)、A(1,−1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为(3,−1)时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴BO/​/AC1，
∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；
B.∵以O(0,0)、A(1,−1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为(−1,−1)时，
∴BO=AC2=2，
∵A，C2，两点纵坐标相等，
∴BO//AC2，
∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；
C.∵以O(0,0)、A(1,−1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为(1,1)时，
∴BO=AC3=2，
∵A，C3，两点纵坐标相等，
∴C3O=BC3= 2，
同理可得出AO=AB= 2，
进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，
∴四边形OABC3是正方形，故此选项正确；
D.∵以O(0,0)、A(1,−1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为(−1,−1)时，四边形OC2AB是平行四边形；
∴当第四个点为(−2,−1)时，四边形OC2AB不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：∵CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】解：由作法得AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD=BC，
∴∠AFD=∠DAF，
∴AD=DF，
∵AD=AE，
∴DF=AE，
∵DF//AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AD=AE=DF=EF，
∴EF=BC，
故选：B．
利用基本作法克判定AE平分∠BAD，再根据平行四边形的性质得到AD/​/EF，则可判断四边形ADEF是平行四边形，再利用AE平分∠BAD证明∠AED=∠DAE，则AD=AE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ADEF是菱形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=80°，
∴∠A=∠C=40°，
∴∠D=180°−∠A=140°，
故选：D．
由平行四边形的性质得∠A=∠C，AB/​/CD，则∠A+∠D=180°，再求出∠A=40°，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定分别进行论证即可．
【解答】
解：①与②能推出四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
∵AB/​/CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；
①与④能推出四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
∵AB/​/CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，∠BCD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)；
②与③能推出四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
③与④不能推出四边形ABCD为平行四边形(不能推出AD//BC或AB=CD或AB/​/CD)．
②与④不能推出四边形ABCD为平行四边形(不能推出AB/​/CD或AD=BC或AD/​/BC)．
①与③不能推出四边形ABCD为平行四边形(不能推出AD//BC或AB=CD)．
综上所述，能推出四边形ABCD为平行四边形的有3组．
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：
由题意可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF/​/BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=12BF=3，
在Rt△AOB中，OA= AB2−OB2= 42−32= 7，
∴AE=2OA=2 7，
故选：B．
设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
10.【答案】C
【解析】解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2=7cm，
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5−2=3cm，
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．
本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．
11.【答案】①②③④
【解析】解：如图，
连接CF，
∵∠ACB=90°，点F是AB的中点，
∴CF=AF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴EF⊥AC，
故①正确；
∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，
∴AD=BD，DAB=60°，∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠DFA=∠BAE=90°，
∴DF/​/AE，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴AD/​/BC，
由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，
∴EF/​/BC，
∴AD/​/EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
故③正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AD=EF，
∵AD=BD，
∴EF=BD，故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AF=2AG，
∵AD=AB，AB=2AF，
∴AB=4AG，
故④正确；
故答案为：①②③④．
连接CF，根据直角三角形的性质得到CF=AF，根据等边三角形的性质得到AE=CE，求得EF⊥AC，故①正确；根据等边三角形的性质得到AD=BD，DAB=60°，∠CAE=60°，求得DF⊥AB，根据平行线的判定定理得到DF/​/AE，推出AD//BC，得到EF/​/BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形ADFE是平行四边形，故③正确；根据平行四边形的性质得到AD=EF，等量代换得到EF=BD，故②正确；根据平行四边形的性质得到AF=2AG，等量代换得到AB=4AG，故④正确．
本题考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
12.【答案】2 33
【解析】略
13.【答案】36°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°−∠EAD′−∠D′=108°，
∴∠FED′=108°−72°=36°；
故答案为：36°．
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
14.【答案】(1,6)或(9,6)或(7,2)
【解析】解：因为以三点组成的三角形可作出三个平行四边形，所以分三种情况，设A(4,4)，B(8,4)，C(5,6)，另一点为D：
当以AB为平行四边形的对角线时，则D(7,2)；
当以BC为平行四边形的对角线时，则D(9,6)；
当以AC为平行四边形的对角线时，则D(1,6)；
∴这枚棋子的坐标为(1,6)或(9,6)或(7,2)．
设A(4,4)，B(8,4)，C(5,6)，若以AB为平行四边形的对角线，则D(7,2)；若以BC为平行四边形的对角线，则D(9,6)；若以AC为平行四边形的对角线，则D(1,6)．
本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，题目围绕AB，BC，AC三条线段都有可能作为平行四边形的对角线，分类讨论，得出三种可能的结果．
15.【答案】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵AB与x轴平行且AB=2，A(a,b)，
∴B(a+2,b)，
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴D(−a−2,−b)；
当B点在A点的左边，如图2，
同理可得B(a−2,b)，则D(−a+2,−b)．
故点D的坐标为(−a−2,−b)或(−a+2,−b)．
【解析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2，根据已知条件得到B(2+a,b)，或(a−2,b)，由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类思想的应用．
16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD.∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE.∵E为BC边的中点，∴BE=CE. 在△BAE和△CFE中， ∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,BE=CE,∴△BAE≌△CFE.∴AB=CF.∴CF=CD．
(2)结论：DE⊥AF. 理由：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF.∵∠BAF=∠AFD，∴∠DAF=∠AFD.∴DA=DF.∵△BAE≌△CFE，∴AE=EF.∴DE⊥AF．

【解析】略
17.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠EAF=∠ECD，
在△AEF和△CED中，
∠EAF=∠ECDAE=CE∠AEF=∠CED，
∴△AEF≌△CED(ASA)，
∴AF=CD，
又∵AB/​/CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
(2)解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
则∠CMA=∠CMB=90°，
∵AB/​/CD，
∴∠B+∠DCB=180°，
∴∠B=180°−135°=45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴CM= 22BC= 22×8=4 2，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACM=90°−∠BAC=30°，
∴AC=2AM，
∴CM= AC2−AM2= (2AM)2−AM2= 3AM=4 2，
∴AM=4 63，
∴AC=2AM=8 63，
即AC的长为8 63．
【解析】(1)证△AEF≌△CED(ASA)，得AF=CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)过点C作CM⊥AB于点M，证△BCM是等腰直角三角形，得CM= 22BC=4 2，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=2AM，然后由勾股定理得CM= AC2−AM2= 3AM=4 2，求出AM=4 63，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】证明：连接AC，交BD于点O.如图所示：

在平行四边形ABCD中，BO=DO，AO=CO(平行四边形的对角线互相平分)．
∵AB//CD(平行四边形的定义)，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
∴BE=DF．
∴BO−BE=DO−DF，即EO=FO．
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】连接AC，由ASA证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等BE=DF，得出EO=FO，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的判定方法．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∵AE=CF，AE/​/CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB/​/CD，根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB，利用SAS证明△ABE≌△CDF；
(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF，∠AEB=∠CFD，推出∠AEF=∠CFE，根据平行线的判定定理证明AE/​/CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD=2∠BCF，
∵∠BCF=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠ABC=180°−120°=60°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABE=∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=DF．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得到AB/​/CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD=180°，根据角平分线的定义得到∠BCD=2∠BCF，于是得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABE=∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠DCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处，
∵CB=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．