专题10 三角函数（三角恒等变换，函数y＝Asin(ωx＋φ），三角函数的应用（考点清单）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29106" 一、思维导图 PAGEREF _Tc29106 \h 2
\l "_Tc4500" 二、知识回归 PAGEREF _Tc4500 \h 3
\l "_Tc13341" 三、典型例题讲与练 PAGEREF _Tc13341 \h 5
\l "_Tc30947" 考点清单01：给角（值）求值 PAGEREF _Tc30947 \h 5
\l "_Tc19616" 【考试题型1】给定角或者三角函数值，求三角函数值 PAGEREF _Tc19616 \h 5
\l "_Tc13737" 考点清单02：给值求角 PAGEREF _Tc13737 \h 6
\l "_Tc11903" 【考试题型1】给定三角函数值，求角 PAGEREF _Tc11903 \h 6
\l "_Tc17953" 考点清单03：两角和差公式逆应用 PAGEREF _Tc17953 \h 7
\l "_Tc24318" 【考试题型1】逆用两角和差公式 PAGEREF _Tc24318 \h 7
\l "_Tc649" 考点清单04：三角函数图象变换 PAGEREF _Tc649 \h 7
\l "_Tc25905" 【考试题型1】三角函数图象平移，伸缩变换 PAGEREF _Tc25905 \h 7
\l "_Tc20047" 考点清单05：根据图象求三角函数解析式 PAGEREF _Tc20047 \h 8
\l "_Tc13546" 【考试题型1】看图求解析式 PAGEREF _Tc13546 \h 8
\l "_Tc23463" 考点清单06：函数的图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc23463 \h 10
\l "_Tc22129" 【考试题型1】恒（能）成立问题 PAGEREF _Tc22129 \h 10
\l "_Tc23811" 【考试题型2】零点个数问题 PAGEREF _Tc23811 \h 11
\l "_Tc22701" 【考试题型3】零点代数和问题 PAGEREF _Tc22701 \h 13
一、思维导图
二、知识回归
知识点01：两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,是任意角.
知识点02：两角和与差的正弦公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,是任意角.
知识点03：两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,，，，.
③变形结论：
知识点04：二倍角的正弦、余弦正切公式
①
②；
；
③
知识点05：半角公式
①
②
③
知识点06：辅助角公式：
(其中)
知识点07：五点法作图
知识点08：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
三、典型例题讲与练
01：给角（值）求值
【考试题型1】给定角或者三角函数值，求三角函数值
【解题方法】拼凑角，二倍角公式
【典例1】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）已知 是第一象限角， 满足， 则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【专训1-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知且，则 ．
【专训1-2】（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，则 .
02：给值求角
【考试题型1】给定三角函数值，求角
【解题方法】拼凑角，二倍角公式
【典例1】（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知.
(1)若，求的值；
(2)若且，求的值.
【专训1-1】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则 .
【专训1-2】（2023·全国·模拟预测）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
03：两角和差公式逆应用
【考试题型1】逆用两角和差公式
【解题方法】利用两角和差公式
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）化简：．
【典例2】（2023上·山东泰安·高三统考期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
【专训1-1】（2023下·辽宁·高二统考学业考试）的值是（ ）
A．B．C．D．
【专训1-2】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）化简（ ）
A．8B．1C．2D．4
04：三角函数图象变换
【考试题型1】三角函数图象平移，伸缩变换
【解题方法】平移，伸缩规律
【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【典例2】（多选）（2023·河北·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【专训1-1】（2020·全国·高三专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A．B．
C．D．
【专训1-2】（2023下·北京顺义·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
05：根据图象求三角函数解析式
【考试题型1】看图求解析式
【解题方法】根据三角函数图象特征
【典例1】（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的表达式：
【典例2】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【专训1-1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上的图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
06：函数的图象与性质的综合应用
【考试题型1】恒（能）成立问题
【解题方法】最值法
【典例1】（2023上·福建·高三校联考期中）已知函数.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【典例2】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知在区间上最大值为6.
(1)求单调增区间；
(2)当时，关于不等式有解，求实数取值范围.
【专训1-1】（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，且的最小值是.
(1)求函数的解析式;
(2)已知实数满足，且对恒有，求的最小值.
【专训1-2】（2023上·福建·高三校联考阶段练习）已知函数的图象经过点，且图象相邻的两条对称轴之间的距离是.
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.
【考试题型2】零点个数问题
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.

(1)求的解析式，并求出的单调递减区间；
(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【典例2】（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
【专训1-1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.
(1)求的值；
(2)求的对称轴；
(3)若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
【专训1-2】（2023上·四川成都·高二校考开学考试）已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
【考试题型3】零点代数和问题
【解题方法】图象法
【典例1】8．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.
(1)
求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
【典例2】（2023上·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．

(1)求与的解析式；
(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．
【专训1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及最大值；
(2)当时，求的所有解之和．
【专训1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,