专题02 高一上期末真题精选（压轴66题 7个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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【题型1】集合及其运算中的新定义题（1类考点）
【题型2】一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）
【题型3】二次函数的最值问题（2类考点）
【题型4】根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）
【题型5】双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）
【题型6】指数函数与对数函数（2类考点）
【题型7】三角函数（4类考点）
01集合及其运算中的新定义题（1类考点）
考点01 集合及其运算中的新定义题
1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【详解】对于①，因为，而，
所以集合不是好集，故①错误；
对于②，因为集合为“好集”，
所以，
所以，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
2．（2023上·辽宁本溪·高一校考期末）设P和Q是两个集合，定义集合且.如果，，那么=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题，，
则.，
则.则由题中所给定义有：.
故选：A
3．（2021·浙江·高一期末）设为不超过的最大整数，记函数，，的值域为，集合是集合的非空子集，对于任意元素，如果，且，那么是集合的一个“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一个“孤立元素”的集合恰好有6个，则正整数的可能值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，；
不满足题意，故选项A不正确；
当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，，；
不满足题意，故选项B不正确；
当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，，，，
，，
满足题意，故选项C正确；
当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，，，，
，，，
， ，，
，，，
共个满足条件的集合，
不满足题意，故选项D不正确；
故选：C.
4．（2021上·江苏苏州·高一统考期末）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作.若，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，∴．
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确判断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】对①：取，，满足，
但，，，故①错误；
对②：若，由函数定义可得，
所以，故②正确；
对③：取，，满足，
但，，，故③错误；
对④：假设，且，
则存在，则所以所以，
且，
若，则，所以，所以，矛盾，假设不成立；
若，则，矛盾，假设不成立；
所以若，则，故④正确.
故选：B.
02一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）
考点01 一元二次不等式中的恒成立问题
1．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】∵，，则，
∴，
又∵，且，
可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
∵的开口向下，对称轴，
则当时，取到最大值，
故实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：
对，恒成立，等价于；
对，恒成立，等价于.
2．（2023下·河南新乡·高一统考期末）“”是“对任意，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，即，所以，
由，恒成立，
即在上恒成立，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为真包含于，
所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2023上·江西新余·高一统考期末）已知，且，满足，若对于任意的，均有成立，则实数t的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】已知，，且，满足，
则，
即，
所以
又，则，则有，即，
所以若对于任意的，均有成立，
即，对于任意的恒成立，
当时，，当时等号成立，即得，
所以实数t的最大值是.
故选：A.
4．（2023上·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考期末）已知函数，当时，恒成立，则的最大值为 .
【答案】2
【详解】函数，对恒成立，令，则或，故，得，当时，满足，则的最大值为2.
故答案为：2
6．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.
(1)证明是增函数；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，且，
，
因为，函数在上单调递增，所以，
又，故，即.
因此，是增函数.
（2）由不等式得，
整理得，
令，即，
即，
因为，所以，，
所以要使原不等式恒成立，则有，
即，，
故的取值范围是
考点02 一元二次不等式中的能成立问题
1．（2022上·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，
①若，即或，
当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；
②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；
③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，
若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，
即，解得，
即满足条件时；
综合①②③可得，实数的取值范围为
故答案为：
2．（2019上·陕西商洛·高二校考期末）若关于的不等式的区间内有解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】不等式在区间内有解等价于，
因为函数在上单调递减，在单调递增，，
所以的值域为，所以，
故答案为：.
3．（2020上·山东威海·高一统考期末）若，使不等式成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，由可得，
则问题等价于存在，，
分离参数可得
若满足题意，则只需，
令，令，
则，容易知，
则只需，整理得，
解得.
故答案为：.
4．（2022上·四川南充·高一统考期末）已知函数.
(1)若不等式的解集为或，若不等式的解集；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）不等式，即，由于，
所以，其解集为或，
所以，且，解得，
所以不等式即，
即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，，使得成立，
，使得成立，由于，
所以，
由于函数的开口向下，对称轴为，
所以，
即的取值范围是.
5．（2022下·河北衡水·高二河北武强中学统考期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2
(2)(－∞，－2)
【详解】（1）由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．
（2）因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m