北京市第十五中学2023—2024学年九年级下学期开学考试数学试卷

这是一份北京市第十五中学2023—2024学年九年级下学期开学考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共40分，每题2分)
1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是( )
2. 在平面直角坐标系中，点A(3，-4) 关于原点对称的点的坐标是( )
A.(3, 4) B. (3, -4) C. (-3, -4) D.,(-3, 4)
3. 小云从正面观察三星堆青铜太阳轮(如图所示)，发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的. 图中角α的度数为( )
A. 60° B. 70° C. 72° D. 75°
4.在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'C'D',(所有顶点都是网格线交点), 在网格线交点 M, N, P, Q中, 可能是旋转中心的是( )
A.点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q
5. 若x=3是关于x的方程. 的一个根，则m的值是( )
A. -15 B. -3 C. 3 D. 15
6.北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )

C. 7000(1+2x)=8470
7. 若抛物线. 经过点(0,2), 则c的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -2
8. 抛物线 的顶点坐标是( )
A.(1, -2) B.(1, 2) C.(-1, -2) D.(-1, 2)
9. 在平面直角坐标系xOy中n 抛物线 如图所示，则关于x的方程 的根清况为
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根
D. 没有实数根
10. 关于二次函数 下列说法正确的是( )
A. 当x=1时, 有最小值为2 B. 当x=1时, 有最大值为2
C. 当x=-1时, 有最小值为2 D. 当x=-1时,有最大值为2
11. 下列关于函数 的结论中，正确的是( )
A. y随x的增大而减小 B. 当x>0时, y随x的增大而增大
C. 当x<0时, y随x的增大而增大 D. 当x>0时, y随x的增大而减小
12. 把抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移5 个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )


13.如图, AB为⊙O的直径, 弦CD交AB于点E, BE=BC. 若∠CAB=40°, 则∠BAD的大小为ˊ )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 65°
14. 如图, 正方形 ABCD的边长为6,且顶点A,B,C,D都在⊙O 上,则⊙O的半径为( )
A.3 B.6
15. 如图, AB 是⊙O的弦, 若⊙O的半径OA=5, 圆心O 到弦AB的距离OC=3, 则弦AB的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
16.如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°. 若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是 ( )
A.
17.在下列事件中，随机事件是 ( )
A.投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6
B.从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
C.通常情况下，自来水在10℃结冰
D.投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2
18. 下列事件中，是不可能事件的是( )
A.一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1-6 的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D.在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
19.不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别. 随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是( )
A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球
C. 3 个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球
20.不透明盒子中有6张卡片， 除所标注文字不同外无其他差别. 其中， 写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张.写有“人工种子”的卡片有5张 .随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为( )
A. B. C. D.
二、解答题(共30分，每题6分)
21. 已知关于x的方程. 有两个不相等的实数根.
(1) 求n的取值范围;
(2) 若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值.
22. 已知一次函数y₁=mx+n (m≠0) 和二次函数. 下表给出了y₁ ，y₂与自变量x的几组对应值：
(1) 求y₂的解析式;
(2) 直接写出关于x的不等式 的解集.
23. 某班开展 “讲数学家故事”的活动. 下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片 A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事.
(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.
24.小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立.他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证.
已知: 如图, 在四边形ABCD中, ∠B+∠ADC=180°.
求证: 点A, B, C, D在同一个圆上.
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O，再证明第四个顶点 D 也在⊙O上.
具体过程如下：
步骤一 作出过A、 B, C三点的⊙O.
如图1, 分别作出线段AB, BC的垂直平分线m, n,设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O.
连接 OA, OB, OC,
∴OA=OB 、 OB=OC (① ). (填推理依据)
∴0.4=OB=OC.
∴点B, C在⊙O上.
步骤二 用反证法证明点D也在⊙O上.
假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外。
i 如图2, 假设点D在⊙O内.
延长CD交⊙O于点D₁, 连接AD₁,
∴∠B+∠D₁=180° (②). (填推理依据)
∵∠ADC是△ADD₁的外角,
∴∠ADC=∠DAD₁+∠D₁(③ ). (填推理依据)
∴∠ADC>∠D₁.
∴∠B+∠ADC>180°.
这与已知条件∠B+∠ADC=180°矛盾.
∴假设不成立. 即点D不在⊙O内.
ii如图3, 假设点D 在⊙O外.
设CD与⊙O交于点D₂, 连接AD₂,

∵∠AD₂C 是△AD₂D的外角,


∴∠B+∠ADC<180°.
这与已知条件∠B+∠ADC=180°矛盾.
∴假设不成立. 即点D不在⊙O外.
综上所述，点D在⊙O上.
∴点A, B, C, D在同一个圆上.
阅读上述材料，并解答问题：
(1) 根据步骤一，补全图1(要求：尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)填写推理依据: ① ,② ,③ .
25.如图. AB 是⊙O的直径, AB=BC,AC 交⊙O于点D,点F 在OD的延长线上且
(1) 求证: AF 是⊙O的切线;
(2) 若AF=8, DF=4, 求AC的长.
第二部分 自主学习
一、选择题(共12分，每题2分)
26.下列几何体中，主视图为右图的是( )
27.右图是某几何体的三视图，该几何体是( )
(A) 长方体 (B) 三棱柱
(C) 圆锥 (D) 圆柱
28.平面直角坐标系xOy中, 若点A(x₁,2)和B(x₂,4)在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是( )

29.如图, 在平行四边形ABCD中, E是 BC边上的点, 连接AE交 BD 于点F, 若 EC=2BE, 则 BF:FD 的值是( )
(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 1:4 (D) 1:5
30.如图,在△ABC中,点D, E分别在边 AB, AC上,且DE∥BC, 若 AD=2,DB=3, △ADE的面积是 2,则△ABC的面积是( )
(A) 3 (B) 4 (C) 8 (D) 12.5
31.如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC. 已知灯杆PO高为5m，树影AC长为3m，树AB与灯杆PO的水平距离AP为4.5m, 则树AB 的高度为( ) m.
(A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 4.5
二、解答题(共 18分, 每题6分)
32.如图, 直角三角形ABC,
(1)写出其中三角函数是哪些边的比：

(2)若 直接写出三角函数的值：

33.在平面直角坐标系xOy中， 反比例函数 的图象经过点(-1,3).
(1) 求这个反比例函数的解析式：
(2)当x<-1时，对于x的每一个值，函数y=-x+n的值大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围： 、
34.如图, 在矩形ABCD中, 点E在边AD上, 于点F.
(1) 写出图中一对相似但不全等的三角形： ，并进行证明：
(2)若 求DE 的长.
第三部分 拓展提高(附加题，共20分)
35. 总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限)
36. 已知 H为射线OA上一定点， P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点, 连接 PM, 满足. 为钝角，以点P 为中心，将线段 PM顺时针旋转 得到线段PN，连接ON.
(1) 依题意补全图1;
(2) 求证:
(3) 点 M关于点H的对称点为Q，连接QP. 写出一个 OP的值，使得对于任意的点 M 总有( 并证明.
37. 在 中, D, E分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在 的内部或边上，则标DE为△ABC的中内弧. 例如, 下图中DE是 的一条中内弧。
(1) 如图,在 中, D, E分别是AB, AC的中点. 画出△ABC的最长的中 内弧DE，并直接写出此时DE的长；
(2) 在平面直角坐标系中，已知点，A(0,2), B(0,0), C(4t,0)(t>0),在 中, D, E分别是AB, AC的中点.
①若 求 的中内弧 所在圆的圆心 P的纵坐标的取值范围；
②若在 中存在一条中内弧 使得 所在圆的圆心P在 的内部或边上，直接写出t的取值范围.
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
..
y₁
…
5
4
3
2
1
0
-1

y2
…
-5
0
3
4
3
0
-5