山西省运城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山西省运城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了 考试结束后，务必将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.
2. 答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在试卷相应位置上.
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4. 考试结束后，务必将答题卡交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑.）
1. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以判断各个选项是否正确．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∵，故选项A不符合题意；
故选项B不符合题意，
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意，
故选：D．
2. 如图所示的钢块零件的左视图为（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握从左面看到的平面图形是左视图是解本题的关键，画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：从左面看是一个长方形，中间看不到的水平的棱为虚线，
故选：B．
3. 一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法的基本步骤，熟练掌握配方的基本要领是解题的关键．
【详解】，
，
，
，
故选B．
4. 下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A. 晚上人走在路灯下的影子B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子D. 阳光下旗杆的影子
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
5. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把第二个转盘分为相同的三部分：一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一个为红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：重新划分如下：

画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，
所以可配成紫色的概率，
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
6. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．
【详解】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
7. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．
根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答．
【详解】解：过点A作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设，
，
∵，，
解得，
∴，
则
∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2．
故选：D．
8. 如图，在矩形中，，，作对角线的垂直平分线，垂足为G，交于点F，过点G作，垂足为H，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
由矩形的性质得，，再运用勾股定理可得，再根据垂直平分线的性质可得、；再证明可得，然后证明可得，最后代入计算即可．
【详解】解： ∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵对角线的垂直平分线，垂足为G，交于点F，
∴、,
∵，
∴，
∴，
∴，即，即
∵，
∴,
∵
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故选：B．
9. 小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（ ）
图1图2
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和七巧板的特点．
延长，过点作于点，根据七巧板的特点求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：延长，过点作于点，如图所示：
根据七巧板的特点可知，为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
故选：B．
10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ）
A. ①②③④B. ②③④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．
根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
，
图象与y轴交点在y轴负半轴，
，
，①错误；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
∴方程的两个根是，；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y的值随x增大而增大；
∴当时，y的值随x增大而增大；
故③正确，
抛物线对称轴为，，，
点比点到对称轴的距离相等，
，故④正确；
综上可知，正确的有②③④．
故选B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 抛物线的顶点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标即可
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标是；
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12. 若，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了比例的应用和分式的化简，根据比例设，且，再代入分式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴可设，且，
∴，
故答案为：
13. 如图，放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第二象限，若，且的面积为，双曲线经过点A，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键．过点A作于点H，则，设点A的坐标为，则，求得，则，根据的面积为列方程求出，即可得到．
【详解】解：过点A作于点H，则，
设点A坐标为，则，
则，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴，
∴，
故答案为：
14. 如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，的三个顶点分别在这三条平行直线上，且，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为E、F，设之间的距离为a，则与之间的距离也为a，根据为等腰直角三角形，可推出，则，则，，即可得到.
【详解】解：如图1所示，
过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为E、F，
设之间的距离为a，则与之间的距离也为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
15. 如图，为等腰直角三角形，点D为边上一动点，以为斜边在其左侧构造另一等腰直角三角形，线段交于点P，连接．当时，恰好有，则的长为_____．
．
【答案】
【解析】
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是证明三角形相似；过点E作的延长线于F，根据和为等腰直角三角形，证明从而得出再证明，得出，根据勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点E作的延长线于F，
∵和为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
即，解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，学会因式分解法解方程．
（1）把特殊角的三角函数值代入，再求出即可；
（2）对方程移项、提取公因式，即可因式分解方程．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
，
解得：．
17. 随着党的二十大胜利召开，全国各地积极开展学习习总书记二十大报告的内容．我市积极响应号召，举办“学习二十大，争当好少年”党史知识竞赛活动，育英中学在校内举行的预选赛中最终两名男生和两名女生脱颖而出，成为代表学校参加市里决赛的候选人．
（1）如果已经确定女生A参加决赛，再从其余三名候选人中随机选取一人，则最终两名女生参加决赛的概率是______；
（2）如果从四位候选人中随机选出两人参加决赛，请用画树状图或列表的方法求出所选代表恰为两名女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选代表恰好为两名女生的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：如果已经确定女生A参加决赛，再从其余三名候选人中随机选取一人，则最终两名女生参加决赛的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
假设两名男生是“甲、乙”和两名女生是“A，B”，
则画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选代表恰好为两名女生的结果有2种，
∴所选代表恰为两名女生的概率为．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，若已知，．
（1）分别求一次函数与反比例函数的关系式；
（2）点为y轴上一点，若的面积为，求a的值；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）或；
（3）或
【解析】
【分析】本题考查求一次函数与反比例函数的解析式，根据函数图像解不等式，反比例函数图像上点与x轴上点围成图像面积问题，解题的关键是求出解析式，并学会看图像．
（1）将代入求出m，再将代入求出n，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交点为C，
在中，令，则，
∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为或，
∴a的值为或；
【小问3详解】
解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
19. 奔赴苍穹，逐梦九天，神州十七号开创了中国航天的新里程，航天员出舱修复太阳翼取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神州系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个．
（1）若设每个模型降价x元，平均每天可售出______个；
（2）要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？
（3）该商店平均每天销售利润能达到2500元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由．
【答案】（1）
（2）应降价8元 （3）不可能达到2500元
【解析】
【分析】该题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是列出对应函数式，根据题意进行解答；
（1）根据“平均每天可售出100个，售价每降低1元，平均每天可多售出10个”即可求解；
（2）根据“每天的利润=降价后每个模型利润×每天售出数量”解答即可；
（3）结合（2）中的配方解答即可；
【小问1详解】
由题干，每降价1元，每天可多售10个，
故：降价元，每天多售个，
由于未降价前每天售出100个，故降价后，每天售出个；
【小问2详解】
由于降价前每个模型利润为20元，故降价后，每个模型利润为元，
故每天的利润，
由题干，即得方程：，
解得：，或，
要使顾客优惠程度更大，应降价力度更大，
由于，故应降价8元；
【小问3详解】
由（2）即得：
每天的利润，
配方，即得：，
故的最大值为2250，即不可能达到2500元．
20. 如图，小明所在的数学兴趣小组用自制的测倾器在学校教学大楼前的广场上点D处测得楼顶A的仰角为，大楼顶端悬挂了一幅励志条幅，小明他们后退到点C处，测得条幅底端B的仰角为，若已知条幅长，测倾器，试求大楼的高度．
（参考数据，，，结果精确到）

【答案】该大楼高度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
过点F作于点G，设，在中和中，表示出列等式即可求解；
【详解】过点F作于点G，
依题意得：

设，则，
在中，
在中，
又，
，
解得：，
，
答：综上所述，该大楼高度为．
21. 阅读与思考
阅读下面材料，并按要求完成相应的任务
下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题：
如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值．
【特例探究】
任务一：
（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______．
任务二：
（2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值．
下面是该结论的部分解答过程：
在图2中，过点F作于M，延长交于N．
易证四边形为矩形，______，
∴设，则，，，
在中，根据勾股定理得
解得：（舍去），
即
∴在中，______
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整．
图1图2图3
【方法应用】
任务三：
（3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值．
【答案】（1）1；（2）；；（3）
【解析】
【分析】（1）根据是正方形，得出当点F恰好落在正方形的对角线上时，根据折叠可得，求出即可解答；
（2）在图2中，过点F作于M，延长．交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答；
（3）在图3中，过点F作于M，延长交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答；
【详解】（1）是正方形，
当点F恰好落在正方形的对角线上时，
根据折叠可得，
则．
（2）下面是该结论的全部解答过程：
在图2中，过点F作于M，延长交于N．
是正方形，
四边形为矩形，
根据折叠可得，
，
，
∴设，
则，，
在中，
根据勾股定理得，
解得：（舍去），，
即，
，
∴在中，
故答案为：；；
图1 图2 图3
（3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），
过点F作于M，延长交于N．
是正方形，
四边形矩形，
根据折叠可得，
，
，
∴设，
则，，，
在中，
根据勾股定理得，
解得：（舍去），，
即，
，
∴在中，
【点睛】该题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理以及折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
22. 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，王老师展示了一个问题：
如图1，是等边三角形，点D是边上一动点（点D不与点B重合），连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题：
特例探究：
（1）当点D与点A重合时，请在图2中利用尺规作图按上述要求补全图形，连接，请你判断此时四边形的形状并证明；
类比拓展：
（2）当点D与点A不重合时，如图（1），试猜想与之间的数量关系并加以证明；
问题解决：
（3）当，时，直接写出的长．
图1 图2 备用图
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析（2），证明见解析（3）或3
【解析】
【分析】（1）当点D与点A重合时，分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E，连结，，则是等边三角形，，，所以此图形即为所求的图形；因为和是等边三角形，所以可证明，即可证得答案；
（2）在上取点F，使得，则可证明，，由此得，得到，进一步推理即可证得结论；
（3）过点D作于点H，设，根据等边三角形的判定与性质，可求出，，再根据勾股定理列方程并求解，即得答案．
【详解】（1）如图所示，即为补全的图形；

四边形是菱形．
证明：是等边三角形，
，
将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）．
证明：如图，在上取点F，使得，
是等边三角形，
，，
，是等边三角形，
,
，，
，
又，
，
，
．
（3）过点D作于点H，
设，
由（2）知，
，，
，
在中，，
解得或3，
即或3．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
23. 综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、，现将沿x轴向右平移至，线段与线段交于点E，与抛物线交于点F．

图1 图2
（1）求出抛物线和直线的函数表达式；
（2）当线段的长度最大时，求此时点F的坐标；
（3）如图2，连接，将沿着翻折，得到，是否存在某一时刻，使得点恰好在抛物线上，若存在，请直接写出此时平移的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式即可解题；
（2）过点F作轴交于点，设点F的横坐标为，则纵坐标为，点G的坐标为，即，过点E作于点H，则，配方找到最大值即可解题；
（3）设平移的距离为n，则，根据翻折可得，即可得到点的坐标为，代入函数关系式即可解题．
【小问1详解】
解：把、代入得：
，解得，
∴，
令，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，则
，解得：，
∴；
【小问2详解】
解：过点F作轴交于点，
设点F的横坐标为，则纵坐标为，点G的坐标为，
则，
∵，
∴，即，
∵轴，
∴轴，
∴，
过点E作于点H，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大，这时点坐标为；
【小问3详解】
如图，设平移的距离为n，则，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在上，
即，
解得或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，二次函数的图象和性质，翻折的性质，解直角三角形，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．正方形的折叠
正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决．