2024成都石室中学高三下学期开学考试数学(文)含解析
展开A.B.C.D.
【解答】解:全集,集合,1,,,,
,能表示集合,,关系的图是.
故选:.
2.已知向量,,则在方向上投影为
A.B.C.D.
解:由,,
则在方向上的投影向量为:
.故选:.
3.技术在我国已经进入高速发展的阶段,手机的销量也逐渐上升,某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量,如表所示:
若与线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是
A.由题中数据可知,变量与正相关,且相关系数
B.线性回归方程中
C.残差的最大值与最小值之和为0
D.可以预测时该商场手机销量约为1.72(千只)
【解答】解:从数据看随的增加而增加,故变量与正相关,由于各增量并不相等,故相关系数,故正确;
由已知数据易得,代入中得到,故错误;
,,,
,,,
,,,,,
残差的最大值与最小值之和为0,故正确;
时该商场手机销量约为,故正确.
故选:.
4.方程表示双曲线的必要不充分条件可以是
A. B.,,C.D.
【解答】解:若方程表示双曲线,
则,解得:,
则:方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含,
选项故选:.
5.执行如图所示的程序框图,若依次输入,,,则输出的结果为
A. B. C.D.以上都不对
【解答】解:根据题意,该流程图的作用是求出、、中的最小数,
:.
,
.故选:.
6.在中,角、、的对边分别为、、,且的面积,,则
A.B.C. D.
【解答】解:的面积,可得:,
又故选:.
7. 设等差数列的前项和为,已知,,,则的值为
A.15B.16C.17D.18
【解答】解:因为等差数列中,,,,
则,
两式相加得,,即,
因为,所以.故选:.
8.如图是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的高为
A.1B.2C.D.
【解答】解:由题意几何体是四棱锥,过作于,
在正方体中有平面,所以,
又因为,所以平面,
所以四棱锥的高为,
在中,,,,
故,
,
故,解得.
所以该四棱锥的高为:.
故选:.
9.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,为线段的中点,设在上的射影为,则的最大值是
A.B.C.D.
【解答】解:设,,,在上的射影分别为,,则,,
故.
又,所以,
因为,
所以,
当且仅当时等号成立,
故.
故选:.
10. 如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,,且,点,分别为,的中点,在侧面上运动,且满足平面,以下命题错误的是
A.
B.多面体的体积为定值
C.侧面上存在点,使得
D.直线与直线所成的角可能为
解:对于,正方体中,,,、是线段上有两个动点,,故正确;
对于,,到的距离为定值,是定值,
点到平面的距离为定值,多面体的体积为定值,故正确;
对于,,当为中点时,,故正确;
对于,取中点,中点,当与或重合时,
直线与直线所成的角最大,
,故错误.
故选:.
11.已知直线与圆心为且半径为3的圆相交于,两点,直线与圆交于,两点,则四边形的面积的值最大是
A.B.C.D.
【解答】解:根据题意,圆的圆心为且半径为3,则圆的方程为,即,
直线与圆相交于,两点,
则有,解可得:或,即、的坐标为,,
则,且的中点为,,
直线,变形可得,直线恒过定点,,
设,,
当与垂直时,四边形的面积最大,
此时的方程为,变形可得,经过点,
则此时,
故的最大值,
故,故选:.
12.已知函数在区间上有且仅有4个极值点,给出下列四个结论:
①在区间上有且仅有3个不同的零点;②的最小正周期可能是;
③的取值范围是;④在区间上单调递增.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
12.C【分析】令,,则,,结合条件可得有4个整数符合题意,可求出的取值范围,再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.
【详解】由函数,
令,可得,,
因为在区间上有且仅有4个极值点,即可得有且仅有4个整数符合题意,
解得,即,可得,
即,解得,即③正确;
对于①,当时,,即可得,
显然当时,在区间上有且仅有3个不同的零点;
当时,在区间上有且仅有4个不同的零点;即①错误;
对于②,的最小正周期为,易知,
所以的最小正周期可能是,即②正确;
对于④,当时,;
由可知,
由三角函数图象性质可知在区间上单调递增,即④正确;
即可得②③④正确.故选:C
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.若,则的共轭复数为_________
【详解】依题意,
所以的共轭复数为.
14.向面积为2的内部投掷一点,则的面积小于1的概率为______
【详解】如图所示,取的中点,
则为的中位线,当点P落在四边形内时的面积小于,
已知总事件为的面积,,
所以所求事件的概率 为.
15.已知为等腰三角形,其中,点D为边AC上一点,.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C,则椭圆E的离心率的值为 .
详解】
连接点与中点,即有,由,故,
由,则,即,
由椭圆定义可得、,
故,
即,则、,
由故,
则,即,
解得(负值舍去).故答案为:.
16.若函数与的图像在实数集上有且只有3个交点,则实数的取值范围为 __________ .
【详解】即仅有3个解,
显然不是该方程的解,则,即仅有3个解,
设,定义域关于原点对称,且满足。
即为奇函数,
考虑时的情况,,,
当时,,即在上单调递增,
当时,,即在上单调递减,
则函数极大值为,且当时,;当时,;
结合函数为奇函数,即可作出函数的图象如图示:
由于仅有3个解,故与函数的图象仅有3个交点,
结合图象可得或,
即或,
故答案为:或
三、解答题(本题共6道小题,共70分)
17.已知数列的首项为,且满足,数列满足.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求.
【解答】解:(1)证明:,
,,
,
当时,上式成立,
,;………………………………………5分
(2)由(1)得,
①,
②,
①②得,,
.………………………………………12分
18.某企业有甲、乙、丙三个部门,其员工人数分别为24,16,8.现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查.
(Ⅰ)现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查,求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率?
(Ⅱ)将该企业所有员工随机平均分成4组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验;若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验.已知每组化验结果呈阴性的概率都为,记,2,3,为“第组化验结果呈阴性”, ,2,3,为“第组化验结果呈阳性”,请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率.
【解答】解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为,
由于采用分层抽样的方法从中抽取6人,
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,1人,
该企业总共有名员工,
记事件:“任意一位被抽到”,由于每位员工被抽到的概率相等,
每位员工被 抽到的概率为.………………………………………5分
(2)记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件,所有分组化验的结果有16种,分别为:
,,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,
,………………………………………8分
其中,恰有两个组化验结果呈阳性,即需要进一步逐个化验的情况有6种,分别为:
,,,,,,,,
每组化验结果呈阴性与阳性互为对立,
每组化验呈阳性的概率都为,………………………………………10分
则上述每个结果出现的可能性都相等,
恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为(B).………………………………………12分
19.如图,已知梯形与所在的平面垂直,,,,,,,,连接,.
(Ⅰ)若为边上一点,,求证:平面;
(Ⅱ)求多面体的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:在上取一点,使得.
延长和交于点,由相似三角形原理可得,。
且,是平行四边形
平面,平面;………………………………………6分
(Ⅱ)解:连接,,
则.………………………12分
20.已知椭圆的离心率为,焦距为,过的左焦点的直线与相交于、两点,与直线相交于点.
(Ⅰ)若,求证:;
(Ⅱ)过点作直线的垂线与相交于、两点,与直线相交于点.求的最大值.
【详解】(1)证明:设、,因为椭圆的焦距为,所以,解得.
又因为椭圆的离心率,所以,所以,
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、,,
所以,直线的方程为,
设点、,联立可得,
由,得,. ……………………………………………………………………….2分
所以,
,
因此,.……………………………………………………………………….5分
(2)证明:若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直,则其中有一条必与直线平行,不合乎题意,
所以,直线的斜率存在且不为零,设直线方程为,
则直线方程为,其中.
联立可得,
设、,则,
由韦达定理可得,,………………………………………………………….6分
易知且,将代入直线的方程可得,即点,
所以
,……………………………………………………….8分
同理可得,…………………………………………………….9分
所以
,……………………………………………….11分
当且仅当时,等号成立,
因此,的最大值为.……………………………………………….12分
21.已知函数.
(Ⅰ)若在区间上恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若函数和有公切线,求实数的取值范围.
【详解】(1)由题意,当时,设,
则,
,……………………………….1分
令,得(舍负)
在上单调递减,在上单调递增,
.……………………………….2分
根据题意的取值范围为.……………………………….4分
(2)设函数在点处与函数在点处有相同的切线,
则,
,代入
得.
问题转化为:关于的方程有解,……………………………….6分
设,则函数有零点,
,当时,
.
问题转化为:的最小值小于或等于0.………………………………7分
,
设,则
当时,,当时,.
在上单调递减,在上单调递增,
的最小值为.……………………………9分
由知,故.
设,则,
故在上单调递增,当时,,
的最小值等价于.……………………………11分
又函数在上单调递增,.…………………………12分
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程.
(Ⅰ)求和的直角坐标方程;
(Ⅱ),直线与C交于MN两点,求两点的极坐标
【详解】(1)方法一:曲线:由题意得,即,
然后代入,即可得到曲线C的普通方程, ………………3分
备注:若没有扣点,则扣1分
而直线,将代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程.
………………2分
方法二:因为,
所以C的普通方程为,直线l的直角坐标方程为:;
方法三:由万能公式:,
令,则有,
由椭圆的常用参数方程可得:,
直线的方程为:.
(2)设,联立得.
解得,点的坐标为,点的坐标为………………6分
所以点的极坐标为,………………8分
点的极径为………………10分
23.已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小值;
(Ⅱ)设,求证:.
【详解】(1)由题设,………………2分
而在、、上均能取到最小值,………………3分
对于在上递减,上为常数,上递增,且连续,
所以的最小值在上取得,即时,最小值为.………………5分
(2)由,仅当取等号,.………………7分
要证,即证,则,
需证,而,即,
所以恒成立,故得证..………………10分
备注:此题可用其它方法证明
时间
1
2
3
4
5
销售量(千只)
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
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