广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。

（考试形式：闭卷考试时间：120分钟 分值：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器． 考AF试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：对于A选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于C选项，是中心对称图形，符合题意；
对于D选项，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决本题的关键；您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载根据一元二次方程的概念进行判断即可；
【详解】解：A、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；
B、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；
C、选项中未知数出现在分母里，不是整式方程所以不是一元二次方程；
D 、选项中未知数只有一个并且未知数的次数最高为2次，所以是一元二次方程；
故选：D．
3. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可．
【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交；
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，点与点关于（ ）
A. 原点中心对称B. y轴轴对称
C. x轴轴对称D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断．
【详解】解：∵点与点横坐标和纵坐标都互为相反数，
∴与点关于原点中心对称，
故选：A
【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键．
5. 方程 的解是（ ）
A. ，B. C. ，D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法，由题意可得或，解方程即可得到答案．
【详解】解：，
或，
解得：，，
故选：C．
6. 如图，点A，B在上，点C是劣弧的中点，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查圆周角定理，由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵点C是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7. 布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各两个，从中摸出一个颜色为黄颜色球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单概率公式，利用黄色球的个数除以总球数即可作答．
【详解】∵总球数为：（个），黄色球有2个，
∴．
故选：C．
8. 如图，，，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为，半径是的弧长，即可求解；掌握弧长公式：，能将所求弧长之和转化为圆心角为，半径都是的弧长是解题的关键．
【详解】解：，
且，，两两不相交，且半径都是，
三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为，
半径是的弧长，
三个阴影扇形的弧长之和为：
，
故选：B．
9. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，结合，可求得，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到，
由旋转的性质，可得，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
10. 如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
由垂径定理得，再由勾股定理得,进而完成解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦AB的长为．
故选：C．
11. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨元，销售利润为元，可列函数为：．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）
A. 表示涨价后商品的单价B. 表示涨价后少售出商品的数量
C. 表示涨价后商品的数量D. 表示涨价后商品的单价
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为元，涨价后销量为件，再根据利润等于售价减去进价得出涨价后每件利润为元即可．
【详解】解：A、表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意；
B、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨元后，表示涨价后少售出商品的数量，故本选项符合题意；
C、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出件，则涨价后的商品数量为件，故本选项符合题意；
D、由题可知，每件商品原价为30元，涨元后单价为元，故本选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的计算公式是本题的重点．
12. 如图，点P为正方形的外接圆O的上一点，连接，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，延长到E，使，连接，先根据圆内接四边形对角互补以及平角的定义得到，进而证明得到，由此证明是等腰直角三角形，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使，连接，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 抛物线的顶点坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解．
【详解】解：在抛物线中，，
∴其顶点坐标是，
故答案为：
14. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
15. 如图，边长为6的正方形的边上有一点，若线段绕点顺时针旋转与线段重合，则四边形的面积______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，根据正方形的性质得到，，再由旋转的性质得到，由此推出，则可证明得到，据此可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
16. 抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____
【答案】-1＜x＜3
【解析】
【分析】由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与-1对应的点是3．观察图象可知y＞0时x的取值范围．
【详解】解：该函数的对称轴是x=1，则x轴上与-1对应的点是3
观察图象，当y＞0时，-1＜x＜3．
故答案为-1＜x＜3
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
17. 用一个圆心角为半径为6 的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长．设圆锥底面圆半径为r，依题意，，解方程即可作答．
【详解】设圆锥底面圆半径为r，依题意，，
解得：
故答案为：2．
18. 如图，在 中，经过点C且与边相切的动圆与，分别相交于点P，Q，则线段长度的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，得到为圆F的直径，进而得到，又由，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，
∵圆F与相切，
∴，
∵在中，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，为圆F的直径，
∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
或，
所以．
21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在直角坐标系中，点．

（1）把向上平移5个单位长度后得到对应的，画出，并写出点的坐标；
（2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，的坐标为
（2）图见解析，的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得出，由图写出的坐标；
（2）利用中心对称性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得出，由图写出的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
，
由图可得：的坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求，
，
由图可得：的坐标为．
【点睛】本题主要考查了作图—平移变换、旋转变换，坐标与图形，熟练掌握平移变换的性质、中心对称的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
22. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．
（1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？
（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，
小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红，
结果变红的概率：；
【小问2详解】
解：将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作，列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果，
1瓶变红、1瓶不变色概率为：．
【点睛】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
23. 下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，及圆外一点P．
求作：过点P作的一条切线．
作法：①连接；
②作的垂直平分线，交于点A；
③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；
④作直线．
即直线为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中，可以得到______；依据：____________．
【答案】（1）见详解，
（2）90，圆周角定理的推论．
【解析】
【分析】此题考查了作图、切线的判定定理、圆周角定理的推论，准确作图和熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
（1）按照作图步骤补全图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：∵是直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．
24. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
【答案】（1）3；
（2）点M到地面的距离为2.25米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解．
【小问1详解】
由题意得，抛物线的对称轴为，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴点，
当时，，
故答案为：3；
【小问2详解】
设抛物线表达式为，
将点A的坐标代入上式得，
解得，
∴抛物线的表达式为，
当时，（米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
25. 如图，点 和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，，作的外接圆，点在点右侧，，过点作直线，过点作于点，交右侧的圆弧于点，在射线上取点，使，以，为邻边作矩形，设．
（1）用关于的代数式表示______，_______；
（2）当点在点 右侧时，若矩形的面积等于90，求的长．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，，，应用勾股定理，即可求出，由垂径定理，和矩形，即可求出，结合，即可求出，
（2）先求出中位线，进而求出和，根据矩形面积公式，列出关于的一元二次方程，解出的值，即可求出，
本题考查了，勾股定理，垂径定理，矩形的性质，中位线的性质，解题的关键是：结合图形，逐一求出线段长度．
【小问1详解】
解：在中，
，，
，
，
，，，
，四边形是矩形，
，，，
，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：，，，
，
是中点，是中点，
，
，
又，
，
矩形的面积，
解得：，（舍），
，
故答案为：的长是．
26. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且．
（1）求平移后抛物线的表达式；
（2）如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标．
【答案】（1）；
（2）是正方形，理由见解析；
（3）、、、．
【解析】
【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：，得到点M、N的坐标，进而求解；
（2）由题意得到，，，，证明四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形，由，即可得出结论；
（3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解．
【小问1详解】
解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：，
则点M的坐标为：，
当时，，即点，
则，
解得：（舍去）或，
则平移后的抛物线表达式为：；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
根据题意可得，，，，
记与交于点G，则，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
【小问3详解】
解：设，，，
可得，，，
①，，即，
解得，（舍去0），
；
②，，
解得，，
或；
③，，
解得，
；
综上，点A的坐标是、、、．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键．