四川省广元市苍溪县石马初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份四川省广元市苍溪县石马初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题，请将正确选项的番号填入下面答题框中．（每小题3分，共30分）
1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式：．
【详解】、是一元二次方程，此选项符合题意；；
、等式左边不是整式，此选项不符合题意；
、中，没有说明，此选项不符合题意；
、化简后为为一元一次方程，此选项不符合题意；
故选：．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，根据顶点式顶点坐标为，求解即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：的顶点坐标为，
故选：．
3. 方程的解为（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载【答案】D
【解析】
【分析】首先将原方程移项，再提取公因式x，得到两个一次式的积为0，进而得到两个一次方程；然后再解这两个一次方程，即可求出一元二次方程的解．
【详解】解：，
，
. ，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
4. 二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
又∵当时，随的增大而增大，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合思想和性质是解题的关键．
5. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A. x2+x+1＝0B. x2+x﹣1＝0C. x2﹣2x﹣1＝0D. x2﹣2x+1＝0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可，一元二次方程的根的判别式，>0时，方程有两个不相等的实数根；=0时，方程有两个相等的实数根；<0时，方程没有实数根．
【详解】A. x2+x+1＝0，，则原方程没有实数根，符合题意;
B. x2+x﹣1＝0，，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意;
C. x2﹣2x﹣1＝0，，则原方程没有实数根，不符合题意;
D. x2﹣2x+1＝0，，则原方程有两个相等的实数根，不符合题意;
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴在y轴的右侧得到b＜0，利用抛物线与x轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对A进行判断；利用当x=1时，y＜0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-=1，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a和b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴bc＞0，所以A选项错误；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线经过点(-1，0)和点(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
即-=1，
∴2a+b=0，所以C选项正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，
即4ac＜b2，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于(0，c)．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7. 近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，
由题意，得：，即，
解得：（舍去），，
故选：．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
9. 设，是方程的两个实数根，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵一元二次方程 的两个根分别为，，
∴，，
∴，
∴，则，
∴，解得，
故选：．
10. 当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（ ）
A. ﹣1＜m≤0B. m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C. m＝﹣4或﹣1＜m≤0D. m＝﹣4或3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出函数的抛物线，再根据m≤x≤m+1分析得出结论．
【详解】解：当x>0时，抛物线在y轴右侧，当x<0时，抛物线在y轴左侧，
∵y＝x2﹣4|x|+2，
∴与y轴的交点为(0，2)，
当x>0时，y=2时，x=4，当x<0时，y=2时，x= -4，则关于y轴对称，
当x<0时，y的最小值为2；
∵m≤x≤m+1，
∴当x<0时，y=2时，m= -4，
同理当x>0时，y的最小值为2；m≤x≤m+1，m+1=4，m=3，
由图象可得，图象与y轴交点为(0，2)，
当在x轴上，原点在m和m+1之间时，y的最小值为2，
∴m+1≥0且m≤0，
∴-1≤m≤0，
综上：m= -4或m=3或-1≤m≤0．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的抛物线的有关计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，则m的值为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】直接利用二次函数的定义以及其性质得出m的值．
【详解】解：∵二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，
∴|m|＝2，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．
12. 若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是_____．
【答案】﹣2．
【解析】
【分析】根据根的判别式得出，求出即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2+a）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，能根据根的判别式和已知得出是解此题的关键．
13. 已知 、、是抛物线上的三点，则、、的大小关系是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线2，
∴关于对称轴的对称点为
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
14. 对于任意实数a，b，定义a*b=a(a+b)+b，已知a*4=25，则实数a值是____．
【答案】3或-7
【解析】
【分析】利用先定义得到a（a+4）+4=25，把方程左边展开，配方得到（a+2）2=25，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】∵a*4=25,
∴a(a+4)+4=25,
∴a²+4a+4=25,
∴(a+2)²=25,
∴a+2=±5,
∴a₁=3,a₂=-7.
故答案为3或-7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15. 已知 、、是抛物线上的三点，则、、的大小关系是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线2，
∴关于对称轴的对称点为
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
16. 已知关于的一元二次方程的两实数根为．设，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，利用根的判别式和根与系数的关系找出m的取值范围和y关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】解：已知关于的一元二次方程的两实数根为，
即的两实数根为，
，，
，
，
y随m的增大而减小，
当时，y最小，最小值为，
故答案为：1．
三、解答题（共96分）
17. 解下列方程：
（1） ；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先将方程化成一般式，再用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：
，或
∴，；
【小问2详解】
解：
，或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
18. 抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出方程ax2+bx﹣3＝0的解．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）x=-1或x=3．
【解析】
【分析】（1）将（-1，0），（1，-4）代入y=ax2+bx-3求解；
（2）由表格可得抛物线对称轴为直线x=1，再由x=-1时y=0可得x=3时y=0．
【详解】解：（1）将（-1，0），（1，-4）代入y=ax2+bx-3得
，
解得，
∴y=x2-2x-3；
（2）由表格可得抛物线对称轴为直线x=1，且x=-1时y=0，
由抛物线对称性可得x=3时，y=0，
∴方程ax2+bx-3=0的解为x=-1或x=3．
【点睛】本题考查二次函数性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系．
19. 关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可得；
（2）由求根公式得出，由方程有一个根大于6知，解之可得．
【小问1详解】
证明：∵，，，
依题意，得
∵，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：由求根公式，得，
∴，
∵方程有一个根大于6，
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
20. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上
（1）当m＝-3时
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是____；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围
【答案】（1）①；②或；（2）
【解析】
【分析】（1）①将点（1，-3）代入y＝x2＋bx求出b的值，得出函数关系式，再进行配方即可得到抛物线的顶点坐标；②根据函数的图象，结合函数性质可得出a的取值；
（2）用含有b的代数式分别表示出m，n，根据mn＜0分类讨论即可．
【详解】解：（1）当m＝-3时
①把点（1，-3）代入y＝x2＋bx，得b＝-4，
二次函数表达式为y＝x2 -4x＝（x-2）2 -4
所以顶点坐标为（2，-4）
②根据题意得抛物线y＝x2 -4x开口向上，对称轴为直线x=2，
∵y2＞y1，
∴i)当点（-1，y1），（a，y2）抛物线对称轴左侧时，有；
ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，根据对称性可知；
所以a的取值范围是：a＜-1或a＞5
故答案为：a＜-1或a＞5
（2）将点（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b ，n＝9＋3b
当mn＜0时，有两种情况：
①若 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得 此时不等式组无解
②若 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得解得-3＜b＜-1
所以-3＜b＜-1
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的特点，能结合题意确定b的取值范围是解题的关键．
21. 如图，有一长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花围．
（1）如果要围成面积为平方米的花围，那么长为多少米？
（2）能否围成面积为平方米的花圃？若能，求的长，若不能，请说明理由．
【答案】（1）长为；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（）设，则，列出方程即可求解；
（）设，则，列出方程然后判断有无实数根即可求解；
此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设，则，
则 ，
整理得，
解得，由题意得：，解得，
∴不合题意，舍去，
答：长为；
【小问2详解】
解：设，则，
则 ，
整理得，
，
∴方程无实数根，
∴不能围成面积为平方米的矩形．
22. 某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y顶．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售头盔每月的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x取何值时，每月销售头盔的利润w有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出y与x的函数解析式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列出方程，解方程即可；
（3）根据总利润=单件利润×销售量写出函数解析式，利用函数的性质求最值．
【小问1详解】
由题意得：
∴y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
由题知
，
与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
，
，
抛物线开口向下，
又，
当时，有最大值，最大值为9000．
即当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
……