苏科版八年级下学期第一次月考数学试卷（含答案解析）

这是一份苏科版八年级下学期第一次月考数学试卷（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试范围：第7-9章）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．经过有红绿灯的路口，恰好遇到红灯 B．400人中至少有2人的生日相同
C．打开电视，正在播放动画片 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
4．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．不变D．先增大，再减小
6．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（ ）
A．AD＋BC＞2EFB．AD＋BC≥2EFC．AD＋BC＜2EFD．AD＋BC≤2EF
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．若要表示以上信息，最合适的统计图是_______．
8．一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为2、8、15、5，则第5组的频率为______ ．
9．如图，中，，，，将绕原点O顺时针旋转，则旋转后点A的对应点的坐标是______．
10．在平面直角坐标系中，，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第4个顶点D的坐标是_____________．
11．如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______．
12．如图，将宽为的长方形纸片沿折叠，，则折痕的长为______．
13．平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴，点，，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过____________秒，该直线将平行四边形面积平分．

第13题图 第14题图
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____cm．
15．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，，则阴影部分的面积为_______。

第15题图 第16题图
16．如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．某校学生在劳动技能培训后参加了一次考核，考核成绩分为“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．随机抽取其中若干名学生的考核成绩并制成如下的统计图，已知培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等．请回答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是______；
(2)将图①补充完整；
(3)估计该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数．
18．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
19．(1)如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）
20．如图，已知，点、是边上的两点，且，用两种方法画出平行四边形（与示例方法不同）．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出作图的依据．
示例：
依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
方法一 方法二
依据：____________； 依据：____________．
21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．
22．如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC边于点E．用两种方法证明：点E是AC的中点．
证法1：如图，延长ED至点F，使得FD=DE，连接BF．
∵点D是AB的中点，
∴ ．
又∵ ，FD=DE，
∴△ADE≌△BDF．
∴BF=AE， ，
∴BF∥AE．
又∵DE∥BC，
∴四边形FBCE是平行四边形，
∴ ，
∴AE=EC．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2。
证法2：
23．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
24．如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．
用两种不同方法证明AB＝AC．
25．已知：如图，在平行四边形中，G、H分别是、的中点，，，垂足分别为E、F。
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，当四边形是矩形时的长为 ．
26．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
(1)观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝2，，请求出GE的长。
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1、B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】A、经过有红绿灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，不合题意；
B、400人中至少有2人的生日相同，是必然事件，符合题意；
C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握概念是本题的关键．
2、D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
3、D
【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠EAP＝∠CAQ，
又∵AE＝AC，AP＝AQ，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝，
∴AB＝，
∵AE＝AC＝，
∴BE＝AB−AE＝，
在Rt△BFE中，∠B＝30°，
∴EF＝BE＝，
故线段CQ长度的最小值是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
4、A
【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴由旋转的性质可得，，
即，
整理得，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意，
故选：A
【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
5、C
【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得,即可得出判断．
【详解】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形和平行四边形的性质，解题关键是掌握矩形和平行四边形的性质．
6、B
【分析】连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出，，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点G，连接EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是和的中位线，
∴，，
在中，由三角形三边关系得，
即，
∴，
当时，点E、F、G在同一条直线上，
∴，
∴四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是：．
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形中位线的性质定理，三角形三边关系，线段间的数量关系等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7、扇形统计图
【分析】分析三种统计图的特征，根据给出的空气成分的百分比，即可得出结论
【详解】解：∵在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%，
条形统计图要知道具体的数目，折线统计图也需要知道具体的数目，不适合，扇形统计图只要知道所占百分比，
为此最合适的统计图是扇形统计图，
故答案为：扇形统计图．
【点睛】本题考查扇形统计图的应用，掌握扇形统计图的特征是解题关键．
8、0.4
【分析】根据总数计算出第5组的频数，用第5组的频数除以数据总数就是第五组的频率．
【详解】解：第5组的频数：50-2-8-15-5=20，
频率为：20÷50=0.4，
故答案为0.4．
【点睛】本题考查频数和频率的求法，关键知道频数=总数×频率，从而可求出解．
9、
【分析】如图（见解析），过点作轴于点，点作轴于点，根据30°角直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，点作轴于点，
∵，
∴
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转、点坐标等知识点，画出图形，通过作辅助线，正确找出两个全等三角形是解题关键．
10、，，
【分析】当是时，，利用点的平移可求D的坐标，同理可以求出当是和时点D的坐标．
【详解】解：当时，第4个顶点D的坐标是或，
当时，第4个顶点D的坐标是．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形对边平行且相等的性质，运用平移的方法来判断第三个点的坐标．
11、①②③④
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．由垂直平分线的判定推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得，故④正确．
【详解】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC＋∠CDE＝∠FDC＋∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠DFE＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠NBE＝45°，
∵∠FDN＋∠DFN＋∠DNF＝∠NBE＋∠BNE＋∠NEB＝180°，
∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE，
∴∠FDB＝∠FEB，故②正确；
连接BM、DM，如图所示：
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM＝DM＝EF，
又∵BC＝CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
12、
【分析】过点F作于H，得到四边形是矩形，得到cm，由翻折推出cm，利用勾股定理求出的长度，进而求出的长，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：过点F作于H．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴cm，
由翻折可知，，
∴，
∴cm，
∴，
∴，
∴cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
13、6
【分析】首先连接，交于点D，当经过D点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移，进而可得答案．
【详解】解：连接，交于点D，当经过D点时，该直线可将平行四边形的面积平分；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵直线平行于，
∴设的解析式为，
∵过，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∴直线要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
14、3
【分析】先证明CB=CF，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD，ABCF，AB=CD，
所以∠ABF=∠BFC，
因为BF平分∠ABC，
所以∠ABF=∠CBF，
所以∠BFC=∠CBF，
所以CB=CF，
因为CF=CD+DF，
所以AD=AB+DF，
所以AB=7-4=3(cm)，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15、44cm2
【分析】如图，连接EF，由题意知与同底等高，有，可知，可知，同理可得，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，连接EF，
∵与同底等高，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线间垂线段相等，平行四边形的性质，等面积法．解题的关键在于根据同底等高表示出三角形的面积．
16、
【分析】由平行四边形的性质可得：，，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，当时，此时OP有最小值，即可求解．
【详解】如图，设AB与PD交于点O，连接OC，
∵四边形ADBP是平行四边形
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
当点P与点C重合时，此时OP有最大值
∴DP的最大值为
当时，此时OP有最小值
∵
∴
∴DP的最小值为
∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合）
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、(1)30 (2)见解析 (3)540人
【分析】（1）根据优秀人数除以优秀人数所占圆心角即可得到样本容量；
（2）由培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等，得到“不合格”的人数，再得到合格人数即可补全图形；
（3）根据培训后考核成绩为“合格”的学生人数所占比例乘以总数即可得到答案．
【详解】（1）样本容量为：，
故答案为：30．
（2）由培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等，
不合格人数为6人，合格人数为：30-12=18人，
补全图形如下：
（3）样本中，合格人数占比为：，
则该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数为：
人
【点睛】本题考查用样本估计总体，条形统计图与扇形统计图，理解条形统计图得到各组所占比例是关键．
18、（1）①②③；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【详解】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
（2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19、(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
（2）作出线段AB，的垂直平分线的交点P即可．
（1）
解：先作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示：
（2）
以点B为圆心，AB为半径画弧，交x轴负半轴于点，然后分别作AB、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点P，如图所示：
【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定方法画出图形即可．
【详解】解：方法一：依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
方法二：依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21、证明见解析
【分析】方法1、连接、，由已知证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
方法2、先判断出，进而判断出即可．
【详解】证明：方法1，连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
方法2，四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
在和中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
22、AD=DB；∠ADE=∠BDF；∠DAE=∠DBF；BF=CE；证法2见解析
【分析】证法1：根据全等三角形的判定和性质得出BF=AE，进而利用平行四边形的判定和性质解答即可；证法2：根据平行四边形的判定和性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【详解】证法1：如图，延长ED至点F，使得FD=DE，连接BF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=DB．
又∵∠ADE=∠BDF，FD=DE，
∴△ADE≌△BDF（SAS）．
∴BF=AE，∠DAE=∠DBF，
∴BF∥AE．
又∵DE∥BC，
∴四边形FBCE是平行四边形，
BF=CE，
∴AE=EC；
故答案为：AD=DB；∠ADE=∠BDF；∠DAE=∠DBF；BF=CE；
证法2：如图，过E作EF∥AB交BC于F．

∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，∠B=∠ADE=∠CFE，∠AED=∠C，
∴BD=EF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴EF=AD，
∴△ADE≌△EFC（AAS），
∴AE=CE，
∴点E是AC的中点．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
23、证明见解析
【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
24、两种不同方法证明见解析．
【分析】（1）过D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质得DE＝DF，然后根据HL定理证Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根据“等角对等边”即可证明AB=AC；
（2）延长AD到E，使DE＝AD得四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的性质得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD进而有∠BED＝∠BAD，所以 AB＝BE，等量代换得到A B=AC ．
【详解】证法1：如图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵ ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°，
∵ BD＝CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴ ∠B＝∠C，
∴ AB＝AC．
证法2：如图，延长AD到E，使DE＝AD．
∵ DE＝AD，BD＝CD，
∴ 四边形ABEC是平行四边形．
∴ AC＝BE，AC∥BE．
∴ ∠BED＝∠CAD．
又 ∠BAD＝∠CAD，
∴ ∠BED＝∠BAD．
∴ AB＝BE．
∴ AB＝AC．
【点睛】方法1中主要应用了角平分线的性质、HL定理、等腰三角形的判定证明线段相等，作垂线创造角平分线性质条件是解答的关键；
方法2中主要利用平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定证明线段相等，构造平行四边形是解答的关键．
25． (1)见解析 (2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，进而得到，再根据直角三角形斜边上的中线推出，，得到，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，证明，得到，，连接，推出四边形是平行四边形，得到，根据矩形的性质，得到，利用和勾股定理，求出的长，进而求出长，利用进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵G、H分别是、的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
连接，如图，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
四边形是矩形时，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∵，
∴，解得：，
即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理．本题的综合性较强，熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．
26．
(1)①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD
(2)BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，证出△DAB≌△FAC（SAS），由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论；
②由全等三角形的性质得到CF＝BD，进而得出结论；
（2）推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推出GN＝CG−CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．
(1)
解：①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CF＋CD；
故答案为：BC＝CF＋CD；
(2)
解：BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF−∠ACB＝135°−45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，
∴CD＝CF＋BC；
(3)
解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴BC＝AB＝4，
∵AH⊥BC，
AH＝BC＝BH＝CH＝2，
∴DH＝CH＋CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识；本题综合性强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．