2024届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查考试数学试题

这是一份2024届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查考试数学试题，共9页。试卷主要包含了的展开式中，的系数为等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．己知平面向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（ ）
A． B． C．0 D．4
6．的展开式中，的系数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数在区间上单调递增，则的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
10．科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
11．已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，AP，为异面直线 B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP与平面所成角的正弦最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的定义域为__________．
13．已知曲线和，若C与恰有一个公共点，则实数_________；若C与恰有两个公共点，则实数m的取值范围是_________．
l4．已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
16．（15分）
寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第n天不下雪的概率为．
（1）求的值，并证明是等比数列；
（2）求小明寒假第n天通过运动锻炼消耗能量的期望．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是以PD为底的等腰三角形，，E在PD上，．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）求二面角的余弦值．
18．（17分）
已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若，求实数a的取值范围．
19．（17分）
对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
（1）证明：；
（2）记．
证明：（其中i为虚数单位）；
（3）以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．
证明：．且．
蚌埠市2024届高三年级第三次教学质量检查考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．0或4；（答对第一空给2分，答对第二空给3分）
14．1
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）由题意知，且， 2分
，
所以双曲线的离心率． 5分
（2）由（1）知双曲线方程为，
将即代入，得， 9分
因而，
所以． 13分
16．（15分）解：（1）依题意，，
． 6分
依题意
整理得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列． 9分
（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率， 11分
从而小明寒假第n天跑步的概率为
， 13分
则他第n天通过运动锻炼消耗能量为
． 15分
17．（15分）
解：（1）由题意知，则在中，
，
，从而， 3分
中，，
则
， 5分
又，所以平面PAD，
而平面ABCD，
∴平面平面ABCD． 8分
（2）由（1）知平面PAD，平面PAD，
，
，
所以为等边三角形， 10分
如图，在平面PAD内作，
则平面ABCD，
以DA，DB，DH分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则， 12分
从而
显然平面ABC的一个法向量为
设平面PBC的法向量为，则
即
取，
记二面角的平面角为，则
即二面角的余弦值为． 15分
18．（17分）
解：（1）记，则， 2分
因为，所以，所以，
所以单调递增，
从而，即． 4分
当时等价于，记，
则单调递增， 6分
所以，即．
综上，当时，． 8分
（2）等价于，记，
则，
所以题设等价于当时，即．
当时，，不合题意． 10分
当时，
存在，
因此当，即不成立，不合题意． 13分
当时，，
记，由于，所以，故
从而在单调递减，恒成立，符合题意．
综上，实数a的取值范围是． 17分
19．（17分）
解：（1）令，则．
由，令，则．
因为，故． 5分
（2）证明：因为，
，
，
，
，
所以 11分
（3）证明：令，则有
， 14分
因此
故且，即． 17分
（以上答案仅供参考，其它做法请参考以上评分标准赋分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
B
C
B
C
B
题号
9
10
11
答案
ABC
BC
ABD