安徽省合肥市包河区智育联盟2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份安徽省合肥市包河区智育联盟2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案：C.
【点睛】本题考查了平移规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.
3. 如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，易得，利用相似三角形的性质，即可．
【详解】，
，，
，
，
，
，
．
故选择：D．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，会用方法证明两个三角形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段比、周长比，面积比等问题．
4. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可．
【详解】解：如图所示，
在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,
∴AC== =5
∴= = .
故选D.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．
6. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A. 12 cmB. 10 cmC. 8 cmD. 6 cm
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接AB、OA、OC，OA交AB于E，由切线性质可得OC⊥CD，由AB//CD可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AE的长，在△OAE中，利用勾股定理列方程可求出OA的长，进而可得铁球的直径.
【详解】如图，连接AB、OA、OC，OA交AB于E，
∵CD是⊙O的切线，C点为切点，
∴OC⊥CD，
∵AB//CD，
∴OC⊥AB，
∵AB=8，
∴AE=AB=4，
∵OA=OC，CE=AD=2，
∴在Rt△OAE中，OA2=AE2+（OA-CE）2，即OA2=42+（OA-2）2，
解得：OA=5，
∴铁球的直径=2OA=10.
故选：B.
【点睛】本题考查切线的性质及垂径定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
7. 定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
8. 若实数满足，且，则与的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质：通过观察4个选项的共性：二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，即，结合，与的条件，进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，
∴，
∵
∴排除选项；
当时，
∴，故错误；
当时，，
故选．
9. 为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若切于点，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确．
【详解】解：连接，
∵平分，
∴设，
若，
∴，
则，选项A正确，不符合题意；
若，又∵，
∴，
∴，选项B正确，不符合题意；
若切于点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，选项D正确，不符合题意；
连接，假设成立，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，即，
∴切于点，
而题设并没有是的切线这一条件，
∴假设不成立，选项C不正确，符合题意．
故选：C．
10. 当时，函数的值记为，已知函数，若，且，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．由抛物线的对称轴得到，推出，再整体代入，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴
．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了米，则汽车上升了______米．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．设汽车上升的距离米，根据坡度的概念用表示出汽车行驶的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设汽车上升的距离米，
斜坡坡度，
汽车行驶的水平距离米，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
则汽车上升的距离是米，
故答案为：20．
12. 如果，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】将进行变形为，从而可求出的值.
【详解】∵
∴
故答案为
【点睛】本题主要考查代数式的求值，能够对原式进行适当变形是解题的关键.
13. 如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，正确求出点A的坐标是解答本题的关键；
根据点D到x轴的距离为3，求出坐标，图象经过点C和边的中点D，求出B的纵坐标，延长交y轴E于，作轴于F，根据平行四边形的性质，证明，得出,在求出，利用平行四边形面积公式得出答案；
【详解】点D到x轴的距离为3，
点D的纵坐标为3，
点D的纵坐标代入得：

点D的坐标为
点D为AB中点，
点B的纵坐标为6，
四边形为平行四边形，
点C的纵坐标为6，
点C的纵坐标代入 ，
，
，
延长交y轴E于，作轴于F，
，，
，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36
14. 在中，是边上一点，与交于点．
（1）如图1，若于，则的值为______．
（2）如图2，若，已知．则的长为______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点作于点，证明，即可解题；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，得出，然后推导，得到，即可解题．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
∵，
，
又，，
∴
又∵，
，
，
；
故答案为：；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入计算即可.
【详解】
＝
＝.
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握相关特殊角的三角函数值是解题关键.
16. 已知二次函数．
（1）将二次函数化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）
（2）图象见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了画二次函数图像，求二次函数的顶点式，根据图像求二次函数的自变量取值范围，对于（1），配方得出顶点式即可；
对于（2），先求出图像的顶点坐标，与x轴交点坐标，并画出图像，再根据图象在x轴下方时函数值小于0得出答案．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由（1）得顶点坐标是；
当时，，，
可知抛物线与x轴的交点是，．
画出图像如图所示．
当时，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）以为旋转中心，将顺时针旋转得到，并写出点的坐标；
（2）以为位似中心，在第一象限内作出的位似图形，且与的位似比为．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作旋转图形，旋转的性质，作位似图形．熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图求解即可；
（2）根据位似性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求，由旋转的性质可得，点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图1，即为所求．
18. 周末，数学探究小组利用无人机在合肥园博园开展测量信标塔高度的活动，此时无人机在高出地面80米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为．测得信标塔顶点处的俯角为，操控者和信标塔的距离为102米，求信标塔的高度（结果保留整数，参考数据：）．
【答案】60米
【解析】
【分析】本题考查了仰角和俯角的应用，过点D作于E，过点C作于F，构造出直角三角形，并正确解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于E，过点C作于F，
由题意得，，，，
在中，，
∴（米）
∴（米）
∵，
∴四边形为矩形，
∴（米）
在中，，，
∴（米）
∴（米）
∴信标塔的高度为约为60米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知：菱形中，为中点，交于，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质：
（1）根据菱形的性质可得，再由，可得， 从而得到，即可；
（2）设，则，证明，即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
20. 悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式；
（2）距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题．
（2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为，
由题易知，四边形为矩形，
，
点距离桥面为，，
，
平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴，
，
C点坐标为，P点坐标为，
将，代入中，
得 ，解得．
主索抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，此时吊索的长度为（），
由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为．
同理，时，，此时吊索的长度为（），
时，此时吊索的长度也为．
四根吊索的总长度为．
六、（本题满分12分）
21. 如图，是的直径，点是圆上一点，点是半圆的中点，连接交于点，过点作的切线交延长线于．
（1）求证：；
（2）若，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
（1）如图，连接．根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，．由是的切线可得，从而得出，于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接．
∵点D是半圆的中点，
∴
∴．
∵，
∴．
又∵是的切线
∴
即
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：，
中，，
，
，
，
．
，
．
．
．
七、（本题满分12分）
22. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．
（1）求该函数的解析式．
（2）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数解析式，将点和点代入二次函数中求解，即可解题．
（2）本题考查二次函数的最值，以及平移规律，根据顶点始终在二次函数上，得到顶点坐标为，得到平移后的解析式，根据直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q，表示出，再根据二次函数的最值，即可解题．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点和点，
，解得，
该函数的解析式为；
【小问2详解】
解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，
顶点坐标为，故平移后的解析式为，
，
直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q，
（），
，
当时，长的最大值为．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）连接，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键．
（1）先证明，再证明，再由全等三角形的性质可得结果；
（2）由可得，设，由可得 ，再代入求得x的值，最后由勾股定理求得结果；
（3）先证明，再证明，可得，设，列出方程求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∵
∴
又∴，，
∴
∴
∴；
【小问2详解】
由（1）知
∴
设
∵
∴
∴
解得
在中，，，
∴；
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
解得
∴．x (单位：m)
y (单位：m)
3.05