专题11 三角函数图像与性质-【名校汇编】2022年高中数学名校模拟题考点汇编（新高考专用）

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1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将函数解析式化为，即求函数的单调递增区间，利用正弦型函数的单调性求解即可.
【详解】
的单调递减区间即函数的单调递增区间，令,解不等式得到，令得，，
所以是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，
故选：B
2．（2022·湖北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
先得到在上单调递减，又，再分析自变量结合单调性比较大小即可.
【详解】
因为在上单调递减，又，所以，
所以，即.
故选：B.
3．（2022·江苏·模拟预测）函数的周期为，则其单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据周期得到，解不等式得到答案.
【详解】
的周期为，故，
其单调增区间满足：，
解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角函数周期，单调性，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
4．（2022·山东·烟台二中模拟预测）若函数在区间D上单调递减，则D可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由的范围求出整体的范围，再得到的正负及单调性，依次判断4个选项即可.
【详解】
对于A，当时，，且单调递增，单调递增，错误；
对于B，当时，，且单调递减，单调递增，错误；
对于C，当时，，且单调递增，单调递减，正确；
对于D，当时，，且单调递增，单调递增，错误.
故选：C.
5．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
6．（2022·广东茂名·一模）函数在区间上的最大值为______
【答案】3
【分析】
先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为，然后求出的范围，最后求出函数的最大值.
【详解】
由题意，,而，则，所以函数的最大值为.
故答案为：3.
7．（2022·重庆八中模拟预测）（多选题）下列函数的图像中，与曲线有完全相同的对称中心的是( )
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
根据正弦、余弦、正切函数的图像，求出各个函数的对称中心，比较即可得出答案．
【详解】
设k∈Z，
对于，由；
对于A：由；
对于B：由；
对于C：由；
对于D：由；
则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．
故选：BD．
8．（2022·河北·模拟预测）请写出函数的图象的一个对称中心：______.
【答案】
【分析】
将所给的解析式转化为只含有一个三角函数的解析式即可.
【详解】

，
所以其中一个对称中心是 ，
故答案为：.
考点二：三角函数性质的简单运用
9．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先用辅助角公式化简成正弦型函数，求出正弦型函数的单调递减区间．
【详解】
，
令，解得，，
因为，所以，则，
故，解得 ，所以最大值为．
故选：B．
10．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．
【答案】，答案不唯一
【分析】
化简的表达式，结合在区间的单调性求得的一个取值.
【详解】
，
当时，，
，所以在上单调递增，符合题意.
故答案为：，答案不唯一
11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若在区间上单调递增，则实数的最大值为__________.
【答案】##
【分析】
由x∈求出的范围A，根据余弦函数单调性可知A，列出不等式组求解出a的范围即可求其最大值.
【详解】
x∈，则，
由题可知，，
则，
则a的最大值为.
故答案为：.
12．（2022·重庆八中模拟预测）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【分析】
由余弦型函数性质及最小正周期的公式计算即可得出结果.
【详解】
∵函数在单调递增，在单调递减，
设则函数的最小正周期的为，则，即.
解得：或.
故答案为：或
13．（2022·湖南·一模）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.
【详解】
因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，取最小值为.
【点睛】
函数的性质
（1）.
（2）周期
（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，
（4）由求增区间；由求减区间.
14．（2022·山东威海·三模）己知函数为偶函数，则( )
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】
∵f(x)是R上的奇函数，故可取特值求φ的值．
【详解】
∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴，
，．
当时，为偶函数满足题意．
故选：C．
15．（2022·湖北武汉·模拟预测）若是偶函数,则有序实数对()可以
是________.
【答案】
【详解】
ab≠0，
是偶函数，只要a+b=0即
可，可以取a=1，b=－1.
16．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果.
【详解】
当时，，
函数在内有且仅有三条对称轴，则有，
解得，
故选：B.
17．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．
【详解】
解：∵函数的图象关于直线对称，
，，当取最小值是，
，∵，∴，
，即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
考点三：三角函数图像变换
18．（2022·湖北·荆州中学三模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】
先将化简为，再根据三角函数的图象平移即可得出答案.
【详解】
，所以的图象向左平移个单位得：.
故选：A.
19．（2022·湖北十堰·三模）为了得到函数图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
【答案】A
【分析】
根据函数的图象的平移以及伸缩变换得到的结果，可判断A正确；按平移的单位以及图象上各点横坐标伸缩变换的倍数，可得到变换后的函数图象，写出其解析式，可判断B,C,D.
【详解】
只要将的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，即A正确；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故B错误；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故D错误；
故选：A
20．（2022·重庆·模拟预测）已知曲线：的部分图象如图所示，要得到曲线的图象，可将曲线的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【分析】
首先根据函数过点，即可求出，再根据五点作图法求出，即可得到函数解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可；
【详解】
解：因为函数过点，即，又，所以，即，又函数过点，根据五点作图法可知，解得，所以，
由向右平移个单位长度得到，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，即；
故选：A
21．（2022·辽宁·沈阳二中二模）（多选题）为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
【答案】BC
【分析】
利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.
【详解】
如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得
如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.
故选：BC
22．（2022·河北·模拟预测）已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为___________.
【答案】
【分析】
由相邻两个零点之间距离可得最小正周期，从而求得；代入可求得；根据三角函数平移变换可得结果.
【详解】
的相邻两个零点的距离为，的最小正周期，；
又，，解得：，
又，，，
.
故答案为：.
23．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】
设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.
故答案为
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性．
考点四：三角函数性质综合
24．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期是B．函数关于直线对称
C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最大值是
【答案】D
【分析】
根据函数的部分图像得出周期求出，将代入即可求出的值，进而得出的解析式，根据三角函数的性质及对称轴对称中心对应的函数值的特征进行分析即可求解.
【详解】
由函数图像可知，所以，
因为，所以，故A错误；
又函数过点，所以，所以，
解得，因为，所以，所以，，
当时，，故不是函数的对称轴，故B错误；
当时，，因为在上不单调，故C错误；
当时，，所以，故D正确；
故选：D.
25．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【分析】
由条件求出的最小正周期，由此判断A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D.
【详解】
由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
26．（2022·河北·模拟预测）（多选题）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，其中.若相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．直线是图象的一条对称轴B．直线是图象的一条对称轴
C．点是图象的一个对称中心D．点是图象的一个对称中心
【分析】
根据三角函数的性质及函数图象平移变换，再利用对称轴对称中心对应的函数值的特征进行分析即可求解.
【详解】
因为相邻两个零点之间的距离为，所以,解得,
即，解得.
因为的图象关于直线对称，
所以，解得，
，当时，.所以.
又因为函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以.
对于A，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，因为，所以点不是图象的一个对称中心，故C不正确；
对于D，因为，所以点是图象的一个对称中心，故D正确.
故选：ABD.
27．（2022·河北·模拟预测）（多选题）如图，已知函数的图象，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】
由求得，再由，求得，进而得到，再令，再由，求.
【详解】
由图可知，，.
∵，∴.
∴，
由五点作图法可知，
∴，
∴.
令，可知.
∴由图可知.
∴.
由，
有，.
故选：BCD
28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于原点对称
C．若，则
D．对，，，有成立
【答案】ACD
【分析】
利用正弦型函数的周期公式求周期判断A，利用正弦型函数的对称性可判断B，利用正弦型函数的单调性可判断C，利用正弦型函数的值域可判断D.
【详解】
∵函数的周期，所以恒成立，
故A正确；
又，所以，，所以，
所以的图象不关于原点对称，故B错误；
当时，，所以函数在上单调递增，故C正确；
因为 ，所以，故，
，又，即，
所以对有成立，故D正确.
故选：ACD.
29．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）（多选题）如图是函数的部分图象，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
先由可求得，再，可得，解得，再利用，可得，所以，，即可知A正确，B不正确，计算即可判断C、D，进而可得正确答案.
【详解】
由图知，因为，所以，
所以，
因为，
所以，解得：，
因为，所以，
所以时，可得，故选项A正确，选项B不正确，
，故选项C正确；
，故选项D不正确，
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求的值，先利用，而且是下降零点可得，解得，再结合图象可知得，求得，问题即可迎刃而解，属于常考题型.
30．（2022·山东师范大学附中模拟预测）（多选题）已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．的图象关于点对称
C．在上是增函数D．当时，函数的值域是[1，2]
【答案】BD
【分析】
先根据辅助角公式化简，然后利用已知条件求解出的值，再根据图象的变换求解出的解析式，最后利用正弦函数的性质逐项分析判断作答.
【详解】
因为，
又的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，
所以，所以，所以，
所以向左平移个单位得到，
横坐标伸长到原来倍得到，
A，为非奇非偶函数，故错误；
B，，所以的图象关于点对称，故正确；
C，因为，所以，
又因为在上先增后减，所以在上不是增函数，故错误；
D，当时，，
所以，此时；，此时，
所以的值域为，故正确.
故选：BD
31．（2022·山东师范大学附中模拟预测）（多选题）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A．为函数的一个周期B．函数的值域为
C．函数在上单调递减D．函数在内有4个零点
【答案】CD
【分析】
A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和得到周期性入手，得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.
【详解】
选项A：因为，所以A错误；
选项B、D：函数定义域为R，并且，所以函数为偶函数；因为，为周期函数，
故仅需研究函数在区间上的值域及零点个数即可，因为时，；
时，；
当时，令，
则，可得且仅一个零点；
当时，令，则，
可得且仅一个零点；
所以函数的值域为且在上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数在上，有，所以，则得函数在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
32．（2022·湖北·模拟预测）（多选题）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．，若恒成立，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且，则
【答案】ACD
【分析】
根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：由图可知，，所以，又，所以，所以，
又，且，所以，所以；
对于A：因为，所以，，所以，故A正确；
对于B：若，即，
所以或，，
即或，，故B错误；
对于C：因为关于对称，又，即，所以和关于对称，
故，所以，故C正确；
对于D：因为且，由在区间内的对称轴为可知，
，所以，故D正确；
故选：ACD
33．（2022·湖南·长沙一中一模）（多选题）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】ACD
【分析】
由题可知，，即可得到；对A，，结合正弦函数性质即可判断；对B，由即可判断；对C，即判断两相邻对称轴的距离；对D，按照图象平移原则判断即可.
【详解】
∵函数的图象关于直线对称，
∴，，
∵，∴，∴，
对于A，函数，根据正弦函数的奇偶性，因此函数是奇函数，故A正确；
对于B，由于，，函数在上不单调，故B错误；
对于C，因为，，又因为，的周期为，
所以的最小值为，C正确；
对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故D正确，
故选：ACD
34．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）（多选题）已知函数.如下四个命题
甲：该函数的最大值为；
乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；
丙：该函数图象关于对称；
丁：该函数图像可以由的图象平移得到.
有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．的值可唯一确定
C．函数的极小值点为D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【分析】
根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，由此求得函数 的解析式，故可求出的表达式，判断A;求出的值，可判断B;令令，则，判断C; 当时，求出，根据函数 的单调性，判断D.
【详解】
由命题甲：该函数的最大值为，可得；
由命题乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得；
由命题丁：由，可知，；
所以命题乙和命题丁矛盾；
若假命题是乙，则，
由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为，，
可得，
故，，不满足条件；
若假命题是丁，则，
由命题丙：该函数图象的一个对称中心为，，可得，
可得，，，可得，所以假命题是丁，
故，
则，为偶函数，A正确；
由以上分析可知，故B正确；
令，则，
因此函数极小值点为，故C错误；
当时，，此时函数 单调递减，
故在时单调，故D正确；
故选：．
35．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在单调递减
B．函数图象关于中心对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】AD
【分析】
根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可 判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误.
【详解】
由图象可得，且，故即，
而，故，
因为，故，故，
对于A，当，，
而在上为减函数，故在为减函数，故A正确.
对于B，，故为函数图象的对称轴，
故B错误.
对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C错误.
对于D，当时，，
因为函数的值域为，故，
故，故D正确.
故选：AD.
36．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；
（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.
(1)
由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
故
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.
再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
(3)
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，结合正弦函数的图象，
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
综上，
【点睛】
（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；
37．（2022·广东广东·一模）已知函数．
(1)若且，求的值；
(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
(1)化简f(x)解析式，根据求值即可；
(2)求出f(x)的最大值b，求出f(x)的单调递增区间，求出与已知区间对应的增区间A，则是区间A的子集.
(1)
，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴；
(2)
当时，，，∴，
由，，
得，，
又∵函数在上单调递增，
∴，∴，
∴，∴实数a的最小值是.
38．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】
(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.
(1)
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)
解：由已知得，
当时，，令，则，
令，则
，，，，
所以，
因为有三个不同的实数根，则，
所以，即，
所以．
39．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】
（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
(1)
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
(2)
，，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
考点五：三角函数性质的综合运用
40．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
41．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数，若存在实数，对任意的实数都有，且在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据，得到的图象关于（a,1）对称，进而得到b=1，由，得到，再根据在区间上有且仅有3个零点，由，得到范围，然后由，利用正弦函数的性质求解.
【详解】
解：因为，
所以的图象关于（a,1）对称，
所以b=1，
所以，
令，则，
即，
因为，
所以，
因为在区间上有且仅有3个零点，
所以，则，
所以，则，
所以，
即.
故选：C
42．（2022·山东省实验中学模拟预测）定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先由题求出，再根据有零点和值域，可得
，求得的取值范围.
【详解】
由，有，
又因为在上的函数有零点，
即
值域
即
所以，
从而.故选C.
【点睛】
本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.
43．（2022·辽宁·三模）（多选题）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
根据三角函数的周期性、对称性以及函数值相等与周期之间的关系可求得的值.
【详解】
本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.
故选：ACD.
44．（2022·湖南湖南·二模）设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】
先求出函数的单调区间，根据题意得出参数的范围，设，则，由，得出函数在上的零点情况出答案.
【详解】
由，，得，，
取，可得.若在上单词递增，则，
解得.若，则.
设，则，因为
所以函数在上的零点最多有2个.
所以在上的零点最多有2个.
故选：A
45．（2022·山东·济南一中模拟预测）（多选题）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】
由图像平移可得，分析，，可得为偶函数，结合范围可得，代入，分析即得解
【详解】
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故函数
对，，即，
故为偶函数，所以，，
又，所以，
故
，所以，，
，所以，，
可得和均为的奇数倍，故的可能取值为，．
故选：AC
46．（2022·福建·厦门一中模拟预测）（多选题）已知函数，，若存在，使得对任意，，则（ ）
A．在单调递增
B．，，
C．，使得在上有且仅有1个零点
D．若在单调，则
【答案】AD
【分析】
先借助辅助角公式得，由分段函数得，再结合正弦函数的单调性、最值及零点依次判断即可.
【详解】
由题意得：，其中，则的最小正周期为，
由存在，使得对任意，，可得，则在单调递增，A正确；
，则，则，，，B错误；
由上知：，的最小正周期为，则在上，，，故不存在，使得在上有且仅有1个零点，C错误；
由，的最小正周期为知，，故在上单增，
在上单减，且在上，故在上单减，则，D正确.
故选：AD.
47．（2022·福建·模拟预测）（多选题）已知函数，其中.对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期小于
B．函数在内不一定取到最大值
C．
D．函数在内一定会取到最小值
【答案】AD
【分析】
先根据在区间上至少能取到两次最大值可得，据此可得，从而可得判断AB的正误，再根据的范围可得判断CD的正误，注意范围的进一步探究.
【详解】
由题意可知，，即A正确；
因为，所以，
则当时，，
又，，
所以函数在上一定有最大值点，即B错误；
由题意可知，任意，总存在，使得：
，故，
整理得，
可得，，即C错误；
当时，，
又因为，，故，
所以函数在上一定有最小值点，即D正确.
故选：AD.
【点睛】
思路点睛：对于含参数的正弦型函数问题，注意根据最值的特征合理刻画函数的性质，从而得到参数的取值范围内，此类问题，整体法是处理此类问题的基本策略.
48．（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中，已知点，若将点绕原点按顺时针旋转弧度，得到点，记，，则下列结论错误的有（ ）
A．
B．不存在，使得与均为整数
C．
D．存在某个区间，使得与的单调性相同
【答案】BC
【分析】
利用三角函数的定义求出点的坐标，进而可得出与的表达式，结合三角函数恒等变换与三角函数的基本性质可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，即为角终边上一点，，
，，
，A对；
对于B选项，当时，，，，都为整数，B错；
对于C选项，
，C错；
对于D选项，，
由，可得，在上单调递减
由，可得，所以，在上单调递减，
因为，所以，当，时，与都在上单调递减，D对.
故选：BC.
49．（2022·湖南·岳阳一中一模）（多选题）已知函数，，若存在，使得对任意，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，
B．存在，使得
C．存在，使得在上有且仅有1个零点
D．存在，使得在上单调递减
【答案】AD
【分析】
应用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，是的最大值点，由周期得是最小值点，这样易判断AB，根据的定义，利用正弦函数性质得出在上递减，在上递增，时，，由此判断CD．
【详解】
，其中，，为锐角，
恒成立，则是的最大值，是其函数图象的一条对称轴，因此，A正确；
的周期是，因此是最小值点，B错；
，则时，，时，，
所以时，，，在上恒为0，有无数个零点，C错；
由的定义知其在上递减，在上递增，
所以当时，，D正确．
故选：AD．
50．（2022·湖南·雅礼中学一模）（多选题）设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ ）．
A．在有且仅有3个极大值点B．在有且仅有2个极小值点
C．在单调递增D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据在有且仅有5个零点，可得，解出，可判断D，由，得，而要在单调递增，从而可得，进而可求出的范围，可判断C
【详解】
解：当时，，
因为在有且仅有5个零点，
所以在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A正确，B错误；
因为，所以，所以D正确；
当时，，
若在单调递增，则，得，而，所以C正确，
故选：ACD
【点睛】
此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题
51．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若对于任意的，都有成立，则
B．若对于任意的，都有成立，则
C．当时，若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，若对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】
由题可得恒成立，利用三角函数的性质可判断A，利用函数的周期的含义可判断B，利用正弦函数的单调性可判断C，由题可得，进而可判断D.
【详解】
对于A，对于任意的，都有成立，
所以恒成立，又，，
∴，故A正确；
对于B，由题可得是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为，故B错误；
对于C，当时，当时，，
则，，故，故C正确；
对于D，当时，当时，，
由在上至少有两个零点，
则，即，故D正确.
故选：ACD.
52．（2022·江苏·金陵中学二模）已知函数，则的最小正周期为___________；当时，的值域为___________.
【答案】
【分析】
先根据函数周期性的定义说明是函数的一个周期，在利用导数说明函数的单调性，从而证明是最小正周期；
根据函数的单调性可求得最大值，再比较时端点处的函数值大小，即可求得答案.
【详解】
因为，
故为的一个周期,
而当时，，
由题意可知，
令，得，故，，
因为当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为π，
且在上的最大值为，而，，
故，故当时，函数的值域为,
故答案为：；
考点六：三角函数应用
53．（2022·重庆八中模拟预测）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）
A．B．πC．D．2π
【答案】B
【分析】
利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数.
【详解】
由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，可得.
故选：B
54．（2022·福建福州·模拟预测）已知P是半径为的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系，若，则点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式.
【详解】
设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则.
故选：D.
55．（2022·河北石家庄·模拟预测）（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面米时用时25秒
【答案】BCD
【分析】
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.
【详解】
解：由题意，角速度弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，
由，所以，
又角速度弧度/秒，时，，所以，，
所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；
将代入中，得，或，即，或．
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．
故选：BCD．
56．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）（多选题）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【答案】BC
【分析】
易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.
【详解】
解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选:BC.
【点睛】
关键点睛:
本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.